Giải Sách bài tập Toán 11 (CTST) Bài 3: Các công thức lượng giác

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác – SGK CTST

Bài 1 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a)

$\sin \frac{19\pi }{24}\cos \frac{37\pi }{24};$

b)

$\cos \frac{41\pi }{12}-\cos \frac{13\pi }{12};$

c)

$\frac{\tan \frac{\pi }{7}+\tan \frac{3\pi }{28}}{1+\tan \frac{6\pi }{7}\tan \frac{3\pi }{28}};$

Lời giải:

a)

$\text{sin}\frac{19\pi }{24}\text{cos}\frac{37\pi }{24} =\frac{1}{2}\left[\text{sin}\left(\frac{19\pi }{24}-\frac{37\pi }{24}\right)+\text{sin}\left(\frac{19\pi }{24}+\frac{37\pi }{24}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\text{sin}\left(-\frac{3\pi }{4}\right)+\text{sin}\frac{7\pi }{3}\right]=\frac{1}{2}\left(-\text{sin}\frac{3\pi }{4}+\text{sin}\frac{\pi }{3}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}.$

b)

$\text{cos}\frac{41\pi }{12}-\text{cos}\frac{13\pi }{12}=-2\text{sin}\frac{\frac{41\pi }{12}+\frac{13\pi }{12}}{2}\text{sin}\frac{\frac{41\pi }{12}-\frac{13\pi }{12}}{2}$
$=-2\text{sin}\frac{9\pi }{4}\text{sin}\frac{7\pi }{6}$

$=2\text{sin}\frac{\pi }{4}\text{sin}\frac{\pi }{6}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

c)

$\frac{\text{tan}\frac{\pi }{7}+\text{tan}\frac{3\pi }{28}}{1+\text{tan}\frac{6\pi }{7}\text{tan}\frac{3\pi }{28}}=\frac{\text{tan}\frac{\pi }{7}+\text{tan}\frac{3\pi }{28}}{1+\text{tan}\left(\pi -\frac{\pi }{7}\right)\text{tan}\frac{3\pi }{28}}=\frac{\text{tan}\frac{\pi }{7}+\text{tan}\frac{3\pi }{28}}{1-\text{tan}\frac{\pi }{7}\text{tan}\frac{3\pi }{28}}$

$=\text{tan}\left(\frac{\pi }{7}+\frac{3\pi }{28}\right)=\text{tan}\frac{\pi }{4}=1.$

Bài 2 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Cho

$\cos \alpha =\frac{11}{61}$ và

$-\frac{\pi }{2}<\alpha <\mathrm{0,}$ tính giá trị của cac biểu thức sau:

a)

$\sin \left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right);$

b)

$\cot \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right);$

c)

$\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right);$

d)

$\tan \left(\frac{3\pi }{4}-2\alpha \right)$

Lời giải:

a) Vì

$-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ nên sinα < 0.

Do đó,

$\text{sin}\alpha =-\sqrt{1-{\text{cos}}^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{11}{61}\right)}^2}=-\frac{60}{61}$.

Suy ra

$\text{sin}\left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)=\text{sin}\frac{\pi }{6}\text{cos}\alpha -\text{cos}\frac{\pi }{6}\text{sin}\alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{61}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{60}{61}\right)=\frac{11+60\sqrt{3}}{122}\text{. }$

b) Ta có

$\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{-\frac{60}{61}}{}\frac{11}{61}=-\frac{60}{11}.$

Do đó

$\text{cot}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\text{tan}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}$
$=\frac{1-\text{tan}\alpha \text{tan}\frac{\pi }{4}}{\text{tan}\alpha +\text{tan}\frac{\pi }{4}}=\frac{1-\left(-\frac{60}{11}\right)\cdot 1}{\left(-\frac{60}{11}\right)+1}=-\frac{71}{49}.$

c) Ta có:

$\text{cos}2\alpha =2{\text{cos}}^2\alpha -1=2\cdot {\left(\frac{11}{61}\right)}^2-1=-\frac{3479}{3721}$

$\text{sin}2\alpha =2\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =2\cdot \left(-\frac{60}{61}\right)\cdot \frac{11}{61}=-\frac{1320}{3721}.$

Suy ra:

$\text{cos}\left(2\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\text{cos}2\alpha \text{cos}\frac{\pi }{3}-\text{sin}2\alpha \text{sin}\frac{\pi }{3}=-\frac{3479}{3721}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{1320}{3721}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{-3479+1320\sqrt{3}}{7442}$

d) Ta có

$\text{tan}2\alpha =\frac{\text{sin}2\alpha }{\text{cos}2\alpha }=\frac{-\frac{1320}{3721}}{-\frac{3479}{3721}}=\frac{1320}{3479}$.

