Định nghĩa
+ Mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) là tập hợp các điểm \(M\) trong không gian cách điểm \(O\) cố định một khoảng \(R\) không đổi.
Kí hiệu: \(S\left( {O;R} \right) = \left\{ {\left. M \right|OM = R} \right\}\)
+ Khối cầu tâm \(O\) bán kính \(R\) là tập hợp các điểm \(M\) thuộc mặt cầu và nằm trong mặt cầu.
Kí hiệu: \(V\left( {O;R} \right) = \left\{ {\left. M \right|OM \le R} \right\}\)
Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( P \right)\).
+ Nếu \(OH < R\) thì \(\left( S \right)\) cắt \(\left( P \right)\) theo đường tròn tâm \(H\) và bán kình \(r = \sqrt {{R^2} – O{H^2}} \).
+ Nếu \(OH = R\) thì \(\left( S \right)\) tiếp xúc \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(H\).
+ Nếu \(OH > R\) thì \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) không có điểm chung.
Đặc biệt: Nếu \(OH = 0\left( {O \equiv H} \right)\) thì đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) được gọi là đường tròn lớn, \(\left( P \right)\) được gọi là mặt phẳng kính.
Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R\) và đường thẳng \(d\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(d\).
+ Nếu \(OH < R\) thì \(\left( S \right)\) cắt \(d\) tại \(2\) điểm phân biệt.
+ Nếu \(OH = R\) thì \(\left( S \right)\) cắt \(d\) tại một điểm duy nhất \(H\). (\(d\) là tiếp tuyến với mặt cầu, \(H\) là tiếp điểm)
+ Nếu \(OH > R\) thì \(\left( S \right)\) và \(d\) không có điểm chung.
Tiếp tuyến với mặt cầu
– Qua một điểm nằm trong mặt cầu không vẽ được tiếp tuyến nào với mặt cầu.
– Qua một điểm nằm trên mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu tại điểm đó. Tập hợp các tiếp tuyến chính là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.
– Qua một điểm nằm ngoài mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm với mặt cầu là đường tròn nằm trên mặt cầu.
====
Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
- Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R: \(V=\frac{4}{3}\pi .R^3\).
- Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R: \(S = 4\pi {R^2}.\)
Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và hình chóp
a) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
- Hình chóp có một mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp.
- Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: nếu hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp thì tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là giao điểm của mặt phẳng trung trực của một cạnh bên và trục dường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
b) Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
- Hình lăng trụ có một mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi lăng trụ đó là lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp.
- Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ: nếu lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì tâm đường tròn ngoại tiếp lăng trụ đó chính là trung điểm của đoạn nối tâm 2 đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.
===========
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và vuông góc với mặt đáy. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Lời giải:
Xét các tam giác SAB, SBC, SDC, SAC đều là những tam giác vuông, và có chung SC là cạnh huyền.
Vậy trung điểm I của SC chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\).
Xét tam giác SAC vuông tại A ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 13a\).
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: \(R=\frac{{13a}}{2}\).
Diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2}=169\pi a^2.\)
Thể tích khối cầu là: \(V=\frac{4}{3}\pi .R^3=\frac{2197}{6}\pi a^3.\)
Ví dụ 2:
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a.
Lời giải:
Gọi H là tâm của tam giác đều BCD.
Dễ thấy A nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
Gọi O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp ABCD thì O nằm trên AH.
Đặt OH=x (x>0)
Ta có:
\(BH = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}a.\sin {60^0} = a.\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
\(AH = \sqrt {A{B^2} – B{H^2}} = \sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{3}} = a\sqrt {\frac{2}{3}}\)
\(OA = AH – x = a\sqrt {\frac{2}{3}} – x\)
\(BO = \sqrt {B{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}}\)
Mặt khác: \(OA = OB \Leftrightarrow a\sqrt {\frac{2}{3}} – x = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {x^2}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\).
Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên AH và cách (BCD) một khoảng \(OH=\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}.\)
Bán kính của mặt cầu là \(R=OA=a\sqrt {\frac{2}{3}} – \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)
Ví dụ 3:
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có OA=a, OB=b,OC=c và OA,OB,OC đôi một vuông góc.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB.
Dễ thấy H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB.
Mặt phẳng trung trực của SC cắt trục đường tròn (SAB) tại O.
Ta có O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Do OHSM là hình chữ nhật nên: \(MS=OH=\frac{1}{2}c\).
\(\begin{array}{l} R = SO = \sqrt {S{H^2} + H{O^2}} = \sqrt {{{\frac{{AB}}{4}}^2} + H{O^2}} \\ = \sqrt {{{\frac{{S{A^2} + SB}}{4}}^2} + H{O^2}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}. \end{array}\)
Ví dụ 4:
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, góc giữa AB’ với mặt đáy là 450. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Lời giải:
\(B’B = AB.\tan {45^0} = a\).
Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm các tam giác đều ABC và A’B’C’.
Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là trung điểm I của OO’.
Do A’B’C’ là tam giác đều nên \(O’C’=\frac{a \sqrt3}{3}.\)
\(IO’=\frac{1}{2}BB’=\frac{a}{2}.\)
Suy ra: \(R = IC’ = \sqrt {IO{‘^2} + O’C{‘^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\).
Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = \frac{7}{3}\pi {a^2}\).
====
Trả lời