Học Bài 1. Dãy số – Toán 11 CTST

Học Bài 1. Dãy số – Toán 11 CTST

Lý thuyết Dãy số – SGK Toán 11 CTST

1. Định nghĩa dãy số

– Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\)được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là

\(u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\)

\(n \mapsto {u_n} = u\left( n \right)\)

Dãy số trên được kí hiệu là \(\left( {{u_n}} \right)\).

– Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},…,{u_n},…\)

– Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\)là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

*Chú ý: Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} = c\)thì \(\left( {{u_n}} \right)\)được gọi là dãy số không đổi.

Mỗi hàm số u xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;…;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn.Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},…,{u_m}\).

Trong đó, số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\)là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

• • Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).

• • Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).

• • Phương pháp truy hồi:

– Cho số hạng thứ nhất \({u_1}\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên)

– Cho một công thức tính \({u_n}\) theo\({u_{n – 1}}\) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

• • Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

• • Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

4. Dãy số bị chặn

• • Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

• • Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

• • Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Giải mục 1 trang 45, 46 SGK Toán 11 tập 1 – CTST

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 1

\(u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\)

\(n \mapsto {u(n)} = {n^2}\)

Tính \(u\left( 1 \right);u\left( 2 \right);u\left( {50} \right);u\left( {100} \right)\).

Phương pháp giải:

Thay giá trị của \(n\) vào biểu thức \(u\left( n \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}u\left( 1 \right) = {1^2} = 1\\u\left( 2 \right) = {2^2} = 4\\u\left( {50} \right) = {50^2} = 2500\\u\left( {100} \right) = {100^2} = 10000\end{array}\)

Hoạt động 2

Cho hàm số:

\(v:\left\{ {1;2;3;4;5} \right\} \to \mathbb{R}\)

\(n \to {\rm{ }}v\left( n \right) = 2n\)

Tính \(v\left( 1 \right),v\left( 2 \right),v\left( 3 \right),v\left( 4 \right),v\left( 5 \right)\).

Phương pháp giải:

Thay giá trị của \(n\) vào biểu thức \(v\left( n \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}v\left( 1 \right) = 2.1 = 2\\v\left( 2 \right) = 2.2 = 4\\v\left( 3 \right) = 2.3 = 6\\v\left( 4 \right) = 2.4 = 8\\v\left( 5 \right) = 2.5 = 10\end{array}\)

Thực hành 1

Cho dãy số:

\(u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\)

\(n \mapsto {u_n} = {n^3}\)

a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.

b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Phương pháp giải:

a) Xét xem tập xác định của hàm số \(u\) là tập hợp nào.

b) Lần lượt thay giá trị \(n = 1,2,3,4,5\) vào biểu thức \({u_n}\).

Lời giải chi tiết:

a) Vì hàm số \(u\) xác định trên tập hợp các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\) nên nó là một dãy số vô hạn.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = {1^3} = 1\\{u_2} = {2^3} = 8\\{u_3} = {3^3} = 27\\{u_4} = {4^3} = 64\\{u_5} = {5^3} = 125\end{array}\)

Vận dụng 1

Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.

a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức tính diện tích hình tròn có bán kính \(n\) là \({S_n} = \pi {n^2}\) rồi lần lượt thay giá trị \(R = 1;2;3;4;5\).

b) Số hạng đầu: \({S_1}\); số hạng cuối: \({S_5}\).

Lời giải chi tiết:

a) Gọi \(\left( {{S_n}} \right)\) là dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn với \({S_n} = \pi {n^2}\). Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_1} = \pi {.1^2} = \pi \\{S_2} = \pi {.2^2} = 4\pi \\{S_3} = \pi {.3^2} = 9\pi \\{S_4} = \pi {.4^2} = 16\pi \\{S_5} = \pi {.5^2} = 25\pi \end{array}\)

Vậy dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn là: \(\pi ;4\pi ;9\pi ;16\pi ;25\pi \).

b) Số hạng đầu: \({S_1} = \pi \); số hạng cuối: \({S_5} = 25\pi \).

Giải mục 2 trang 46, 47 SGK Toán 11 tập 1 – CTST

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 3

Cho các dãy số \(\left( {{a_n}} \right),\left( {{b_n}} \right),\left( {{c_n}} \right),\left( {{d_n}} \right)\) được xác định như sau.

• \({a_1} = 0;{a_2} = 1;{a_3} = 2;{a_4} = 3;{a_5} = 4\).

• \({b_n} = 2n\).

• \(\left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 1\\{c_n} = {c_{n – 1}} + 1\left( {n \ge 2} \right)\end{array} \right.\).