Suy ra:

$\text{tan}\left(\frac{3\pi }{4}-2\alpha \right)=\frac{\text{tan}\frac{3\pi }{4}-\text{tan}2\alpha }{1+\text{tan}\frac{3\pi }{4}\text{tan}2\alpha }=\frac{-1-\frac{1320}{3479}}{1+\left(-1\right)\cdot \frac{1320}{3479}}=-\frac{4799}{2159}$.

Bài 3 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x;

b)

$\frac{\sin 3x\cos 2x+\sin x\cos 6x}{\sin 4x};$

c)

$\frac{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}{\mathrm{s}\text{inx}-\sin 2x+\sin 3x};$

d)

$\frac{2\sin \left(x+y\right)}{\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right)}-\tan y.$

Lời giải:

a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x = sinxcosx(cos⁴x ‒ sin⁴x)

$=\frac{1}{2}\text{sin}2x\left({\text{cos}}^{2}x-{\text{sin}}^{2}x\right)\left({\text{cos}}^{2}x+{\text{sin}}^{2}x\right)$

$=\frac{1}{2}\text{sin}2x\text{cos}2x=\frac{1}{4}\text{sin}4x.$

b)

$\frac{\text{sin}3x\text{cos}2x+\text{sin}x\text{cos}6x}{\text{sin}4x}=\frac{\frac{1}{2}\left(\text{sin}x+\text{sin}5x\right)+\frac{1}{2}\left[\text{sin}\left(-5x\right)+\text{sin}7x\right]}{\text{sin}4x}$

$=\frac{\text{sin}x+\text{sin}5x-\text{sin}5x+\text{sin}7x}{2\text{sin}4x}=\frac{\text{sin}x+\text{sin}7x}{2\text{sin}4x}$

$=\frac{2\text{sin}4x\text{cos}3x}{2\text{sin}4x}=\text{cos}3x.$

$\text{c) }\frac{\text{cos}x-\text{cos}2x+\text{cos}3x}{\text{sin}x-\text{sin}2x+\text{sin}3x}=\frac{\left(\text{cos}x+\text{cos}3x\right)-\text{cos}2x}{\left(\text{sin}x+\text{sin}3x\right)-\text{sin}2x}$

$=\frac{2\text{cos}2x\text{cos}x-\text{cos}2x}{2\text{sin}2x\text{cos}x-\text{sin}2x}$

$=\frac{\text{cos}2x\left(2\text{cos}x-1\right)}{\text{sin}2x\left(2\text{cos}x-1\right)}=\frac{\text{cos}2x}{\text{sin}2x}=\text{cot}2x.$

d)

$\frac{2\text{sin}\left(x+y\right)}{\text{cos}\left(x+y\right)+\text{cos}\left(x-y\right)}-\text{tan}y =\frac{2\left(\text{sin}x\text{cos}y+\text{cos}x\text{sin}y\right)}{2\text{cos}x\text{cos}y}-\text{tan}y$

$=\frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}+\frac{\text{sin}y}{\text{cos}y}-\tan y=\tan x+\tan y-\tan y=\tan x.$

Bài 4 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a)

$4\cos x\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\cos 3x;$

b)

$\frac{\sin 2x\cos x}{\left(1+\cos x\right)\left(1+\cos 2x\right)}=\tan \frac{x}{2};$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x) = sin7x;

d)

$\frac{{\sin }^{2}3x}{{\sin }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}3x}{{\text{cos}}^{2}x}=8\cos 2x.$

Lời giải:

a)

$4\text{cos}x\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}-x\right)\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}+x\right) =2\text{cos}x\left(\text{cos}2x+\text{cos}\frac{2\pi }{3}\right)$

$=2\text{cos}x\text{cos}2x+2\text{cos}x\text{cos}\frac{2\pi }{3}$

$=\text{cos}x+\text{cos}3x+2\text{cos}x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$=\text{cos}x+\text{cos}3x+2\text{cos}x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$=\text{cos}x+\text{cos}3x-\text{cos}x=\text{cos}3x.$

b)

