Một hộ gia đình cần xây một bể chứa nước ngọt dạng hình hộp chữ nhật không có nắp với thể tích bằng $48\text{ m}^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công và vật liệu để xây đáy bể là $400$ nghìn đồng/$\text{m}^2$, chi phí xây bốn bức tường xung quanh là $300$ nghìn đồng/$\text{m}^2$. Hỏi chi phí nhỏ nhất mà hộ gia đình cần chi trả để hoàn thành bể nước đó là bao nhiêu nghìn đồng?

💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)

Bước 1. Thiết lập các kích thước của bể nước:

Gọi chiều rộng của đáy bể là $x$ $(\text{m})$, với $x > 0$.
Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài của đáy bể là $2x$ $(\text{m})$.
Diện tích đáy bể là: $$S_đ = x \cdot 2x = 2x^2 \quad (\text{m}^2)$$ Gọi $h$ $(\text{m})$ là chiều cao của bể. Thể tích của bể là $V = S_đ \cdot h = 2x^2 h = 48\text{ m}^3$, suy ra: $$h = \frac{48}{2x^2} = \frac{24}{x^2} \quad (\text{m})$$

Gọi các kích thước của bể nước hình hộp chữ nhật không nắp lần lượt là: * Chiều rộng của đáy: $x\text{ (m)}$ ($x > 0$). * Chiều dài của đáy: $2x\text{ (m)}$. * Chiều cao của bể: $h\text{ (m)}$ ($h > 0$). **1. Biểu diễn chiều cao $h$ theo $x$** Thể tích của bể nước là $48\text{ m}^3$: $$V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2h = 48 \implies h = \frac{24}{x^2}$$ — **2. Thiết lập hàm chi phí xây dựng** * **Diện tích đáy bể:** $$S_{\text{đáy}} = x \cdot 2x = 2x^2\text{ (m}^2\text{)}$$ Chi phí xây đáy bể (đơn giá $400$ nghìn đồng/$\text{m}^2$): $$C_{\text{đáy}} = 400 \cdot 2x^2 = 800x^2\text{ (nghìn đồng)}$$ * **Diện tích $4$ bức tường xung quanh:** $$S_{xq} = 2(x + 2x) \cdot h = 6xh = 6x \cdot \frac{24}{x^2} = \frac{144}{x}\text{ (m}^2\text{)}$$ Chi phí xây $4$ bức tường (đơn giá $300$ nghìn đồng/$\text{m}^2$): $$C_{xq} = 300 \cdot \frac{144}{x} = \frac{43\,200}{x}\text{ (nghìn đồng)}$$ * **Tổng chi phí cần chi trả:** $$C(x) = 800x^2 + \frac{43\,200}{x}\text{ (nghìn đồng, với } x > 0\text{)}$$ — **3. Tìm chi phí nhỏ nhất** * **Cách 1: Dùng đạo hàm** $$C'(x) = 1600x – \frac{43\,200}{x^2}$$ $$C'(x) = 0 \iff 1600x^3 = 43\,200 \iff x^3 = 27 \iff x = 3\text{ (m)}$$ Bảng biến thiên cho thấy hàm số $C(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 3$. * **Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM)** Tách biểu thức thành $3$ số dương: $$C(x) = 800x^2 + \frac{21\,600}{x} + \frac{21\,600}{x} \ge 3\sqrt[3]{800x^2 \cdot \frac{21\,600}{x} \cdot \frac{21\,600}{x}}$$ $$C(x) \ge 3\sqrt[3]{800 \cdot 21\,600^2} = 3 \cdot 7\,200 = 21\,600$$ Dấu “$=$” xảy ra khi: $$800x^2 = \frac{21\,600}{x} \iff x^3 = 27 \iff x = 3$$ — Thay $x = 3$ vào hàm chi phí: $$C_{\min} = 800 \cdot 3^2 + \frac{43\,200}{3} = 7\,200 + 14\,400 = 21\,600\text{ (nghìn đồng)}$$ Chi phí nhỏ nhất mà hộ gia đình cần chi trả để hoàn thành bể nước là **$21\,600$ nghìn đồng** (tương đương $21{,}6$ triệu đồng).