Lý thuyết Bài 12: Số gần đúng và sai số – Kết nối

Lý thuyết Bài 12: Số gần đúng và sai số
=============

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Số gần đúng

Trong nhiều trường hợp, ta không biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu là \(\overline a \)) mà chỉ tìm được giá trị khác xấp xỉ nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng, kí hiệu là \(a.\)

Ví dụ:

a) Người ta thường lấy \(\pi \) xấp xỉ 3,14. Khi đó 3,14 là một số gần đúng của số đúng \(\pi \)

b) Cho số \(\overline a  = 2,17369266494051…\), thì số \(a = 2,1737\) là một số gần đúng của số đúng \(\overline a \)

1.2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

a. Sai số tuyệt đối

Giá trị \(\left| {a – \overline a } \right|\) phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng \({\overline a }\) và số gần đúng a, được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a, ki hiệu là \({\Delta _a}\) tức là:  \({\Delta _a} = \left| {a – \overline a } \right|\)

Chú ý

+ Trên thực tế, nhiều khi ta không biết \({\overline a }\) nên cũng không biết \({\Delta _a}\). Tuy nhiên, ta có thể đánh giá được \({\Delta _a}\), không vượt quá một số dương d nào đó.

Chẳng hạn, ta thấy |13,1 – \({\overline a }\) | < |13,1 – 13| = 0,1 (cm³).

Vậy với a = 13,1 (cm³), sai số tuyệt đối của a không vượt quá 0,1 cm³.

+ Nếu \({\Delta _a} \le d\) thì \(a – d \le \overline a  \le a + d\), khi đó ta viết \(\overline a  = a \pm d\) và hiểu là số đúng \({\overline a }\) nằm trong đoạn [a- d: a + d]. Do d cảng nhỏ thì a càng gần \({\overline a }\) nên d được gọi là độ chính xác của số gần đúng. 

Ví dụ: Một công ty sử dụng dây chuyên A để đóng gạo vào bao với khối lượng mong muốn lả 5kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là \(5 \pm 0,2kg\). Gọi \({\overline a }\) là khối lượng thực của một bao gạo do dây chuyển A đóng gói.

a) Xác định số đúng, số gân đúng và độ chính xác. 

b) Giá trị của \({\overline a }\) nằm trong đoạn nào?

Giải

a) Khối lượng thực của bao gạo \({\overline a }\) là số đúng. Tuy không biết \({\overline a }\) nhưng ta xem khối lượng bao gạo lả 5 kg nên 5 là số gần đúng cho \({\overline a }\). Độ chính xác là d = 0,2 (kg).

b) Giá trị của \({\overline a }\) nằm trong đoạn [5 – 0.2; 5 + 0,2] hay [4,8; 5,2].

b. Sai số tương đối

Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là \({\delta _a}\), là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và |a|, tức là \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}\).

Nhận xét: Nếu \(\overline a  = a \pm d\) thì \({\Delta _a} \le d\), do đó \({\delta _a} \le \frac{d}{{\left| a \right|}}\), Nếu \(\frac{d}{{\left| a \right|}}\) cảng nhỏ thì chất lượng của phép đo hay tính toán cảng cao. Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.

Ví dụ: Trong một cuộc điều tra dân số, người ta viết dân số của một tỉnh lả: 3 574 625 người + 50 000 người

Hãy đánh giá sai số tương đối của số gần đúng này.

Giải

Ta có a = 3 574 625 người và d = 50 000 người, do đó sai số tương đối là:

\({\delta _a} \le \frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{{50000}}{{3574625}} \approx 1,4\% \) 

1.3. Quy tròn số gần đúng

Số thu được sau khi thực hiện làm tròn số được gọi là số quy tròn. Số quy tròn là một số gần đúng của số ban đầu.

*) Đối với chữ số hàng làm tròn:

– Giữ nguyên nếu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn 5;

– Tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải nó lớn hơn hoặc bằng 5;

*) Đối với chữ số sau hàng làm tròn:

– Bỏ đi nếu ở phần thập phân;

– Thay bởi các chữ số 0 nếu ở phần số nguyên.

Nhận xét

+ Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của só quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn. 

+ Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu làm tròn số a mà không nói rõ làm tròn đến hàng nào thi ta làm tròn số a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.

Ví dụ: Cho số gần đúng a = 581268 với độ chính xác d= 200. Hãy viết số quy tròn của số a.

Giải

Vì độ chính xác đến hàng trăm (d = 200) nên ta làm tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn ở trên. Số quy tròn của a là 581000.

Bài tập minh họa

Câu 1:  Đỉnh Everest được mệnh danh là “nóc nhà của thế giới”, bởi đây là đỉnh núi cao nhất trên Trái Đất so với mực nước biển. Có rất nhiều con số khác nhau đã từng được công bố về chiều cao của đỉnh Everest: 8 848 m;8 848,13m;8 844.43 m;8 850 m:… Vì sao lại có nhiều kết quả khác nhau như vậy và đâu là con số chính xác?

Hướng dẫn giải

Khi đo độ cao đỉnh núi Everest người ta không thể đo trực tiếp một cách chính xác mà phải thông qua tính toán.

Mỗi vị trí quan sát hoặc trong tính toán, có những con số không thể lấy chính xác đo đó kết quả thu được cũng không giống nhau.

Ngoài ra có thể người ta đã làm tròn kết quả để được một con số gọn mà chính xác nhất có thể, nên các kết quả cũng khác nhau.

Câu 2:  Gọi P là chu vi của đường tròn bán kính 1cm. Hãy tìm một giá trị gần đúng của P.

Hướng dẫn giải

Chu vi đường tròn là:

\(P = 2\pi R = 2\pi .1 = 2\pi \left( {cm} \right)\)

Bấm máy tính ta thấy \(2\pi  \approx 6,28\)

Vậy \(P \approx 6,28cm\).

Chú ý

Ta có thể lấy số gần đúng khác của \(2\pi \) như: 6,283 hoặc 6,283185

Câu 3:  Hãy viết số quy tròn của số gần đúng trong những trường hợp sau:

a) \(11{\rm{ 251 900}} \pm {\rm{300}}\)

b) \(18,2857 \pm 0,01\)

Hướng dẫn giải

a)

Bước 1: 

Vì độ chính xác đến hàng trăm (d=300) nên hàng làm tròn là hàng nghìn. Chữ số hàng làm tròn là 1.

Bước 2:

Vì số bên phải số 1 là số 9>5 nên ta tăng số 1 thêm 1 đơn vị.

Vậy số quy tròn của \(11{\rm{ 251 900}}\) là \(11{\rm{ 252 000}}\)

b)

Vì độ chính xác đến hàng phần trăm (d=0,01) nên hàng làm tròn là hàng phần chục. Chữ số hàng làm tròn là 2.

Vì số bên phải số 2 là số 8>5 nên ta tăng 2 thêm 1 đơn vị và bỏ các số sau số 2.

Vậy số quy tròn của \(18,2857\) là \(18,3\).

=============
– Học Toán lớp 10 – Kết nối