$\frac{\text{sin}2x\text{cos}x}{\left(1+\text{cos}x\right)\left(1+\text{cos}2x\right)}=\frac{\left(2\text{sin}x\text{cos}x\right)\text{cos}x}{\left(1+2{\text{cos}}^2\frac{x}{2}-1\right)\left(1+2{\text{cos}}^{2}x-1\right)}$

$=\frac{2\text{sin}x{\text{cos}}^{2}x}{4{\text{cos}}^2\frac{x}{2}{\text{cos}}^{2}x}$

$=\frac{\text{sin}x}{2{\text{cos}}^2\frac{x}{2}}=\frac{2\text{sin}\frac{x}{2}\text{cos}\frac{x}{2}}{2{\text{cos}}^2\frac{x}{2}}=\frac{\text{sin}\frac{x}{2}}{\text{cos}\frac{x}{2}}=\text{tan}\frac{x}{2}.$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x)

= sinx + 2sinxcos2x + 2sinxcos4x + 2sinxcos6x

= sinx + [sin(‒x) + sin3x] + [sin(‒3x) + sin5x] + [sin(‒5x) + sin7x]

= sinx + (‒sinx + sin3x) + (‒sin3x + sin5x) + (‒sin5x + sin7x)

= sin7x.

d)

$\frac{{\text{sin}}^{2}3x}{{\text{sin}}^{2}x}-\frac{{\text{cos}}^{2}3x}{{\text{cos}}^{2}x}=\frac{{\text{sin}}^{2}3x{\text{cos}}^{2}x-{\text{cos}}^{2}3x{\text{sin}}^{2}x}{{\text{sin}}^{2}x{\text{cos}}^{2}x}=\frac{{\left(\text{sin}3x\text{cos}x\right)}^2-{\left(\text{cos}3x\text{sin}x\right)}^2}{{\text{sin}}^{2}x{\text{cos}}^{2}x}$

$=\frac{\left(\text{sin}3x\text{cos}x+\text{cos}3x\text{sin}x\right)\left(\text{sin}3x\text{cos}x-\text{cos}3x\text{sin}x\right)}{\frac{1}{4}{\text{sin}}^{2}2x}$

$=\frac{4\text{sin}4x\text{sin}2x}{{\text{sin}}^{2}2x}=\frac{4\left(2\text{sin}2x\text{cos}2x\right)\text{sin}2x}{{\text{sin}}^{2}2x}$

$=\frac{8{\text{sin}}^{2}2x\text{cos}2x}{{\text{sin}}^{2}2x}=8\text{cos}2x.$

Bài 5 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a)

${\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right);$

b)

$\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(x+\frac{3\pi }{4}\right).$

Lời giải:

a)

${\text{sin}}^{2}x+\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}-x\right)\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}+x\right)={\text{sin}}^{2}x+\frac{1}{2}\left(\text{cos}2x+\text{cos}\frac{2\pi }{3}\right)$

$={\text{sin}}^{2}x+\frac{1}{2}\left(1-2{\text{sin}}^{2}x-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$

Vậy giá trị của biểu thức

${\text{sin}}^{2}x+\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}-x\right)\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}+x\right)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

b)

$\text{cos}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\text{cos}\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$

$=\frac{1}{2}\left[\text{cos}\frac{7\pi }{12}+\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)\right]+\frac{1}{2}\left[\text{cos}\frac{7\pi }{12}+\text{cos}\left(2x+\frac{11\pi }{12}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)+\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}+\pi \right)\right]+\text{cos}\frac{7\pi }{12}$

$=\frac{1}{2}\left[\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)-\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)\right]+\text{cos}\frac{7\pi }{12}=\text{cos}\frac{7\pi }{12}.$

Vậy giá trị của biễu thức

$\text{cos}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\text{cos}\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

Bài 6 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC = 0;

b)

$\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}+\sin \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=\cos \frac{A}{2}.$

Lời giải:

Vì tổng số đo ba góc của một tam giác bằng 180° nên A + B + C = 180°.

Suy ra

$\frac{A+B+C}{2}={90}^{\circ }$, hay

$\frac{B}{2}+\frac{C}{2}={90}^{\circ }-\frac{A}{2}$.

