Lý thuyết Hàm số lượng giác
1 . Định nghĩa hàm số lượng giác
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là \(\mathbb{R}\).
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là \(\mathbb{R}\).
Hàm số cho bằng công thức \(y = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hàm số cho bằng công thức \(y = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx. Tập xác định của hàm số côtang là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.
Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\) và \(f( – x) = f(x)\). Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.
Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\) và \(f( – x) = – f(x)\). Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
b, Hàm số tuần hoàn
Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T \( \ne \)0 sao cho với mọi \(x \in D\)ta có:
\(x + T \in D\)và \(x – T \in D\)
\(f(x + T) = f(x)\)
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
* Nhận xét:
Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).
Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì \(\pi \).
3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx
Tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.
4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx
Tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\).
Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx
Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì \(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx
Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì \(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Giải mục 1 trang 22, 23 SGK Toán 11 tập 1 – KNTT
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Hoạt động 1
Hoàn thành bảng sau:
|
\(x\)
|
\(\sin x\)
|
\(\cos x\)
|
\(\tan x\)
|
\(\cot x\)
|
|
\(\frac{\pi }{6}\)
|
?
|
?
|
?
|
?
|
|
0
|
?
|
?
|
?
|
?
|
|
\( – \frac{\pi }{2}\)
|
?
|
?
|
?
|
?
|
Phương pháp giải:
Áp dụng giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.
Lời giải chi tiết:
|
\(x\)
|
\(\sin x\)
|
\(\cos x\)
|
\(\tan x\)
|
\(\cot x\)
|
|
\(\frac{\pi }{6}\)
|
\(\frac{1}{2}\)
|
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
|
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
|
\(\sqrt 3 \)
|
|
0
|
0
|
1
|
0
|
–
|
|
\( – \frac{\pi }{2}\)
|
-1
|
0
|
–
|
0
|
Luyện tập
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\)
Phương pháp giải:
Hàm số xác định khi \(\sin x \ne 0\)
Lời giải chi tiết:
Biểu thức \(\frac{1}{{\sin x}}\) có nghĩa khi \(\sin x \ne 0\), tức là \(x \ne k\pi \;\left( {k\; \in \;\mathbb{Z}} \right)\).
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}/{\rm{\{ }}k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}\} \;\)
Giải mục 2 trang 23, 24, 25 SGK Toán 11 tập 1 – KNTT
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Hoạt động 2
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và \(g\left( x \right) = {x^3}\), với các đồ thị như hình dưới đây.
a) Tìm các tập xác định \({D_f},\;{D_g}\) của các hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\).
b) Chứng tỏ rằng \(f\left( { – x} \right) = f\left( x \right),\;\forall x \in {D_f}\). Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đối với hệ trục tọa độ Oxy?
c) Chứng tỏ rằng \(g\left( { – x} \right) = – g\left( x \right),\;\forall x \in {D_g}\). Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) đối với hệ trục tọa độ Oxy?
Phương pháp giải:
Hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) luôn xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định của hàm số đã cho là: \({D_f} = \mathbb{R};\;{D_g} = \mathbb{R}\)
b) Ta có: \(f\left( { – x} \right) = {\left( { – x} \right)^2} = {x^2} = f\left( x \right)\)
Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) đối xứng qua trục tung
c) Ta có: \(g\left( { – x} \right) = {\left( { – x} \right)^3} = – {x^3} = – g\left( x \right)\)
Đồ thị của hàm số \(y = g\left( x \right) = {x^3}\) đối xứng qua gốc tọa độ
Luyện tập
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa về hàm số chẵn, lẻ
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(g\left( { – x} \right) = \frac{1}{{ – x}} = – \frac{1}{x} = – g\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D\).
Vậy \(g\left( x \right) = \frac{1}{x}\) là hàm số lẻ
Hoạt động 3
So sánh:
a) \(\sin \left( {x + 2\pi } \right)\) và \(\sin x\);
b) \(\cos (x + 2\pi )\) và \(\cos x\);
c) \(\tan \left( {x + \pi } \right)\) và \(\tan x\);
d) \(\cot (x + \pi )\) và \(\cot x\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
a) \(\sin \left( {x + 2\pi } \right) = \sin x\) với mọi \(x\; \in \;\mathbb{R}\)
b) \(\cos \left( {x + 2\pi } \right) = \cos x\) với mọi \(x\; \in \;\mathbb{R}\)
c) \(\tan \left( {x + \pi } \right) = \tan x\) với mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k\; \in \;\mathbb{Z}\)
d) \(\cot \left( {x + \pi } \right) = \cot x\) với mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k\; \in \;\mathbb{Z}\)
Luyện tập 3
Xét tính tuần hoàn của hàm số \(y = \tan 2x\).
