Cho hình trụ có (O, O' )  là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A, B cùng thuộc (O) và (C, D )  cùng thuộc (O' ) sao cho \( AB = a\sqrt 3 , BC = 2a\) đồng thời (ABCD) tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 600. Thể tích khối trụ bằng:

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD,AB và II là trung điểm của OO′

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
(ABCD) \cap (O’CD) = CD\\
IM \subset (ABCD),IM \bot CD\\
O’M \subset (O’CD),O’M \bot CD
\end{array} \right. \to \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABCD} \right);\left( {O’BC} \right)} \right) = \angle \left( {IM;O’M} \right) = \angle IMO’ = {60^0}\)

Ta có: \(
MN = BC = 2a \Rightarrow IM = \frac{1}{2}MN = a\)

Xét tam giác vuông O′IM có: 

\(\begin{array}{l}
O’M = IM.\cos {60^0} = \frac{a}{2}\\
O’I = IM.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}
\end{array}\)

⇒ Chiều cao của khối trụ là \(
h = OO’ = 2O’I = a\sqrt 3 \)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O′CM có:

\(
O’C = \sqrt {O'{M^2} + C{M^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4}} = a\)

⇒ Bán kính đáy của khối trụ là r=O′C=a

Vậy thể tích của khối trụ là: \(
V = \pi {r^2}h = \pi .{a^2}.a\sqrt 3 = \pi {a^3}\sqrt 3 \)

Đáp án cần chọn là: A