Lớp 6 · Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Ôn tập chương 2 - Toán 6

🚀 Khởi động

🎯 Ôn tập chương 2 — Tính chia hết

Chương 2 giúp chúng ta hiểu sâu hơn về quan hệ chia hết, số nguyên tố, và cách tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất.

🔗

Chia hết

Quan hệ chia hết

🔢

Số nguyên tố

Phân tích thừa số

🎯

ƯCLN & BCNN

Ứng dụng thực tế

🔍 Khám phá

📖 I. LÝ THUYẾT

1. Quan hệ chia hết

Định nghĩa: Số tự nhiên $a$ chia hết cho số tự nhiên $b$ (ký hiệu $a ⋮ b$ ) nếu tồn tại số tự nhiên $q$ sao cho $a = b \times q$ .

Tính chất:

Nếu $a ⋮ b$ và $b ⋮ c$ thì $a ⋮ c$
Nếu $a ⋮ b$ và $a ⋮ c$ thì $a ⋮ BCNN (b, c)$

2. Dấu hiệu chia hết

Chia hết cho 2: Chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8
Chia hết cho 5: Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
Chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3
Chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9
Chia hết cho 4: Hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4
Chia hết cho 8: Ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8

3. Số nguyên tố và hợp số

Số nguyên tố: Số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Hợp số: Số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Lưu ý: Số 0 và 1 không phải số nguyên tố, cũng không phải hợp số.

Các số nguyên tố nhỏ hơn 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

4. Phân tích thành thừa số nguyên tố

Định nghĩa: Viết một số dưới dạng tích của các số nguyên tố.

Ví dụ: $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$

Phương pháp: Chia liên tiếp cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn.

5. Ước chung. Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Ước chung: Số vừa là ước của $a$ , vừa là ước của $b$ .

ƯCLN: Ước chung lớn nhất của $a$ và $b$ .

Cách tìm ƯCLN:

Phân tích thành thừa số nguyên tố
Lấy tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất

Ví dụ: ƯCLN(24, 36) = ƯCLN( $2^{3} \times 3$ , $2^{2} \times 3^{2}$ ) = $2^{2} \times 3 = 12$

6. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Bội chung: Số vừa là bội của $a$ , vừa là bội của $b$ .

BCNN: Bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b$ .

Cách tìm BCNN:

Phân tích thành thừa số nguyên tố
Lấy tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất

Ví dụ: BCNN(12, 18) = BCNN( $2^{2} \times 3$ , $2 \times 3^{2}$ ) = $2^{2} \times 3^{2} = 36$

✏️ Luyện tập

🧮 Thực hành: Ôn tập chương 2 – Tính chia hết

Điểm: 0/0

Kiểm tra dấu hiệu chia hết, số nguyên tố:

Số 60 có bao nhiêu ước tự nhiên?

💡 Phân tích: 60 = 2^2 × 3 × 5. Số ước = tích của (số mũ + 1).

💡 Ghi nhớ trọng tâm chương 2:

• Dấu hiệu: ⋮2 (tận cùng chẵn), ⋮3 (tổng chữ số ⋮3), ⋮5 (tận cùng 0,5), ⋮9 (tổng chữ số ⋮9)
• Số nguyên tố: chỉ có 2 ước là 1 và chính nó; số 0, 1 không là nguyên tố
• ƯCLN: thừa số chung, mũ nhỏ nhất
• BCNN: thừa số chung + riêng, mũ lớn nhất
• ƯCLN(a,b) × BCNN(a,b) = a × b

Câu 1 / 12

Trung bình0 đã trả lời

Số 48 chia hết cho những số nào?

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một cửa hàng có $48$ cái bàn và $36$ cái ghế. Người bán muốn chia đều thành các bộ (mỗi bộ gồm một bàn và một ghế) sao cho không thừa.

a) Có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu bộ?

b) Mỗi bộ có bao nhiêu cái bàn và bao nhiêu cái ghế?

