Đề bài: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Gọi $P$ là điểm nằm trên $BD$, mà $P$ không trùng với trung điểm của $BD$.a) $MP$ có cắt $AD$ không, tại sao?b) Tìm giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ và các đường thẳng $CD, AD$. Hai giao điểm này có vị trí thế nào so với điểm $M$?c) Bạn có nhận xét gì về giả thiết của bài toán?

Lời giải

a) $MP$ không cắt $AC$. Giả sử ngược lại $MP$ cắt $AC$ tại $K$. Khi đó hai điểm $K$ và $P$ là hai điểm chung của $(MNP)$ và $(ABC)$. Suy ra $KP$ là giao tuyến của hai mặt phẳng này. Cũng do $M$ thuộc $KP$ nên $M$ lại là điểm chung của hai mặt phẳng nói trên. Nói riêng thì $M$ thuộc mặt phẳng $ABC$. Đây là điều không thể xảy ra.

b) $I$ là giao điểm của $CD$ và $NP$. $J$ là giao điểm của $IM$ và $AD$. Điểm $M$ và hai giao điểm này thẳng hàng.

c) Giả thiết “$M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$; $P$ là điểm nằm trên $BD$, mà $P$ không trùng với trung điểm của $BD$” được nêu ra chỉ với mục đích: $CD$ và $NP$ là hai đường thẳng cắt nhau.