Các dạng toán về mệnh đề – Toán 10

Ví dụ 1:

Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai?

a) \(\sqrt 2 \) không là số hữu tỉ.

b) Iran là một nước thuộc châu Âu phải không?

c) Phương trình \({x^2} + 5x + 6 = 0\) vô nghiệm.

d) Chứng minh bằng phản chứng khó thật!

e) x+4 là một số âm.

f) Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4.

g) Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn.

h) n là số chẵn nếu và chỉ nếu \({n^2}\) chia hết cho 4.

i) \(\exists n \in \mathbb{N},{n^3} – n\) không là bội của 3.

j) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} – x + 1 > 0.\)

Hướng dẫn giải:

a) Đây là mệnh đề đúng.

b) Đây là câu hỏi, không phải là mệnh đề.

c) Đây là mệnh đề sai vì phương trình có nghiệm x=-2.

d) Đây là câu cảm thán, không phải là mệnh đề.

e) Đây là mệnh đề chứa biến.

f) Đây là mệnh đề sai vì n=2 là số chẵn nhưng không chia hết ch 4.

g) Đây là mệnh đề đúng.

h) Đây là mệnh đề đúng.

i) Đây là mệnh đề sai vì \(\forall n \in \mathbb{N},{n^3} – n = (n – 1)n(n + 1)\) chia hết cho 3.

j) Ta có: \({x^2} – x + 1 = {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.\) Đây là mệnh đề đúng.

 

Dạng toán 2: Mệnh đề phủ định

Ví dụ 2 : Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
$P:$ “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
$Q:$ “$6$ là số nguyên tố”.
$R:$ “Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại”.
$S:$ “$5>-3$”.
$K:$ “Phương trình ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2=0$ có nghiệm”.
$H:$ “${{\left( \sqrt{3}-\sqrt{12} \right)}^{2}}=3$”.

Ta có các mệnh đề phủ định là:
$\overline{P}:$ “Hai đường chéo của hình thoi không vuông góc với nhau”, mệnh đề này sai.
$\overline{Q}:$ “$6$ không phải là số nguyên tố”, mệnh đề này đúng.
$\overline{R}:$ “Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại”, mệnh đề này sai.
$\overline{S}:$ “$5\le -3$”, mệnh đề này sai.
$\overline{K}:$ “Phương trình ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2=0$ vô nghiệm”, mệnh đề này đúng.
$\overline{H}:$ “${{\left( \sqrt{3}-\sqrt{12} \right)}^{2}}\ne 3$”, mệnh đề này sai.

Ví dụ 3:

Tìm mệnh đề đảo của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo này đúng hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”.

Hướng dẫn giải:

Mệnh đề đã cho có dạng: \(P \Rightarrow Q\) trong đó P là “hai góc đối đỉnh”, Q là “hai góc bằng nhau”. Vậy mệnh đề đảo là: “Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh”. Mệnh đề này sai.

 

Ví dụ 4:

Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay sai.

a) \(P = ”\forall x \in \mathbb{R},{(x – 1)^2} \ge 0”.\)

b) \(Q = \) “Có một tam giác không có góc nào lớn hơn \({60^0}\)”.

Hướng dẫn giải:

Mệnh đề phủ định của \(”\forall x \in X,P(x)”\) là \(”\exists x \in X,\overline {P(x)} ”.\)

Mệnh đề phủ định của \(”\exists x \in X,P(x)”\)là \(”\forall x \in X,\overline {P(x)} ”.\)

a) Mệnh đề phủ định của P là \(\overline P  = ”\exists x \in \mathbb{R},{(x – 1)^2} < 0”.\)Đây là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề phủ định của Q là \(\overline Q \) = “Mọi tam giác luôn có một góc lớn hơn \({60^0}\)”.