Giải:

a) Số bộ nhiều nhất = ƯCLN $(48, 36)$

Phân tích:

$48 = 2^{4} \times 3$
$36 = 2^{2} \times 3^{2}$

ƯCLN $(48, 36) = 2^{2} \times 3 = 12$

Có thể chia được nhiều nhất 12 bộ.

b) Mỗi bộ có:

Số bàn: $48 : 12 = 4$ (cái)
Số ghế: $36 : 12 = 3$ (cái)

📝 Bài toán 2: Hai chiếc xe buýt xuất phát cùng lúc từ một bến. Xe thứ nhất chạy vòng quanh thành phố mất $30$ phút, xe thứ hai mất $45$ phút.

a) Sau bao lâu thì hai xe lại gặp nhau tại bến?

b) Lúc đó, mỗi xe đã chạy được bao nhiêu vòng?

Giải:

a) Thời gian gặp lại = BCNN $(30, 45)$

Phân tích:

$30 = 2 \times 3 \times 5$
$45 = 3^{2} \times 5$

BCNN $(30, 45) = 2 \times 3^{2} \times 5 = 90$

Sau 90 phút (1 giờ 30 phút) hai xe lại gặp nhau tại bến.

b) Lúc đó:

Xe thứ nhất: $90 : 30 = 3$ (vòng)
Xe thứ hai: $90 : 45 = 2$ (vòng)

📝 Bài toán 3: Một thư viện có một số quyển sách trong khoảng từ $200$ đến $300$ quyển. Khi xếp số sách đó thành các chồng, mỗi chồng $8$ quyển, $12$ quyển hoặc $15$ quyển thì đều vừa đủ chồng.

a) Tìm BCNN $(8, 12, 15)$ .

b) Hỏi thư viện có bao nhiêu quyển sách?

Giải:

a) Phân tích:

$8 = 2^{3}$
$12 = 2^{2} \times 3$
$15 = 3 \times 5$

BCNN $(8, 12, 15) = 2^{3} \times 3 \times 5 = 120$

b) Số sách phải là bội chung của $8, 12, 15$ , tức là bội của $120$ : $120, 240, 360, ...$

Số trong khoảng từ $200$ đến $300$ chỉ có $240$ .

Thư viện có 240 quyển sách.

⭐ Ghi nhớ

💡 Những điều cần ghi nhớ

Chia hết: $a ⋮ b$ nếu $a = b \times q$
Dấu hiệu chia hết: Nhớ cho 2, 3, 5, 9
Số nguyên tố: Chỉ có 2 ước là 1 và chính nó
Phân tích thừa số: Chia liên tiếp cho số nguyên tố
ƯCLN: Tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất
BCNN: Tích các thừa số chung và riêng với số mũ lớn nhất
Ứng dụng: ƯCLN dùng để chia đều, BCNN dùng để tìm thời gian gặp lại

📝 Bài tập tự luận (10 câu từ dễ đến khó)

Bài 1 (Dễ - Nhận biết): Trong các số $120, 135, 246, 350, 405$ , hãy tìm:

a) Các số chia hết cho $2$

b) Các số chia hết cho $5$

c) Các số chia hết cho $3$

d) Các số chia hết cho cả $2$ và $5$

Bài 2 (Dễ - Nhận biết): Số nguyên tố và hợp số:

a) Liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn $30$

b) Trong các số $31, 33, 35, 37, 39$ , số nào là số nguyên tố?

c) Trong các số $43, 45, 47, 49, 51$ , số nào là hợp số?

