Đề toán 2022 [Mức độ 3] Biết \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = F\left( 3 \right) – G\left( 0 \right) + a\) \(\left( {a > 0} \right)\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = F\left( x \right),\,y = G\left( x \right),x = 0\) và \(x = 3\). Khi \(S = 15\) thì \(a\) bằng?  

Đề toán 2022 [Mức độ 3] Biết \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = F\left( 3 \right) – G\left( 0 \right) + a\) \(\left( {a > 0} \right)\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = F\left( x \right),\,y = G\left( x \right),x = 0\) và \(x = 3\). Khi \(S = 15\) thì \(a\) bằng?  

A. \(15\). B. \(12\). C. \(18\). D. \(5\).

Lời giải

Giả thiết \(F\left( x \right),G\left( x \right)\) đều là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên ta có: \(F\left( x \right) = G\left( x \right) + C \Rightarrow F\left( 0 \right) = G\left( 0 \right) + C\)   (1).

Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^3 = F\left( 3 \right) – F\left( 0 \right) = F\left( 3 \right) – \left( {G\left( 0 \right) + C} \right) = F\left( 3 \right) – G\left( 0 \right) – C\).

Mà theo giả thiết \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = F\left( 3 \right) – G\left( 0 \right) + a\) nên \(C =  – a\).

Suy ra \(F\left( x \right) = G\left( x \right) – a \Leftrightarrow F\left( x \right) – G\left( x \right) =  – a\).

Ta có \(S = \int\limits_0^3 {\left| {F\left( x \right) – G\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^3 {\left| { – a} \right|{\rm{d}}x}  = \left. {ax} \right|_0^3 = 3a\).

Mà \(S = 15\) nên ta có \(a = 5\).

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.