KP1
Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 14 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.
a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?
i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(28^\circ C\).
ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(40^\circ C\).
iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(34^\circ C\).
b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị hình 1
Lời giải chi tiết:
a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là \(34^\circ C\)
b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày (\(34^\circ C\)) là lúc 16 giờ
c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(20^\circ C\)
TH1
Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) \(f(x) = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
b) \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
c) \(h(x) = x\sqrt {2 – {x^2}} \)
Phương pháp giải:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.
– Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \le \) M với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_D \)f(x). Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_D \)f(x).
– Tìm đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên và xác định GTLN và GTNN
Lời giải chi tiết:
a) Xét \(f(x) = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]
\(f'(x) = 6{x^2} – 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0;3]} f(x) = f(0) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0;3]} f(x) = f(3) = 10\)
b) Xét \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)
\(g'(x) = 1 – \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{(0;5)} f(x) = f(1) = 2\) và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)
c) Xét \(h(x) = x\sqrt {2 – {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = [ – \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)
\(h'(x) = \sqrt {2 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2 – {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = ( – \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\)
\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D f(x) = f( – 1) = – 1\) và \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(1) = 1\)
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).
Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t \( \ge \) 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)
\(y(t) = 5 – \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\)
Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?
(Theo: https://www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric_ characterization _of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc)
Phương pháp giải:
Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên
Lời giải chi tiết:
Xét \(y(t) = 5 – \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \([0; + \infty )\)
\(y'(t) = \frac{{135{t^2} – 15}}{{{{(9{t^2} + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = – \frac{1}{3}(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(\frac{1}{3}) = – \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(0) = 5\)
Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = \(\frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất.
KP2
Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số
\(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}\); \(g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;neu\;x \le 2\;\\ – 4x + 10\;\;\;\;neu\;x \ge 2\end{array} \right.\) và \(h(x) = 3 – \frac{1}{2}{x^2}\) trên đoạn [-1;3]
a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?
b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?
Phương pháp giải:
Quan sát đồ thị và chỉ ra điểm cực đại và giá trị lớn nhất của 3 hàm số
Lời giải chi tiết:
a) \(h(x)\)đạt giá trị cực đại tại x = 0 và \(\mathop {\max h(x)}\limits_{[ – 1;3]} = h(0) = 3\)
b) \(\mathop {\max f(x)}\limits_{[ – 1;3]} = f(3) = \frac{9}{2}\) và \(\mathop {\max g(x)}\limits_{[ – 1;3]} = g(2) = 2\)
TH2
Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]
Phương pháp giải:
Tìm đạo hàm g’(x), lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lời giải chi tiết:
Xét \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]
\(g'(x) = 1 – \frac{8}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[1;4]} g(x) = g(2) = 3\) và \(\mathop {\max }\limits_{[1;4]} g(x) = g(1) = 5\)
TH3
Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 18 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Tìm hệ thức liên hệ giữa các cạnh, từ đó suy ra hàm số của diện tích tam giác vuông. Sau đó tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất của hàm số
Lời giải chi tiết:
Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {25 – {x^2}} \)
Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = x\sqrt {25 – {x^2}} \)
Tập xác định: \(D = (0; 5 )\)
\(f'(x) = \sqrt {25 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {25 – {x^2}} }}\)
Tập xác định mới: \({D_1} = (0; 5 )\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\sqrt {2} }}{2}\\x = – \frac{{5\sqrt {2} }}{2}(loai)\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(\frac{{5\sqrt {2} }}{2}) = \frac{25}{2}\)
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{25}{2}\)
Giải bài tập 1 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Quan sát đồ thị, xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng cách:
– Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \le \) M với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_D \)f(x). Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi x thuộc D và tồn tại \({x_0}\) thuộc D sao cho f(\({x_0}\)) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_D \)f(x).