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC

= cos(A + B) + cosC

= cos(180° ‒ C) + cosC

= ‒cosC + cosC = 0.

b)

$\text{cos}\frac{B}{2}\text{sin}\frac{C}{2}+\text{sin}\frac{B}{2}\text{cos}\frac{C}{2}=\text{sin}\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=\text{sin}\left(90°-\frac{A}{2}\right)=\text{cos}\frac{A}{2}.$

Bài 7 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sinα + cosα = m. Tìm m để

$\sin 2\alpha =-\frac{3}{4}.$

Lời giải:

Ta có

$\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\text{sin}\alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}\text{cos}\alpha \right)=\sqrt{2}\text{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$

Vì

$-1\le \text{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên

$-\sqrt{2}\le \text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \le \sqrt{2}$. Suy ra

$-\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}$

Ta lại có

${(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2={\text{sin}}^2\alpha +2\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha +{\text{cos}}^2\alpha =1+\text{sin}2\alpha$

Suy ra

$\text{sin}2\alpha ={(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1=m^2-1$

Khi đó,

$\text{sin}2\alpha =-\frac{3}{4}$ hay

$m^2-1=-\frac{3}{4}$, suy ra

$m=\frac{1}{2}$ hoặc

$m=-\frac{1}{2}$(thoả mãn điều kiện).

Vậy

$m=\frac{1}{2}$ hoặc

$m=-\frac{1}{2}$

Bài 8 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho

$\sin \alpha =\frac{3}{5},$,

$\cos \beta =\frac{12}{13}$ và 0° < α, β < 90°. Tính giá trị của biểu thức sin(α + β) và cos(α ‒ β).

Lời giải:

Vì 0° < α < 90° nên cosα > 0. Do đó,

$\text{cos}\alpha =\sqrt{1-{\text{sin}}^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}.$

Vì 0° < β < 90° nên sinβ > 0. Do đó,

$\text{sin}\beta =\sqrt{1-{\text{cos}}^2\beta }=\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=\frac{5}{13}.$

Khi đó,

$\text{sin}\left(\alpha +\beta \right)=\text{sin}\alpha \text{cos}\beta +\text{cos}\alpha \text{sin}\beta =\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{56}{65}$

$\text{cos}\left(\alpha -\beta \right)=\text{cos}\alpha \text{cos}\beta +\text{sin}\alpha \text{sin}\beta =\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{63}{65}$

Bài 9 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin6°cos12°cos24°cos48°;

b) cos68°cos78° + cos22°cos12° + cos190°.

Lời giải:

a) Đặt A = sin6°cos12°cos24°cos48°. Ta có:

cos6°.A = cos6°. sin6°cos12°cos24°cos48°

$=\frac{1}{2}\text{sin}{12}^{\circ }\text{cos}{12}^{\circ }\text{cos}{24}^{\circ }\text{cos}{48}^{\circ }$

$=\frac{1}{4}\text{sin}24°\text{cos}24°\text{cos}48°=\frac{1}{8}\text{sin}48°\text{cos}48°=\frac{1}{16}\text{sin96}°=\frac{1}{16}\text{cos}6°$

Suy ra

$A=\frac{1}{16}.$

b) cos68°cos78° + cos22°cos12° + cos190°.

= cos(90° ‒ 22°)cos(90° ‒ 12°) + cos22°cos12° + cos(180° + 10°)

= sin22°sin12° + cos22°cos12° + cos10°

= (sin22°sin12° + cos22°cos12°) + cos10°

= cos(22° ‒ 12°) + cos10°

= cos10° ‒ cos10° = 0.

Bài 10 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó x(t) (cm) là li độ của một vật tại thời điểm t giây, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [‒π; π] là pha ban đầu của dao động.Xét hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là:

$x_1\left(t\right)=3\cos \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)$ (cm) và

$x_2\left(t\right)=3\cos \left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)$(cm).

a) Xác định phương trình dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t).

b) Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp trên.

Lời giải:

a) Ta có

$x\left(t\right)=x_1\left(t\right)+x_2\left(t\right)=3\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)+3\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)$

$=3\cdot 2\text{cos}\frac{\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)+\left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)}{2}\text{cos}\frac{\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)-\left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)}{2}$

$=6\text{cos}\frac{\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi }{6}}{2}\text{cos}\frac{}{}\frac{\pi }{2}2=3\sqrt{2}\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{12}\right)$

Vậy phương trình của dao động tổng hợp là

$x\left(t\right)=3\sqrt{2}\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{12}\right)$

b) Dao động tổng hợp trên có biên độ là

$A=3\sqrt{2}\text{ cm}$ và pha ban đầu là

$\phi =\frac{\pi }{12}$