Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x – 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(M,N\) là hai điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến tại \(M,N\) song song với nhau. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(MN\) nằm trong khoảng nào dưới đây? Biết rằng đường thẳng \(MN\) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại \(A,B\) phân biệt sao cho \(OB = 2OA\).

B. \(\left( {14;\,\,15} \right)\).

C. \(\left( {12;\,\,13} \right)\).

D. \(\left( {13;14} \right)\).

Lời giải:

Giả sử \(M\left( {{x_M};\,{y_M}} \right),N\left( {{x_N};\,{y_N}} \right)\), suy ra \(y’\left( {{x_M}} \right) = y’\left( {{x_N}} \right) = k\).

Ta có: \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x – 1 = y'(x)\left( {\frac{1}{3}x – \frac{2}{3}} \right) – \frac{2}{3}x + 1\).

\(M,N\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{y_M} = y’\left( {{x_M}} \right)\left( {\frac{1}{3}{x_M} – \frac{2}{3}} \right) – \frac{2}{3}{x_M} + 1\\{y_N} = y’\left( {{x_N}} \right)\left( {\frac{1}{3}{x_N} – \frac{2}{3}} \right) – \frac{2}{3}{x_N} + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_M} = \left( {\frac{k}{3} – \frac{2}{3}} \right){x_M} – \frac{{2k}}{3} + 1\\{y_N} = \left( {\frac{k}{3} – \frac{2}{3}} \right){x_N} – \frac{{2k}}{3} + 1\end{array} \right.\)

Do đó đường thẳng \(MN\) có phương trình: \(y = \left( {\frac{k}{3} – \frac{2}{3}} \right)x – \frac{{2k}}{3} + 1\).

Mặt khác do \(OB = 2OA\) nên đường thẳng \(MN\) có hệ số góc bằng \(2\) hoặc \( – 2\).

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}\frac{k}{3} – \frac{2}{3} = 2\\\frac{k}{3} – \frac{2}{3} = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 8\\k = – 4\end{array} \right.\).

Ta có: \(y’\left( x \right) = {x^2} – 4x + 3\)

+) Với \(k = – 4 \Rightarrow {x_M},{x_N}\) là nghiệm của phương trình

\({x^2} – 4x + 3 = – 4 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 7 = 0 \Leftrightarrow \), phương trình vô nghiệm.

+) Với \(k = 8 \Rightarrow {x_M},{x_N}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} – 4x – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 5\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { – 1;\, – \frac{{19}}{3}} \right),\,N\left( {5;\,\frac{{17}}{3}} \right)\).

Từ đó tìm được phương trình đường thẳng \(MN\): \(y = 2x – \frac{{13}}{3}\).

Vậy diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_{ – 1}^5 {\left| {\frac{{{x^3}}}{3} – 2{x^2} + x + \frac{{10}}{3}} \right|} {\rm{d}}x = \frac{{27}}{2}\).