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\) và với mọi số thực x, ta có:
\(\left( {x – \frac{\pi }{2}} \right) \in \;\mathbb{R},\;\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) \in \;\mathbb{R},\)
\(\tan 2\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \tan \left( {2x + \pi } \right) = \tan 2x\)
Vậy \(y = \tan 2x\;\)là hàm số tuần hoàn
Giải mục 3 trang 25, 26 SGK Toán 11 tập 1 – KNTT
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Hoạt động 4
Cho hàm số \(y = \sin x\).
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { – \pi ;\pi } \right]\) bằng cách tính giá trị của \(\sin x\) với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của \(\sin x\) với những x âm.
|
\(x\)
|
\( – \pi \)
|
\( – \frac{{3\pi }}{4}\)
|
\( – \frac{\pi }{2}\)
|
\( – \frac{\pi }{4}\)
|
0
|
\(\frac{\pi }{4}\)
|
\(\frac{\pi }{2}\)
|
\(\frac{{3\pi }}{4}\)
|
\(\pi \)
|
|
\(\sin x\)
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
Bằng cách lấy nhiều điểm \(M\left( {x;\sin x} \right)\) với \(x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { – \pi ;\pi } \right]\).
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ \(T = 2\pi \), ta được đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) như hình dưới đây.
Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \sin x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ
Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \sin \left( { – x} \right) = – \sin x = – f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D\)
Vậy \(y = \sin x\) là hàm số lẻ.
b)
|
\(x\)
|
\( – \pi \)
|
\( – \frac{{3\pi }}{4}\)
|
\( – \frac{\pi }{2}\)
|
\( – \frac{\pi }{4}\)
|
0
|
\(\frac{\pi }{4}\)
|
\(\frac{\pi }{2}\)
|
\(\frac{{3\pi }}{4}\)
|
\(\pi \)
|
|
\(\sin x\)
|
\(0\)
|
\( – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
\( – 1\)
|
\( – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
0
|
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
1
|
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
0
|
c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số \(y = \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), tập giá trị là [-1;1] và đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right),\;k\; \in \;\mathbb{Z}.\)
Luyện tập 4
Tìm tập giá trị của hàm số \(y = 2\sin x\).
Phương pháp giải:
Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Vì
\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y = 2\sin x\) là \(T = \left[ { – 2;2} \right]\).
Vận dụng
Xét tình huống mở đầu.
a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu
b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra khi v < 0. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? Người đó thở ra?
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính chu kỳ
Lời giải chi tiết:
a) Chu ký hô hấp: \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6\left( s \right)\)
Số chu kỳ hô hấp trong 1 phút là
Giải mục 4 trang 26, 27 SGK Toán 11 tập 1 – KNTT
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Hoạt động 5
Cho hàm số \(y = \cos x\)
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { – \pi ;\pi } \right]\) bằng cách tính giá trị của \(\cos x\) với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của \(\cos x\) với những x âm.
|
\(x\)
|
\( – \pi \)
|
\( – \frac{{3\pi }}{4}\)
|
\( – \frac{\pi }{2}\)
|
\( – \frac{\pi }{4}\)
|
0
|
\(\frac{\pi }{4}\)
|
\(\frac{\pi }{2}\)
|
\(\frac{{3\pi }}{4}\)
|
\(\pi \)
|
|
\(\cos x\)
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
Bằng cách lấy nhiều điểm \(M\left( {x;\sin x} \right)\) với \(x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \cos x\) trên đoạn \(\left[ { – \pi ;\pi } \right]\).
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ \(T = 2\pi \), ta được đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) như hình dưới đây.
Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \cos x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ
Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \cos \left( { – x} \right) = \cos x = f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D\)
Vậy \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
b)
|
\(x\)
|
\( – \pi \)
|
\( – \frac{{3\pi }}{4}\)
|
\( – \frac{\pi }{2}\)
|
\( – \frac{\pi }{4}\)
|
0
|
\(\frac{\pi }{4}\)
|
\(\frac{\pi }{2}\)
|
\(\frac{{3\pi }}{4}\)
|
\(\pi \)
|
|
\(\cos x\)
|
\( – 1\)
|
\( – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
\(0\)
|
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
1
|
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
0
|
\( – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
|
\( – 1\)
|
c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số \(y = \cos x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\), tập giá trị là [-1;1] và đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right),\;k\; \in \;\mathbb{Z}\)
Luyện tập
Tìm tập giá trị của hàm số \(y = – 3\cos x.\)
Phương pháp giải:
Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\)
Vì
\( \Rightarrow \) Tập giá trị của hàm số \(y = – 3\cos x\) là \(T = \left[ { – 3;3} \right]\).
Vận dụng
Trong vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức \(x\left( t \right) = A\cos (\omega t + \varphi )\), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), \(\omega t + \varphi \) là pha dao động tại thời điểm t và \(\varphi \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]\) là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega }\) (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).
Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình \(x\left( t \right) = – 5\cos 4\pi t\) (cm).
a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.
b) Tính pha của dao động tại thời điểm \(t = 2\) (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?
