Một bảng quảng cáo có chiều cao $3\text{ m}$ được treo thẳng đứng trên một bức tường sao cho mép dưới cách mặt đất $2{,}6\text{ m}$. Một người có tầm mắt ở độ cao $1{,}6\text{ m}$ quan sát bảng quảng cáo. Để góc nhìn bảng quảng cáo là lớn nhất, người đó cần đứng cách bức tường bao nhiêu mét?

📌 Đề bài (Trả lời ngắn):

Một bảng quảng cáo hình chữ nhật có chiều cao $3\text{ m}$ được gắn thẳng đứng trên một bức tường phẳng sao cho mép dưới của bảng cách mặt đất $2{,}6\text{ m}$. Một người có tầm mắt ở độ cao $1{,}6\text{ m}$ so với mặt đất đứng trên nền nhà bằng phẳng để quan sát bảng quảng cáo. Hỏi người đó phải đứng cách bức tường một khoảng bằng bao nhiêu mét để góc nhìn bảng quảng cáo (góc tạo bởi tia nhìn tới mép trên và tia nhìn tới mép dưới của bảng) đạt giá trị lớn nhất?

=================
Mô hình hóa bài toán theo hệ tọa độ phẳng (hoặc hình học phẳng) với đường nằm ngang đi qua vị trí mắt người quan sát:

* Gọi vị trí mắt của người quan sát là $O$, cách mặt đất $1{,}6\text{ m}$.
* Khoảng cách từ người quan sát đến bức tường là $d\text{ (m)}$ với $d > 0$.
* Gọi $H$ là điểm trên bức tường có cùng độ cao với mắt người quan sát ($OH = d$ và $OH$ vuông góc với tường).
* Gọi $A$ và $B$ lần lượt là vị trí mép dưới và mép trên của bảng quảng cáo:
* Điểm $A$ cách mắt một khoảng theo phương thẳng đứng là:

$$HA = 2{,}6 – 1{,}6 = 1\text{ (m)}$$

* Điểm $B$ cách mắt một khoảng theo phương thẳng đứng là:

$$HB = 2{,}6 + 3 – 1{,}6 = 4\text{ (m)}$$

—

**1. Thiết lập biểu thức góc nhìn theo khoảng cách $d$**

Góc nhìn bảng quảng cáo là góc $\widehat{AOB} = \theta$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$). Xét các tam giác vuông $OHA$ và $OHB$ tại $H$: $$\tan \widehat{HOB} = \frac{HB}{OH} = \frac{4}{d}$$ $$\tan \widehat{HOA} = \frac{HA}{OH} = \frac{1}{d}$$ Ta có $\theta = \widehat{HOB} - \widehat{HOA}$, áp dụng công thức lượng giác: $$\tan \theta = \tan(\widehat{HOB} - \widehat{HOA}) = \frac{\tan \widehat{HOB} - \tan \widehat{HOA}}{1 + \tan \widehat{HOB} \cdot \tan \widehat{HOA}}$$ $$\tan \theta = \frac{\frac{4}{d} - \frac{1}{d}}{1 + \frac{4}{d} \cdot \frac{1}{d}} = \frac{\frac{3}{d}}{1 + \frac{4}{d^2}} = \frac{3}{d + \frac{4}{d}}$$ --- **2. Tìm giá trị lớn nhất của góc nhìn $\theta$** Vì $0^\circ < \theta < 90^\circ$ nên góc $\theta$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\tan \theta$ đạt giá trị lớn nhất. Điều này tương đương với mẫu số $f(d) = d + \frac{4}{d}$ đạt giá trị nhỏ nhất với $d > 0$.

* **Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)**

$$d + \frac{4}{d} \ge 2\sqrt{d \cdot \frac{4}{d}} = 2 \cdot 2 = 4$$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi:

$$d = \frac{4}{d} \iff d^2 = 4 \iff d = 2\text{ (m)}$$

* **Cách 2: Khảo sát hàm số**

$$f'(d) = 1 – \frac{4}{d^2} = 0 \iff d = 2\text{ (do } d > 0\text{)}$$

Hàm số $f(d)$ đạt cực tiểu tại $d = 2$.

Khi $d = 2\text{ m}$, ta có $\tan \theta_{\max} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \implies \theta \approx 36{,}87^\circ$.

—

Người đó phải đứng cách bức tường một khoảng bằng **$2\text{ m}$** để góc nhìn bảng quảng cáo đạt giá trị lớn nhất.