Lời giải chi tiết
a) Từ đồ thị, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{[1;6]} f(x) = f(1) = 6\) và \(\mathop {\min }\limits_{[1;6]} f(x) = f(5) = 1\)
b) Từ đồ thị, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{[ – 3;3]} g(x) = g( – 3) = g( – 1) = 1\) và \(\mathop {\min }\limits_{[ – 3;3]} g(x) = g(1) = 7\).
Giải bài tập 2 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = {x^3} – 12x + 1\) trên đoạn [-1;3] b) \(y = – {x^3} + 24{x^2} – 180x + 400\) trên đoạn [3;11] c) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}\) trên đoạn [3;7] d) \(y = \sin 2x\) trên đoạn \([0;\frac{{7\pi }}{{12}}]\)
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} – 12x + 1\) trên đoạn [-1;3]
b) \(y = – {x^3} + 24{x^2} – 180x + 400\) trên đoạn [3;11]
c) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}\) trên đoạn [3;7]
d) \(y = \sin 2x\) trên đoạn \([0;\frac{{7\pi }}{{12}}]\)
Lời giải chi tiết
a) Xét \(y = {x^3} – 12x + 1\) trên đoạn [-1;3]
\(y’ = 3{x^2} – 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = – 2(loai)\end{array} \right.\)
Có y(−1) = 12; y(2) = −15; y(3) = −8.
ta có \(\mathop {\max }\limits_{[ – 1;3]} y = y( – 1) = 12\) và \(\mathop {\min }\limits_{[ – 1;3]} y = y(2) = – 15\)
b) Xét \(y = – {x^3} + 24{x^2} – 180x + 400\) trên đoạn [3;11]
\(y’ = – 3{x^2} + 48x – 180 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = 6\end{array} \right.\)
Có y(3) = 49; y(6) = −32; y(10) = 0; y(11) = −7.
ta có \(\mathop {\max }\limits_{[3;11]} y = y(3) = 49\) và \(\mathop {\min }\limits_{[3;11]} y = y(6) = – 32\)
c) Xét \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}\) trên đoạn [3;7]
\(y’ = \frac{{ – 5}}{{{{(x – 2)}^2}}} < 0\forall x \in [3;7]\)
Có y(3)=7;y3=7;y(7) = 3.
ta có \(\mathop {\max }\limits_{[3;7]} y = y(3) = 7\) và \(\mathop {\min }\limits_{[3;7]} y = y(7) = 3\)
d) Xét \(y = \sin 2x\) trên đoạn \([0;\frac{{7\pi }}{{12}}]\)
\(y’ = 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}(k \in \mathbb{Z})\)
Ta có: \(x \in [0;\frac{{7\pi }}{{12}}] \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4}\)
Có y(0) = 0; y(π/2)=0; y(7π/12)=−12
ta có \(\mathop {\max }\limits_{[0;\frac{{7\pi }}{{12}}]} y = y(\frac{\pi }{4}) = 1\) và \(\mathop {\min }\limits_{[0;\frac{{7\pi }}{{12}}]} y = y(\frac{{7\pi }}{{12}}) = – \frac{1}{2}\).
Giải bài tập 3 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) \(y = {x^3} – 3x – 4\) trên nửa khoảng [-3;2) b) \(y = \frac{{3{x^2} – 4x}}{{{x^2} – 1}}\) trên khoảng \(( – 1; + \infty )\)
Đề bài
Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} – 3x – 4\) trên nửa khoảng [-3;2)
b) \(y = \frac{{3{x^2} – 4x}}{{{x^2} – 1}}\) trên khoảng \(( – 1; + \infty )\)
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị nhỏ nhất
Lời giải chi tiết
a) Xét \(y = {x^3} – 3x – 4\) trên nửa khoảng [-3;2)
\(y’ = 3{x^2} – 3 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[ – 3;2)} y = y( – 3) = – 22\)
b) Xét \(y = \frac{{3{x^2} – 4x}}{{{x^2} – 1}}\) trên khoảng \(( – 1; + \infty )\)
Tập xác định: \(D = ( – 1; + \infty )\backslash \{ 1\} \)
\(y’ = \frac{{4{x^2} – 6x + 4}}{{{{({x^2} – 1)}^2}}} > 0\forall x \in D\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(( – 1; + \infty )\).