• \({d_n}\) là chu vi của đường tròn có bán kính \(n\).

Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Phương pháp giải:

• Lần lượt thay giá trị \(n = 1;2;3;4\) vào biểu thức \({b_n}\).

• Lần lượt thay giá trị \(n = 2;3;4\) vào biểu thức \({c_n}\).

• Áp dụng công thức tính chu vi đường tròn có bán kính \(n\) là \({d_n} = 2\pi n\) rồi lần lượt thay giá trị \(n = 1;2;3;4\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({a_1} = 0;{a_2} = 1;{a_3} = 2;{a_4} = 3;{a_5} = 4\).

\({b_1} = 2.1 = 2;{b_2} = 2.2 = 4;{b_3} = 2.3 = 6;{b_4} = 2.4 = 8\).

\({c_1} = 1;{c_2} = {c_1} + 1 = 1 + 1 = 2;{c_3} = {c_2} + 1 = 2 + 1 = 3;{c_4} = {c_3} + 1 = 3 + 1 = 4\).

+ Chu vi đường tròn có bán kính \(n\) là \({d_n} = 2\pi n\).

Ta có: \({d_1} = 2\pi .1 = 2\pi ;{d_2} = 2\pi .2 = 4\pi ;{d_3} = 2\pi .3 = 6\pi ;{d_4} = 2\pi .4 = 8\pi \).

Thực hành 2

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n}\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\).

a) Chứng minh \({u_2} = 2.3;{u_3} = {2^2}.3;{u_4} = {2^3}.3\).

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

a) Lần lượt thay giá trị \(n = 1;2;3\) vào biểu thức \({u_{n + 1}}\).

b) Tìm điểm chung của các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({u_2} = 2{u_1} = 2.3;{u_3} = 2{u_2} = 2.2.3 = {2^2}.3;{u_4} = 2{u_3} = {2.2^2}.3 = {2^3}.3\)

b) \({u_n} = {2^{n – 1}}.3\).

Vận dụng 2

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 1). Gọi \({u_n}\) là số cột gỗ nằm ở lớp thứ 2 tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát \({u_n}\).

b) Viết hệ thức truy hồi.

Phương pháp giải:

Dựa vào số cột gỗ ở mỗi lớp và điều kiện đề bài là hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 14 = 13 + 1\\{u_2} = 15 = 13 + 2\\{u_3} = 16 = 13 + 3\\ \vdots \end{array}\)

Vậy công thức số hạng tổng quát: \({u_n} = 13 + n\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 14\\{u_2} = 15 = {u_1} + 1\\{u_3} = 16 = {u_2} + 1\\ \vdots \end{array}\)

Vậy công thức truy hồi: \({u_n} = {u_{n – 1}} + 1\left( {n \ge 2} \right)\).

Giải mục 3 trang 48 SGK Toán 11 tập 1 – CTST

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 4

Cho hai dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_n}} \right)\) được xác định như sau: \({a_n} = 3n + 1;\) \({b_n} = – 5n\).

a) So sánh \({a_n}\) và \({a_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

b) So sánh \({b_n}\) và \({b_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Phương pháp giải:

a) Tìm \({a_{n + 1}}\) rồi xét hiệu \({a_{n + 1}} – {a_n}\).

b) Tìm \({b_{n + 1}}\) rồi xét hiệu \({b_{n + 1}} – {b_n}\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({a_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4\)

Xét hiệu: \({a_{n + 1}} – {a_n} = \left( {3n + 4} \right) – \left( {3n + 1} \right) = 3n + 4 – 3n – 1 = 3 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({a_{n + 1}} > {a_n}\).

a) Ta có: \({b_{n + 1}} = – 5\left( {n + 1} \right) = – 5n – 5\)

Xét hiệu: \({b_{n + 1}} – {b_n} = \left( { – 5n – 5} \right) – \left( { – 5n} \right) = – 5n – 5 + 5n = – 5 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({b_{n + 1}} < {b_n}\).

Thực hành 3

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n – 1}}{{n + 1}}\);

b) \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \frac{{n + 2}}{{{4^n}}}\);

c) \(\left( {{t_n}} \right)\) với \({t_n} = {\left( { – 1} \right)^n}.{n^2}\).

Phương pháp giải:

Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\):

Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} – {u_n}\) hoặc xét thương \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) nếu các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là số dương.

