Học Bài 2: Công thức lượng giác – KNTT

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 2

Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: \(\sin 2a;\cos 2a;\tan 2a\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng lượng giác

Lời giải chi tiết:

\(\sin 2a = \sin \left( {a + a} \right) = \sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a = 2\sin a\cos a\)

\(\cos 2a = \cos \left( {a + a} \right) = \cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b – \sin a\sin b = {\cos ^2}a – {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a – 1\)

\( = 1 – 2{\sin ^2}a\)

\(\tan 2a = \tan \left( {a + a} \right) = \tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a\tan b}} = \frac{{2\tan a}}{{1 – {{\tan }^2}a}}\)

Luyện tập 2

Không dùng máy tính, tính \(\cos \frac{\pi }{8}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{4}\)

Suy ra: \(\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 3

a) Từ các công thức cộng \(\cos \left( {a + b} \right)\) và \(\cos \left( {a – b} \right)\), hãy tìm: \(\cos a\cos b;\sin a\sin b\).

b) Từ các công thức cộng \(\sin \left( {a + b} \right)\) và \(\sin \left( {a – b} \right)\), hãy tìm: \(\sin a\cos b\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b + \cos a\cos b – \sin a\sin b = 2\cos a\cos b\)

Suy ra: \(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\;\)

b) Ta có: \(\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a – b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b + \sin a\cos b – \cos a\sin b = 2\sin a\cos b\)

Suy ra: \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a – b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\)

Luyện tập 3

Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:

\(A = \cos {75^0}\cos {15^0}\);

\(B = \sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức:

\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)

\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a – b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\)

Lời giải chi tiết:

\(A = \cos {75^0}\cos {15^0} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} – {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right] = \frac{1}{2}.\cos {60^0}.\cos {90^0} = 0\)

\(B = \sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} – \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right] = \frac{1}{2}\sin \left( { – \frac{{2\pi }}{{12}}} \right).\sin \left( {\frac{{12\pi }}{{12}}} \right) =  – \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{6}\sin \pi  = 0\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 4

Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt \(u = a – b,\;v = a + b\) và viết các công thức nhận được

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(u = a – b;v = a + b\).

Suy ra \(u + v = 2a \to a = \frac{{u + v}}{2}\)

\(u – v = 2b \to b = \frac{{u – v}}{2}\)

Ta có: \(\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\)

\(\cos u – \cos v =  – 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u – v}}{2}\)

\(\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\)

\(\sin u – \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u – v}}{2}\)

Luyện tập 4

Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức

\(B = \cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(B = \left( {\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}} \right) + \cos \frac{{11\pi }}{9} = \left( {2\cos \frac{{\frac{\pi }{9} + \frac{{5\pi }}{9}}}{2}\cos \frac{{\frac{\pi }{9} – \frac{{5\pi }}{9}}}{2}} \right) + \cos \frac{{11\pi }}{9} = 2\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{{2\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}\)

\( = \cos \frac{{2\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9} = 2\cos \frac{{\frac{{2\pi }}{9} + \frac{{11\pi }}{9}}}{2}\cos \frac{{\frac{{2\pi }}{9} – \frac{{11\pi }}{9}}}{2} = 2\cos \frac{{13\pi }}{{18}}\cos \frac{\pi }{2} = 0\)

Vận dụng

Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp \({f_1}\) và tần số cao \({f_2}\) liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm \(y = \sin \left( {2\pi {f_1}t} \right) + \sin \left( {2\pi {f_2}t} \right)\), ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).

a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.

b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a – b}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

a) Khi nhấn phím 4, ta có sóng âm \(y = \sin \left( {2\pi .770t} \right) + \sin \left( {2\pi .1209t} \right)\)

b) Ta có:  \(\sin \left( {2\pi .770t} \right) + \sin \left( {2\pi .1209t} \right) = 2\sin \frac{{2\pi .770t + 2\pi .1209t}}{2}\cos \frac{{2\pi .770t – 2\pi .1209t}}{2}\)

\( =  – 2.\sin 1979\pi t.\sin 439\pi t\)