DẠNG TOÁN 3: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Dựa vào dấu của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1 :
a) Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ với ${90^0} < \alpha < {180^0}.$ Tính $\cos \alpha $ và $\tan \alpha .$
b) Cho $\cos \alpha = – \frac{2}{3}.$ Tính $\sin \alpha $ và $\cot \alpha .$
c) Cho $\tan \alpha = – 2\sqrt 2 $, tính giá trị lượng giác còn lại.
a) Vì ${90^0} < \alpha < {180^0}$ nên $\cos \alpha < 0$ mặt khác ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ suy ra:
$\cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } $ $ = – \sqrt {1 – \frac{1}{9}} $ $ = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$
Do đó: $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $ = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}$ $ = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$
b) Vì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ nên $\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } $ $ = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ và $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $ = \frac{{ – \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = – \frac{2}{{\sqrt 5 }}.$
c) Vì $\tan \alpha = – 2\sqrt 2 < 0$ $ \Rightarrow \cos \alpha < 0$ mặt khác ${\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.$
Nên $\cos \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\tan }^2} + 1}}} $ $ = – \sqrt {\frac{1}{{8 + 1}}} = – \frac{1}{3}.$
Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $ \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha $ $ = – 2\sqrt 2 .\left( { – \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.$
$ \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ $ = \frac{{ – \frac{1}{3}}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.$
Ví dụ 2 :
a) Cho $\cos \alpha = \frac{3}{4}$ với ${0^0} < \alpha < {90^0}$. Tính $A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}.$
b) Cho $\tan \alpha = \sqrt 2 .$ Tính $B = \frac{{\sin \alpha – \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }}.$
a) Ta có $A = \frac{{\tan \alpha + 3\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}$ $ = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}$ $ = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}$ $ = 1 + 2{\cos ^2}\alpha .$
Suy ra $A = 1 + 2.\frac{9}{{16}} = \frac{{17}}{8}.$
b) $B = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} – \frac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{3{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{2\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}$ $ = \frac{{\tan \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right) – \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}.$
Suy ra $B = \frac{{\sqrt 2 (2 + 1) – (2 + 1)}}{{2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 (2 + 1)}}$ $ = \frac{{3(\sqrt 2 – 1)}}{{3 + 8\sqrt 2 }}.$
Ví dụ 3 : Biết $\sin x + \cos x = m.$
a) Tìm $\sin x\cos x$ và $\left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.$
b) Chứng minh rằng $|m| \le \sqrt 2 .$
a) Ta có ${(\sin x + \cos x)^2}$ $ = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x$ $ = 1 + 2\sin x\cos x$ $(*).$
Mặt khác $\sin x + \cos x = m$ nên ${m^2} = 1 + 2\sin x\cos x.$
Hay $\sin x\cos x = \frac{{{m^2} – 1}}{2}.$
Đặt $\dot A = \left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.$ Ta có:
$A = \left| {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x} \right)} \right|$ $ = |(\sin x + \cos x)(\sin x – \cos x)|.$
$ \Rightarrow {A^2} = {(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x – \cos x)^2}$ $ = (1 + 2\sin x\cos x)(1 – 2\sin x\cos x).$
$ \Rightarrow {A^2} = \left( {1 + {m^2} – 1} \right)\left( {1 – {m^2} + 1} \right)$ $ = 2{m^2} – {m^4}.$
Vậy $A = \sqrt {2{m^2} – {m^4}} .$
b) Ta có: $2\sin x\cos x$ $ \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ kết hợp với $(*)$ suy ra:
${(\sin x + \cos x)^2} \le 2$ $ \Rightarrow |\sin x + \cos x| \le \sqrt 2 .$
Vậy $|m| \le \sqrt 2 .$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1 : Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết:
a) $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với ${0^0} < \alpha < {90^0}.$
b) $\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{5}} .$
c) $\cot \alpha = – \sqrt 2 .$
d) $\tan \alpha + \cot \alpha < 0$ và $\sin \alpha = \frac{1}{5}.$
a) $\cos \alpha = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = \frac{4}{5}$, $\tan \alpha = \frac{3}{4}$, $\cot \alpha = \frac{4}{3}.$
b) $\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$, $\tan \alpha = 2$, $\cot \alpha = \frac{1}{2}.$
c) $\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$, $\cos \alpha = – \frac{{\sqrt 6 }}{3}$, $\tan \alpha = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$
d) Ta có $\tan \alpha \cot \alpha = 1 > 0$ mà $\tan \alpha + \cot \alpha < 0$ suy ra $\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0.$
$\cot \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} – 1} $ $ = – 2\sqrt 6 $ $ \Rightarrow \tan \alpha = – \frac{1}{{2\sqrt 6 }}$, $\cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha $ $ = – \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.$
Bài 2 :
a) Cho $\sin a = \frac{1}{3}$ với ${90^0} < a < {180^0}.$ Tính $B = \frac{{3\cot a + 2\tan a + 1}}{{\cot a + \tan a}}.$
b) Cho $\cot a = 5.$ Tính $D = 2{\cos ^2}a + 5\sin a\cos a + 1.$
a) Từ giả thiết suy ra:
$\cos a = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$, $\tan a = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$, $\cot a = – 2\sqrt 2 $ $ \Rightarrow B = \frac{{26 – 2\sqrt 2 }}{9}.$
b) $\frac{D}{{{{\sin }^2}a}}$ $ = 2{\cot ^2}a + 5\cot a + \frac{1}{{{{\sin }^2}a}}$ $ \Rightarrow \left( {{{\cot }^2}a + 1} \right)D$ $ = 3{\cot ^2}a + 5\cot a + 1.$
Suy ra $D = \frac{{101}}{{26}}.$
Bài 3 : Biết $\tan x + \cot x = m.$
a) Tìm ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x.$
b) $\frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}.$
a) ${\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {m^2} – 2.$
b) ${\tan ^4}x + {\cot ^4}x$ $ = {\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)^2} – 2$ $ = {\left( {{m^2} – 2} \right)^2} – 2$ $ = {m^4} – 4{m^2} + 2.$
$ \Rightarrow \frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}$ $ = \frac{{\left( {{m^2} – 2} \right)\left( {{m^4} – 4{m^2} + 1} \right)}}{{{m^4} – 4{m^2} + 2}}.$
Bài 4 : Cho $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}.$ Tính ${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha .$
${(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} = 1 + \frac{{24}}{{25}}$ $ \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}$ (do $\cos \alpha > 0$).
$ \Rightarrow {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha $ $ = (\sin \alpha + \cos \alpha )$$\left( {{{\sin }^2}\alpha – \sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)$ $ = \frac{{91}}{{125}}.$
Trả lời