Bước 3: Kết luận:

– Nếu \({u_{n + 1}} – {u_n} > 0\) hoặc \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) thì \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

– Nếu \({u_{n + 1}} – {u_n} < 0\) hoặc \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1\) thì \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) – 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 – 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} – \frac{{2n – 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) – \left( {2n – 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) – \left( {2{n^2} – n + 4n – 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 – 2{n^2} + n – 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} – {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b) Ta có: \({x_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 2}}{{{4^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1 + 2}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}}\)

Xét hiệu:

\({x_{n + 1}} – {x_n} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}} – \frac{{n + 2}}{{{4^n}}} = \frac{{n + 3 – 4\left( {n + 2} \right)}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3 – 4n – 8}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{ – 3n – 5}}{{{{4.4}^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({x_{n + 1}} – {x_n} < 0 \Leftrightarrow {x_{n + 1}} < {x_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm.

c) Ta có: \({t_1} = {\left( { – 1} \right)^1}{.1^2} = – 1;{t_2} = {\left( { – 1} \right)^2}{.2^2} = 4;{t_3} = {\left( { – 1} \right)^3}{.3^2} = – 9\), suy ra \({t_1} < {t_2},{t_2} > {t_3}\). Vậy \(\left( {{t_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.

a) Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) – 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 – 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} – \frac{{2n – 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) – \left( {2n – 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) – \left( {2{n^2} – n + 4n – 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 – 2{n^2} + n – 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} – {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b) Ta có: \({x_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 2}}{{{4^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1 + 2}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}}\)

Xét hiệu:

\({x_{n + 1}} – {x_n} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}} – \frac{{n + 2}}{{{4^n}}} = \frac{{n + 3 – 4\left( {n + 2} \right)}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3 – 4n – 8}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{ – 3n – 5}}{{{{4.4}^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({x_{n + 1}} – {x_n} < 0 \Leftrightarrow {x_{n + 1}} < {x_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số giảm.

c) Ta có: \({t_1} = {\left( { – 1} \right)^1}{.1^2} = – 1;{t_2} = {\left( { – 1} \right)^2}{.2^2} = 4;{t_3} = {\left( { – 1} \right)^3}{.3^2} = – 9\), suy ra \({t_1} < {t_2},{t_2} > {t_3}\). Vậy \(\left( {{t_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.

Vận dụng 3

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi \({u_1} = 25\) là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, \({u_n}\) là số cột gỗ có ở hàng thứ \(n\) tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

b) Gọi \({v_1} = 14\) là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, \({v_n}\) là số cột gỗ có ở hàng thứ \(n\) tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Phương pháp giải:

Đưa dãy số về công thức truy hồi rồi xét hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 25\\{u_2} = 24 = {u_1} – 1\\{u_3} = 23 = {u_2} – 1\\ \vdots \end{array}\)

Vậy công thức truy hồi: \({u_n} = {u_{n – 1}} – 1\left( {n \ge 2} \right) \Leftrightarrow {u_n} – {u_{n – 1}} = – 1 < 0\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{v_1} = 14\\{v_2} = 15 = {v_1} + 1\\{v_3} = 16 = {v_2} + 1\\ \vdots \end{array}\)

Vậy công thức truy hồi: \({v_n} = {v_{n – 1}} + 1\left( {n \ge 2} \right) \Leftrightarrow {v_n} – {v_{n – 1}} = 1 > 0\).

Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Giải mục 4 trang 49 SGK Toán 11 tập 1 – CTST

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 5

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{n}\). So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(\left. \begin{array}{l}1 > 0\\n > 0\end{array} \right\} \Leftrightarrow \frac{1}{n} > 0 \Leftrightarrow {u_n} > 0\)

\(n \ge 1 \Leftrightarrow {u_n} = \frac{1}{n} \le \frac{1}{1} \Leftrightarrow {u_n} \le 1\)

Thực hành 4

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = \cos \frac{\pi }{n}\);

b) \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất của hàm lượng giác.

b) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \( – 1 \le \cos \frac{\pi }{n} \le 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow – 1 \le {a_n} \le 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) bị chặn.

b) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n > 0 \Leftrightarrow n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{n}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow {b_n} > 0\). Vậy \(\left( {{b_n}} \right)\) bị chặn dưới.

\({b_n} = \frac{n}{{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) – 1}}{{n + 1}} = 1 – \frac{1}{{n + 1}}\)

Vì \(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{{n + 1}} < 0 \Leftrightarrow 1 – \frac{1}{{n + 1}} < 1 \Leftrightarrow {b_n} < 1\). Vậy \(\left( {{b_n}} \right)\) bị chặn trên.

Ta thấy dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) bị chặn.