Cho một khối trụ có bán kính đáy \(R=a\) và chiều cao \(h=2a\). Mặt phẳng \((P)\) song song với trục \(OO'\) của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích phần khối trụ chứa trục \(OO'\), \({{V}_{2}}\) là thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\), biết rằng \((P)\) cách \(OO'\) một khoảng bằng \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Thể tích khối trụ \(V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{a}^{2}}.2a=2\pi {{a}^{3}}\).

Gọi thiết diện là hình chữ nhật \(ABB’A’\).

Dựng lăng trụ \(ABCD.ABCD\) như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm \(AB.\)

Ta có \(OH\bot AB\Rightarrow OH\bot (ABB’A’)\) Þ \(OH=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

⇒ \(AH=BH=\frac{a\sqrt{2}}{2}=OH\).

⇒ DOAB vuông cân tại O Þ ABCD là hình vuông.

Từ đó suy ra:

\({{V}_{2}}=\frac{1}{4}\left( V-{{V}_{ABCD.A’B’C’D’}} \right)=\frac{1}{4}\left( 2\pi {{a}^{3}}-{{(a\sqrt{2})}^{2}}.2a \right)=\frac{{{a}^{3}}(\pi -2)}{2}\).

\({{V}_{1}}=V-{{V}_{2}}=2\pi {{a}^{3}}-\frac{{{a}^{3}}(\pi -2)}{2}=\frac{{{a}^{3}}(3\pi +2)}{2}\). Suy ra \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{3\pi +2}{\pi -2}\).