Giải bài 4.23 trang 58 SBT Toán 10 – KN

Giải bài 4.23 trang 58 SBT Toán 10 – KN – KẾT NỐI TRI THỨC
CỦA BÀI HỌC: Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ – SBT Toán 10 KNTT

=======

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; – 1),\,\,B(1;4)\) và \(C(7;0).\)

a)  Tính độ dài các đoạn thẳng \(AB,\,\,BC\) và \(CA.\) Từ đó suy ra tam giác \(ABC\) là một tam giác vuông cân.

b) Tìm tọa độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABDC\) là một hình vuông.

Phương pháp giải

– Tính độ dài đoạn thẳng \(AB,\,\,AC,\,\,BC\)

– Áp dụng định lý Pi-ta-go đảo để chứng minh \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)

– Sử dụng tích chất hai vectơ bằng nhau để tìm điểm \(D\): \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 – 2} \right)}^2} + {{\left( {4 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {26} \)

\(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 – 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {26} \)

\(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 – 1} \right)}^2} + {{\left( {0 – 4} \right)}^2}}  = \sqrt {52}  = 2\sqrt {13} \)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = 26 + 26 = 52 = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

mặt khác \(AB = AC = \sqrt {26} \)

nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)

b)     Gọi điểm \(D\) có tọa độ là: \(D(x;y).\)

Xét hình vuông \(ABDC\) có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \,\,(1 – 2;4 + 1) = (x – 7;y – 0)\\ \Leftrightarrow \,\,( – 1;5) = (x – 7;y)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – 7 =  – 1}\\{y = 5}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy \(D(6;5)\)

============

Thuộc chủ đề:Giải sách bài tập toán 10 – Kết nối