Cho hàm số \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 4\) có đồ thị cắt Parabol \(g(x) = m{x^2} + nx\) tại các điểm có hoành độ là \( – 2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2\). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên bằng

B. \(\frac{7}{{12}}\).

C. \(\frac{{32}}{3}\).

D. \(\frac{{71}}{6}\).

Lời giải:

Ta có, phương trình hoành độ giao điểm là phương trình bậc ba có các nghiệm \( – 2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2\) nên \(f(x) – g(x) = k.(x + 2)(x – 1)(x – 2)\).

Mặt khác: \(f(0) – g(0) = 4 \Rightarrow k = 1\)\( \Rightarrow f(x) – g(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 2) = {x^3} – {x^2} – 4x + 4\).

Diện tích là:

\(S = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} = \int\limits_{ – 2}^2 {\left| {{x^3} – {x^2} – 4x + 4} \right|{\rm{d}}x} \)

\( = \int\limits_{ – 2}^1 {\left( {{x^3} – {x^2} – 4x + 4} \right){\rm{d}}x – } \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} – {x^2} – 4x + 4} \right){\rm{d}}x = \frac{{45}}{4} + \frac{7}{{12}} = \frac{{71}}{6}} \).