Giải SGK Toán 11 Bài 3 (Cánh diều): Hàm số mũ. Hàm số lôgarit – CD

Giải SGK Toán 11 Bài 3 (Cánh diều): Hàm số mũ. Hàm số lôgarit – SÁCH GIÁO KHOA CÁNH DIÊU 2024

================

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Câu hỏi khởi động trang 39 Toán 11 Tập 2: Một doanh nghiệp gửi ngân hàng 1 tỉ đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất 6,2

x

–1

0

1

2

3

y

?

?

?

?

?

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2^x) với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = 2^x (Hình 1).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2^x với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = 2^x, nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{2}^x,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{2}^x;$

• Sự biến thiên của hàm số y = 2^x và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = 2^x.

Thay x = –1 vào hàm số trên ta được $y=2^{-1}=\frac{1}{2}.$

Tương tự, thay lần lượt các giá trị x = 0; x = 1; x = 2; x = 3 vào hàm số ta được bảng sau:

b) Các điểm$A\left(-1;\frac{1}{2}\right);B\left(0;1\right);C\left(1;2\right);D\left(2;4\right);E\left(3;8\right)$ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 1.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2^x) với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = 2^x (Hình 1).

c) Giao điểm của đồ thị hàm số y = 2^x với trục tung là B(0; 1) và đồ thị hàm số đó nằm ở phía trên trục hoành, đi lên kể từ trái sang phải.

d) Từ đồ thị hàm số, ta thấy:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{2}^x=\mathrm{0,}\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{2}^x=+\infty .$

• Đồ thị hàm số y = 2^x đi lên kể từ trái sang phải nên hàm số y = 2^x đồng biến trên ℝ.

Bảng biến thiên của hàm số y = 2^x:

Hoạt động 3 trang 40 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số mũ $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x.$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)$ với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ (Hình 2).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x,$ nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x;$

• Sự biến thiên của hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

Thay x = –3 vào hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ta được $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}.$

Tương tự, ta thay lần lượt các giá trị x = –2; x = –1; x = 0; x = 1 vào hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ta được bảng sau:

b) Các điểm $M\left(-3;8\right);N\left(-2;4\right);P\left(-1;2\right);Q\left(0;1\right);R\left(1;\frac{1}{2}\right)$ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 2.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)$ với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ (Hình 2).

c) Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ với trục tung là Q(0; 1) và đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ nằm ở phía trên trục hoành, đi xuống kể từ trái sang phải.

d) Từ đồ thị hàm số, ta thấy:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=0;$

• Đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ đi xuống kể từ trái sang phải nên hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ nghịch biến trên ℝ.

Bảng biến thiên của hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x:$

Luyện tập 2 trang 42 Toán 11 Tập 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x.$

Lời giải:

Vì hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ có cơ số $\frac{1}{3}<1$ nên ta có bảng biến thiên như sau

Đồ thị của hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm $A\left(-2;9\right);B\left(-1;3\right);C\left(0;1\right);D\left(1;\frac{1}{3}\right)$ như hình vẽ:

II. Hàm số Lôgarit

Hoạt động 4 trang 43 Toán 11 Tập 2: Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

Lời giải:

Thay x = 1 vào hàm số y = log₃x ta được y = log₃1 = 0.

Tương tự, thay lần lượt các giá trị x = 1; x = 3; x = 9; x = 27 vào hàm số y = log₃x ta được bảng sau:

Luyện tập 3 trang 43 Toán 11 Tập 2: Cho hai ví dụ về hàm số lôgarit.

Lời giải:

Hai ví về hàm số lôgarit: log₃x và log₇(x + 2).

Hoạt động 5 trang 43 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số lôgarit y = log₂x.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; log₂x) với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = log₂x (Hình 6).

c)Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = log₂x với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục tung.

d)Quan sát đồ thị hàm số y = log₂x, nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{2}x,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{2}x;$

• Sự biến thiên của hàm số y = log₂x và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a) Xét hàm số y = log₂x.

Thay x = 0,5 vào hàm số y = log₂x ta được y = log₂0,5 = y = log₂2⁻¹ = –1.

Tương tự, thay lần lượt các giá trị x = 1; x = 2; x = 4; x = 8 vào hàm số y = log₂x, ta được bảng sau:

b) Các điểm A(0,5; –1), B(1; 0), C(2; 1); D(4; 2) và E(8; 3) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 6.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; log₂x) với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = log₂x (Hình 6).

c) Giao điểm đồ thị hàm số y = log₂x với trục hoànhlà B(1; 0) và đồ thị hàm số y = log₂xnằm ở phía biên phải trục tung, đi lên kể từ trái sang phải.

d) Từ đồ thị ta thấy:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{2}x=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{2}x=+\infty$

• Đồ thị hàm số y = log₂xđi lên kể từ trái sang phải (với x ∈ (0; +∞)) nên hàm số y = log₂xđồng biến trên (0; +∞).

