Lý thuyết Bài tập cuối chương 7 – Chân trời

Lý thuyết Bài tập cuối chương 7 – Chân trời
============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Dấu của tam thức bậc hai

a) Tam thức bậc hai

* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi thay x bằng giá trị x0 vào ƒ(x), ta được \(f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại x0.
+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì ta nói f(x) đương tại x0;
+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì ta nói f(x) âm tại x0;
+ Nếu f(x) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f{x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi đó
+ Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) là nghiệm của f(x).
+ Biểu thức \(\Delta  = {b^2} – 4{\rm{a}}c\) và \(\Delta ‘ = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} – ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).
b) Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Chú ý
a) Để xét dâu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tỉnh và xác định đâu của biệt thức \(\Delta \);
Bước 2: Xác định nghiệm của ƒ(x) (nếu có);
Bước 3: Xác định đâu của hệ sô a,
Bước 4: Xác định dâu của ƒ(x)
b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể đùng biệt thúc thu gọn \(\Delta ‘\) thay cho biệt thức \(\Delta\).

1.2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

–  Bất phương trình bậc lai một ẩn  x là bất phương trình có một trong các dạng \(a{x^2} + b{\rm{x}} + c \le 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c < 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c > 0\) với \(a \ne 0\).
–  Nghiệm  của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bắt đẳng thúc đúng.
–  Giải bất phương trình bậc hai  là tìm tập hợp các nghiệm của bât phương trình đó.
– Ta có thể giải bắt phương trình bậc hai bằng cách xét dâu của tam thức bậc hai tương ứng.

1.3. Phương trình quy về bậc hai

a) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\)
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\) ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai về của phương trình để được phương trình \(a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\)
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1
Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tim được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm
b) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\)
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai về của phương trình đề được phương trình \(a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\)
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1
Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Bài tập minh họa

Câu 1: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} – 3x – 2\)
b) \(g\left( x \right) =  – {x^2} + 2x – 3\)
Hướng dẫn giải
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} – 3x – 2\) có \(\Delta  = 25 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  – \frac{1}{2};{x_2} = 2\)
và \(a = 2 > 0\)
Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) âm trong khoảng \(\left( { – \frac{1}{2},2} \right)\) và dương trong hai khoảng
\(\left( { – \infty , – \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)
b) \(g\left( x \right) =  – {x^2} + 2x – 3\) có \(\Delta  = {2^2} – 4.\left( { – 1} \right).\left( { – 3} \right) =  – 8 < 0\) và \(a =  – 1 < 0\)
Vậy \(g\left( x \right)\)âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Câu 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(15{x^2} + 7x – 2 \le 0\)
b) \( – 2{x^2} + x – 3 < 0\)
Hướng dẫn giải
a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 15{x^2} + 7x – 2\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  – \frac{2}{3};{x_2} = \frac{1}{5}\)
và có \(a = 15 > 0\) nên \(f\left( x \right) \le 0\) khi x thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(15{x^2} + 7x – 2 \le 0\) là \(\left[ { – \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]\)
b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  – 2{x^2} + x – 3\) có \(\Delta  =  – 23 < 0\) và \(a =  – 2 < 0\)
nên \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy bất phương trình \( – 2{x^2} + x – 3 < 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)
Câu 3: Giải phương trình \(\sqrt {31{x^2} – 58x + 1}  = \sqrt {10{x^2} – 11x – 19} \)
Hướng dẫn giải
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt {31{x^2} – 58x + 1}  = \sqrt {10{x^2} – 11x – 19} \\ \Rightarrow 31{x^2} – 58x + 1 = 10{x^2} – 11x – 19\\ \Rightarrow 21{x^2} – 47x + 20 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow x = \frac{5}{3}\) hoặc \(x = \frac{4}{7}\)
Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy không có nghiệm nào thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Câu 4: Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x – 41}  = 2x + 3\)
Hướng dẫn giải
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\(3{x^2} + 27x – 41 = {\left( {2x + 3} \right)^2}\)
\( \Rightarrow 3{x^2} + 27x – 41 = 4{x^2} + 12x + 9\)
\( \Rightarrow {x^2} – 15x + 50 = 0\)
\( \Rightarrow x = 5\) và \(x = 10\)
Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x – 41}  = 2x + 3\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 5\) và \(x = 10\)

===========
Chuyên mục: ChÆ°Æ¡ng 7: Bất phÆ°Æ¡ng trình bậc hai một ẩn