Giải bài tập 4 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?
Đề bài
Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Tìm mối liên hệ giữa chiều dài và chiều rộng của cửa, sau đó lập hàm số của diện tích cửa sổ, tìm đạo hàm, vẽ bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất của diện tích
Lời giải chi tiết
Gọi a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cửa sổ (m; a,b > 0)
Chu vi cửa sổ là: \(2(a + b) = 4 \Leftrightarrow b = 2 – a\)
Diện tích cửa sổ là: \(y = ab = a(2 – a) = – {a^2} + 2a\)
\(y’ = – 2a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = 1\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} y = y(1) = 1\)
Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất bằng \(1{m^2}\) thì chiều dài và chiều rộng bằng nhau và bằng 1m.
Giải bài tập 5 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\sqrt {1 – {x^2}} + {x^2}\)
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\sqrt {1 – {x^2}} + {x^2}\)
Phương pháp giải – Xem chi tiết
tìm tập xác định, tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Lời giải chi tiết
Tập xác định: \(D = [ – 1;1]\)
\(y’ = \frac{{ – 2x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} + 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Tập xác định mới: \({D_1} = ( – 1;1)\)
Có y(−1)=1; y(0) = 2; y(1) = 1.
ta có \(\mathop {\max }\limits_D y = y(0) = 2\) và \(\mathop {\min }\limits_D y = y( – 1) = y(1) = 1\).
Giải bài tập 6 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Khối lượng \(q\) (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán \(p\) (nghìn đồng/kg) theo công thức \(p = 15 – \frac{1}{2}q\). Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức \(R = pq\). a) Viết công thức biểu diễn \(R\) theo \(p\). b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.
Đề bài
Khối lượng \(q\) (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán \(p\) (nghìn đồng/kg) theo công thức \(p = 15 – \frac{1}{2}q\). Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức \(R = pq\).
a) Viết công thức biểu diễn \(R\) theo \(p\).
b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
a) Biến đổi công thức \(p = 15 – \frac{1}{2}q\) để tìm biểu thức biểu diễn \(q\) theo \(p\), sau đó thay vào công thức \(R = pq\)
b) Lập hàm số từ công thức trên biểu diễn theo \(p\), tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(p = 15 – \frac{1}{2}q \Leftrightarrow q = 2(15 – p)\)
Thay vào \(R = pq\) ta được: \(R = p.2(15 – p) = – 2{p^2} + 30p\)
b) Đặt \(y = – 2{p^2} + 30p\)
Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)
\(y’ = – 4p + 30 = 0 \Leftrightarrow p = 7,5\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D y = y(7,5) = 112,5\)
Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.
Giải bài tập 7 trang 18 SGK Toán 12 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Hộp sữa \(1l\) được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.
Đề bài
Hộp sữa \(1l\) được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Tìm mối liên hệ giữa chiều cao và cạnh đáy, từ đó lập hàm số biểu diễn diện tích toàn phần của hộp theo x. Sau đó tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị nhỏ nhất
Lời giải chi tiết
Gọi chiều cao của hộp là h (cm)
Thể tích của hộp là: \(V = h.{x^2} = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{{{x^2}}}\)
Diện tích toàn phần của hộp là: \(y = {S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{day}} = 4hx + 2{x^2} = 4.\frac{1}{{{x^2}}}.x + 2{x^2} = 2{x^2} + \frac{4}{x}\)
Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)
\(y’ = 4x – \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D y = y(1) = 6\)
Vậy x = 1cm thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng 6 \(c{m^2}\)
Để lại một bình luận