Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\tan x}{\cos 2x – \sin x}$

Hàm số $y = \frac{\tan x}{\cos 2x – \sin x}$ xác định khi và chỉ khi đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:

$$\begin{cases} \tan x \text{ xác định} \\ \cos 2x – \sin x \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \cos x \ne 0 & (1) \\ \cos 2x – \sin x \ne 0 & (2) \end{cases}$$

Bước 1: Giải điều kiện (1):

$$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Bước 2: Giải điều kiện (2):

Áp dụng công thức nhân đôi $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$, ta có:

$$\cos 2x – \sin x \ne 0 \Leftrightarrow 1 – 2\sin^2 x – \sin x \ne 0$$ $$\Leftrightarrow -2\sin^2 x – \sin x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow (1 – \sin x)(2\sin x + 1) \ne 0 \quad \text{hay} \quad (2\sin x – 1)(\sin x + 1) \ne 0$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} \sin x \ne \frac{1}{2} \\ \sin x \ne -1 \end{cases}$$

Trong đó:

• $\sin x \ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ne \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x \ne \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$.
• $\sin x \ne -1 \Leftrightarrow x \ne -\frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Bước 3: Tổng hợp các họ nghiệm bị loại trừ:

Họ nghiệm $x \ne -\frac{\pi}{2} + k2\pi$ đã được bao hàm trọn vẹn trong họ nghiệm $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ (ứng với các điểm ngọn tại cực bắc và cực nam trên đường tròn lượng giác).

Do đó, tập các giá trị của $x$ cần loại bỏ là:

$$x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi; \quad x \ne \frac{\pi}{6} + k2\pi; \quad x \ne \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

👉 Kết luận: Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi; \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$. Chọn đáp án A.