Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có chiều cao \(a,\,\,AC = 2a\) (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) .

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có chiều cao \(a,\,\,AC = 2a\) (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) .

A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}a\) .

 B. \(\sqrt 2 a\) .

 C. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}a\) .

 D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}a\) .

Lời giải:

Chọn C

– Gọi \(O = AC \cap BD\) , \(H\) là trung điểm \(CD\) . Trong \(\left( {SOH} \right)\) , kẻ \(OI \bot SH\) .

Có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SO\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow CD \bot OI\) .

Mà \(OI \bot SH\) nên \(OI \bot \left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OI\) .

– Vì O là trung điểm BD nên \(d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = 2OI = \frac{{2SO.OH}}{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }}\) .

Có \(AD = AC\sin 45^\circ  = a\sqrt 2 \) , \(OH = a\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a\) .