Phương pháp giải:
Dựa vào phương trình tổng quát để xác định: Biên độ dao động, Pha dao động tại thời điểm t, Pha ban đầu
Lời giải chi tiết:
a) Biên độ dao động \(A = – 5\); Pha ban đầu của dao động: \(\varphi = 0\)
b) Pha dao động tại thời điểm \(t = 2\) à \(\omega t + \varphi = 4\pi .2 = 8\pi \)
Chu kỳ \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,2\)
Trong khoảng thời gian 2 giây, số dao động toàn phần vật thực hiện được là: \(\frac{2}{{0,2}} = 10\) (dao động)
Giải mục 5 trang 28, 29 SGK Toán 11 tập 1 – KNTT
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Hoạt động 6
Cho hàm số \(y = \tan x\)
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số \(y = \tan x\) trên khoảng\(\;\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
|
\(x\)
|
\( – \frac{\pi }{3}\)
|
\( – \frac{\pi }{4}\)
|
\( – \frac{\pi }{6}\)
|
0
|
\(\frac{\pi }{6}\)
|
\(\frac{\pi }{4}\)
|
\(\frac{\pi }{3}\)
|
|
\(y = \tan x\)
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
Bằng cách lấy nhiều điểm \(M\left( {x;\tan x} \right)\) với \(x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \tan x\) trên khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ \(T = \pi \), ta được đồ thị của hàm số \(y = \tan x\) như hình dưới đây.
Từ đồ thị ở Hình 1.16, hãy tìm tập giá trị và các khoảng đồng biến của hàm số \(y = \tan x\).
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ
Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \tan \left( { – x} \right) = – \tan x = – f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D\)
Vậy \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.
b)
|
\( – \frac{\pi }{3}\)
|
\( – \frac{\pi }{4}\)
|
\( – \frac{\pi }{6}\)
|
\(0\)
|
\(\frac{\pi }{6}\)
|
\(\frac{\pi }{4}\)
|
\(\frac{\pi }{3}\)
|
|
|
\(\tan x\)
|
\( – \sqrt 3 \)
|
\( – 1\)
|
\( – \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
|
\(0\)
|
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
|
\(1\)
|
\(\sqrt 3 \)
|
c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số \(y = \tan x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\), tập giá trị là \(\mathbb{R}\) và đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\).
Luyện tập
Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { – \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) để hàm số \(y = \tan x\) nhận giá trị âm.
Phương pháp giải:
Nhìn đồ thị để xác định vị trí của y và x
Lời giải chi tiết:
Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[ { – \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\), thì \(y < 0\) khi \(x\; \in \left( { – \frac{\pi }{2};0} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2};\;\pi } \right)\)
Toán 11 tập 1 – KNTT
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Hoạt động 7
Cho hàm số \(y = \cot x\)
a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số \(y = \cot x\) trên khoảng\(\;\left( {0;\pi } \right)\).
|
\(x\)
|
\(\frac{\pi }{6}\)
|
\(\frac{\pi }{4}\)
|
\(\frac{\pi }{3}\)
|
\(\frac{\pi }{2}\)
|
\(\frac{{2\pi }}{3}\)
|
\(\frac{{3\pi }}{4}\)
|
\(\frac{{5\pi }}{6}\)
|
|
\(y = \cot x\)
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
Bằng cách lấy nhiều điểm \(M\left( {x;\cot x} \right)\) với \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) và nối lại ta được đồ thị hàm số \(y = \cot x\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).
c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ \(T = \pi \), ta được đồ thị của hàm số \(y = \cot x\) như hình dưới đây.
Từ đồ thị ở Hình 1.17, hãy tìm tập giá trị và các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \cot x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ
Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải chi tiết:
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ {k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\)
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D
Ta có: \(f\left( { – x} \right) = \cot \left( { – x} \right) = – \cot x = – f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D\)
Vậy \(y = \cot x\) là hàm số lẻ.
b)
|
\(x\)
|
\(\frac{\pi }{6}\)
|
\(\frac{\pi }{4}\)
|
\(\frac{\pi }{3}\)
|
\(\frac{\pi }{2}\)
|
\(\frac{{2\pi }}{3}\)
|
\(\frac{{3\pi }}{4}\)
|
\(\frac{{5\pi }}{6}\)
|
|
\(\cot x\)
|
\(\sqrt 3 \)
|
\(1\)
|
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
|
\(0\)
|
\( – \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
|
\( – 1\)
|
\( – \sqrt 3 \)
|
c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số \(y = \cot x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}\), tập giá trị là \(\mathbb{R}\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\).
Luyện tập
Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{2};2\pi } \right]\) để hàm số \(y = \cot x\) nhận giá trị dương.
Phương pháp giải:
Nhìn đồ thị để xác định vị trí của y và x
Lời giải chi tiết:
Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{2};2\pi } \right]\), thì \(y > 0\) khi \(x\; \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\;\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Để lại phản hồi