Đây là mệnh đề sai vì tam giác đều không có góc lớn hơn \({60^0}.\)

Dạng toán 3:  mệnh đề kéo theo, tương đương

Ví dụ 5 : Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.
a. $P:$ “Tứ giác $ABCD$ là hình thoi” và $Q:$ “Tứ giác $ABCD$ có $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”.
b. $P:$ “$2>9$” và $Q:$ “$4<3$”.
c. $P:$ “Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$” và $Q:$ “Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=2\widehat{B}$”.

a. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$: “Nếu tứ giác $ABCD$ là hình thoi thì $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”, mệnh đề này đúng.
Mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$: “Nếu tứ giác $ABCD$ có $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì$ABCD$ là hình thoi”, mệnh đề này sai.
b. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$: “Nếu $2>9$ thì $4<3$”, mệnh đề này đúng.
Mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$: “Nếu $4<3$ thì $2>9$”, mệnh đề này đúng.
c. Mệnh đề $P\Rightarrow Q$: “Nếu tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ thì $\widehat{A}=2\widehat{B}$”, mệnh đề này đúng.
Mệnh đề đảo $Q\Rightarrow P$: “Nếu tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=2\widehat{B}$ thì nó vuông cân tại $A$”, mệnh đề này sai.

Ví dụ 6 : Phát biểu mệnh đề $P\Leftrightarrow Q$ và và xét tính đúng sai của nó.
a. $P:$ “Tứ giác $ABCD$ là hình thoi” và $Q:$ “Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
b. $P:$ “Bất phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}-3x}>1$ có nghiệm” và $Q:$ “$\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}-3.\left( -1 \right)}>1$”.

a. Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$: “Tứ giác $ABCD$ là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác $ABCD$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau”, mệnh đề này đúng vì mệnh đề $P \Rightarrow Q$, $Q \Rightarrow P$ đều đúng.
b. Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$: “Bất phương trình $\sqrt{{{x}^{2}}-3x}>1$ có nghiệm khi và chỉ khi $\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}-3.\left( -1 \right)}>1$”, mệnh đề này đúng vì mệnh đề $P, Q$ đều đúng, do đó mệnh đề $P\Rightarrow Q$, $Q \Rightarrow P$ đều đúng.

Dạng toán 4: Mệnh đề chứa kí hiệu $\forall$, $\exists$
Ví dụ 7 : Cho mệnh đề chứa biến “$P\left( x \right):x>{{x}^{3}}$”, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a. $P\left( 1 \right).$
b. $P\left( \frac{1}{3} \right).$
c. $\forall x\in N, P\left( x \right).$
d. $\exists x\in N, P\left( x \right).$

a. Ta có $P\left( 1 \right): 1>{{1}^{3}}$ đây là mệnh đề sai.
b. Ta có $P\left( \frac{1}{3} \right): \frac{1}{3}>{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}$ đây là mệnh đề đúng.
c. Ta có $\forall x\in N, x>{{x}^{3}}$ là mệnh đề sai vì $P\left( 1 \right)$ là mệnh đề sai.
d. Ta có $\exists x\in N, x>{{x}^{3}}$ là mệnh đề đúng.

Ví dụ 8 : Dùng các kí hiệu để viết các câu sau và viết mệnh đề phủ định của nó.
a. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho $6.$
b. Với mọi số thực bình phương của là một số không âm.
c. Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó.
d. Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó.

a. Mệnh đề $P$: “$\forall n \in N$, $n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \vdots 6$” và mệnh đề phủ định $\overline P $: “$\exists n \in N$, $n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\not \vdots 6$”.
b. Mệnh đề $Q:$ “$\forall x\in R$, ${{x}^{2}}\ge 0$” và mệnh đề phủ định $\overline{Q}:$ “$\exists x\in R, {{x}^{2}}<0$”.
c. Mệnh đề $R:$ “$\exists n\in Z$, ${{n}^{2}}=n$” và mệnh đề phủ định $\overline{R}:$ “$\forall n\in Z, {{n}^{2}}\ne n$”.
d. Mệnh đề $S:$ “$\exists q\in Q$, $\frac{1}{q}>q$” và mệnh đề phủ định $\overline{S}:$ “$\forall q\in Q, \frac{1}{q}\le q$”.