Bảng biến thiên của hàm số đó:

Hoạt động 6 trang 44 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số lôgarit $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\log }_{\frac{1}{2}}x\right)$ với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ (Hình 7).

c)Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục tung.

d)Quan sát đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x,$ nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}x,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}x;$

• Sự biến thiên của hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x.$

Thay x = 0,5 vào hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ ta được $y={\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{0,5}=1.$

Thay lần lượt các giá trị x = 1; x = 2; x = 4; x = 8 vào hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ ta được bảng sau:

b) Các điểm M(0,5; 1), N(1; 0), P(2; –1), Q(4; –2) và R(8; –3) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 7.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\log }_{\frac{1}{2}}x\right)$ với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ (Hình 7).

c) Giao điểm đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ với trục hoành là N(1; 0) và đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$nằm ở phía bên phải trục tung, đi xuống kể từ trái sang phải.

d) Từ đồ thị hàm số, ta thấy:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}x=-\infty ;$

• Đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ đi xuống kể từ trái sang phải nên hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến trên (0; +∞).

Bảng biến thiên của hàm số đó:

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{3}}x.$

Lời giải:

Vì hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số $\frac{1}{3}<1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số là một đường cong liền nét đi qua các điểm $A\left(\frac{1}{3};1\right),B\left(1;0\right),C\left(3;-1\right),D\left(9;-2\right)$ như hình vẽ:

Bài tập

Bài 1 trang 47 Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = 12^x;

b) y = log₅(2x – 3);

c) $y={\text{log}}_{\frac{1}{5}}\left(-x^2+4\right)$ .

Lời giải:

a) Hàm số y = 12^x xác định với mọi x nên tập xác định D = ℝ.

b) Hàm số y = log₅(2x – 3) xác định khi 2x – 3 > 0 hay $x>\frac{3}{2}$

Vậy tập xác định của hàm số trên là $D=\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ .

c) Hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{5}}\left(-x^2+4\right)$ xác định khi –x² + 4 > 0, hay x² < 4 nên –2 < x < 2

Vậy tập xác định của hàm số trên là D = (–2; 2).

Bài 2 trang 47 Toán 11 Tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao?

a) $y={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^x;$ b) $y={\left(\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)}^x;$

c) y = log_πx; d) $y={\text{log}}_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x.$

Lời giải:

a) Hàm số $y={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^x$ có tập xác định D = ℝ.

Do $0<\frac{\sqrt{3}}{2}<1$ nên hàm số $y={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^x$ nghịch biến ℝ.

b) Hàm số $y={\left(\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)}^x$ có tập xác định D = ℝ.

Do $0<\frac{\sqrt[3]{26}}{3}<1$ nên hàm số $y={\left(\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)}^x$ nghịch biến trên ℝ.

c) Hàm số y = log_πx có tập xác định là D = (0; +∞).

Do π > 1nên hàm số y = log_πx đồng biến trên (0; +∞).

d) Hàm số $y={\text{log}}_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x$ có tập xác định là D = (0; +∞).

Do $0<\frac{\sqrt{15}}{4}<1$ nên hàm số $y={\text{log}}_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x$ nghịch biến trên (0; +∞).

Bài 3 trang 47 Toán 11 Tập 2: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) y = 4^x;b) $y={\text{log}}_{\frac{1}{4}}x$ .

Lời giải:

a) Vì hàm số y = 4^x có cơ số 4 > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số y = 4^x là đường thẳng đi qua các điểm $A\left(-1;\frac{1}{4}\right),B\left(0;1\right),$ $C\left(\frac{1}{2};2\right),D\left(1;4\right),E\left(\frac{3}{2};8\right)$ như hình vẽ:

b) Vì hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{4}}x$ có cơ số $\frac{1}{4}<1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{4}}x$ là đường thẳng đi qua các điểm $M\left(\frac{1}{4};1\right),N\left(1;0\right),$ $P\left(2;\frac{-1}{2}\right),$ $Q\left(4;-1\right),R\left(8;-\frac{3}{2}\right)$ như hình vẽ:

Bài 4 trang 47 Toán 11 Tập 2: Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ t là hàm số theo biến t được cho bởi công thức: S = A.e^rt, trong đó A là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98 564 407 người và tỉ lệ tăng dân số 0,93 THUỘC: Giải bài tập Toán 11 TẬP 2- CD