Người ta muốn uốn một tấm tôn phẳng có bề rộng $30\text{ cm}$ thành một chiếc máng dẫn nước có mặt cắt ngang là một hình thang cân với đáy dưới dài $10\text{ cm}$ và hai cạnh bên mỗi cạnh dài $10\text{ cm}$. Gọi $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) là góc tạo bởi mỗi cạnh bên với phương nằm ngang. Tính góc $\alpha$ (theo đơn vị độ) để diện tích mặt cắt ngang của máng đạt giá trị lớn nhất

Mô hình hóa mặt cắt ngang của máng nước là hình thang cân $ABCD$ với:

* Đáy dưới: $CD = 10\text{ cm}$.
* Hai cạnh bên: $AD = BC = 10\text{ cm}$.
* Góc nghiêng của cạnh bên so với phương nằm ngang là $\alpha$ với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. --- **1. Biểu diễn các kích thước của hình thang theo $\alpha$** Hạ đường cao từ hai đỉnh của đáy nhỏ xuống đáy lớn (hoặc từ mép trên xuống đáy dưới theo phương nằm ngang): * Chiều cao của hình thang: $$h = 10\sin\alpha\text{ (cm)}$$ * Độ dài hình chiếu của mỗi cạnh bên lên phương nằm ngang: $$x = 10\cos\alpha\text{ (cm)}$$ * Đáy trên (đáy lớn) của hình thang: $$AB = CD + 2x = 10 + 20\cos\alpha\text{ (cm)}$$ --- **2. Thiết lập hàm diện tích mặt cắt ngang** Diện tích mặt cắt ngang $S$ của máng là diện tích hình thang cân $ABCD$: $$S(\alpha) = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(10 + 20\cos\alpha + 10) \cdot 10\sin\alpha}{2}$$ $$S(\alpha) = 100(1 + \cos\alpha)\sin\alpha\text{ (cm}^2\text{)}$$ --- **3. Tìm giá trị của $\alpha$ để $S(\alpha)$ đạt giá trị lớn nhất** Xét hàm số $f(\alpha) = (1 + \cos\alpha)\sin\alpha$ trên khoảng $\left(0^\circ; 90^\circ\right)$: $$f'(\alpha) = (-\sin\alpha)\sin\alpha + (1 + \cos\alpha)\cos\alpha$$ $$f'(\alpha) = -\sin^2\alpha + \cos\alpha + \cos^2\alpha$$ Áp dụng đồng nhất thức $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$: $$f'(\alpha) = -(1 - \cos^2\alpha) + \cos\alpha + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1$$ Giải phương trình $f'(\alpha) = 0$: $$2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0 \iff (2\cos\alpha - 1)(\cos\alpha + 1) = 0$$ Vì $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\cos\alpha > 0$, do đó:

$$\cos\alpha = \frac{1}{2} \implies \alpha = 60^\circ$$

* Khi $0^\circ < \alpha < 60^\circ \implies \cos\alpha > \frac{1}{2} \implies f'(\alpha) > 0$ (hàm số đồng biến).
* Khi $60^\circ < \alpha < 90^\circ \implies \cos\alpha < \frac{1}{2} \implies f'(\alpha) < 0$ (hàm số nghịch biến). Do đó, hàm số $S(\alpha)$ đạt giá trị lớn nhất tại $\alpha = 60^\circ$. --- Góc cần tìm để diện tích mặt cắt ngang của máng đạt giá trị lớn nhất là **$\alpha = 60^\circ$**.