Bài 3 (Dễ - Nhận biết): Phân tích các số sau thành thừa số nguyên tố:

a) $60$

b) $84$

c) $100$

d) $180$

Bài 4 (Thông hiểu): Tìm ƯCLN của:

a) ƯCLN $(24, 36)$

b) ƯCLN $(60, 90)$

c) ƯCLN $(48, 72, 96)$

Bài 5 (Thông hiểu): Tìm BCNN của:

a) BCNN $(12, 18)$

b) BCNN $(15, 20)$

c) BCNN $(10, 15, 20)$

Bài 6 (Thông hiểu): Áp dụng mối liên hệ ƯCLN $(a, b) \times$ BCNN $(a, b) = a \times b$ :

a) Biết ƯCLN $(15, 20) = 5$ . Tìm BCNN $(15, 20)$ .

b) Biết BCNN $(24, 36) = 72$ . Tìm ƯCLN $(24, 36)$ .

Bài 7 (Thông hiểu - dấu hiệu chia hết): Tìm chữ số thích hợp để điền vào $*$ :

a) $\overline{3 * 4}$ chia hết cho $3$

b) $\overline{5 * 2}$ chia hết cho $9$

c) $\overline{48 *}$ chia hết cho cả $2$ và $5$

Bài 8 (Vận dụng): Một lớp có $30$ học sinh nam và $24$ học sinh nữ. Cô giáo muốn chia đều thành các nhóm, mỗi nhóm có số nam và số nữ như nhau.

a) Có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu nhóm?

b) Mỗi nhóm có bao nhiêu học sinh nam và bao nhiêu học sinh nữ?

Bài 9 (Vận dụng): Tìm số tự nhiên $x$ nhỏ nhất khác $0$ sao cho $x ⋮ 8$ , $x ⋮ 12$ và $x ⋮ 15$ .

Bài 10 (Vận dụng cao): Tìm hai số tự nhiên $a$ và $b$ biết $a \times b = 180$ và ƯCLN $(a, b) = 6$ .

📖 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT 10 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: a) Chia hết cho $2$ : $120, 246, 350$ (tận cùng là chữ số chẵn hoặc $0$ ).

b) Chia hết cho $5$ : $120, 135, 350, 405$ (tận cùng là $0$ hoặc $5$ ).

c) Chia hết cho $3$ : $120, 135, 246, 405$ (tổng chữ số chia hết cho $3$ ).

d) Chia hết cho cả $2$ và $5$ : $120, 350$ (tận cùng là $0$ ).

Bài 2: a) Các số nguyên tố nhỏ hơn $30$ : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ .

b) Số nguyên tố: $31$ và $37$ (vì $33 = 3 \times 11$ , $35 = 5 \times 7$ , $39 = 3 \times 13$ là hợp số).

c) Hợp số: $45 = 3^{2} \times 5$ , $49 = 7^{2}$ , $51 = 3 \times 17$ (còn $43$ , $47$ là số nguyên tố).

Bài 3: a) $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$

b) $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$

c) $100 = 2^{2} \times 5^{2}$

d) $180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$

Bài 4: a) $24 = 2^{3} \times 3$ ; $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ . ƯCLN = $2^{2} \times 3 = 12$ .

b) $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ ; $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$ . ƯCLN = $2 \times 3 \times 5 = 30$ .

c) $48 = 2^{4} \times 3$ ; $72 = 2^{3} \times 3^{2}$ ; $96 = 2^{5} \times 3$ . ƯCLN = $2^{3} \times 3 = 24$ .

Bài 5: a) $12 = 2^{2} \times 3$ ; $18 = 2 \times 3^{2}$ . BCNN = $2^{2} \times 3^{2} = 36$ .

b) $15 = 3 \times 5$ ; $20 = 2^{2} \times 5$ . BCNN = $2^{2} \times 3 \times 5 = 60$ .

c) $10 = 2 \times 5$ ; $15 = 3 \times 5$ ; $20 = 2^{2} \times 5$ . BCNN = $2^{2} \times 3 \times 5 = 60$ .

Bài 6: a) BCNN $(15, 20) = \frac{15 \times 20}{5} = \frac{300}{5} = 60$ .

b) ƯCLN $(24, 36) = \frac{24 \times 36}{72} = \frac{864}{72} = 12$ .

Bài 7: a) $\overline{3 * 4}$ chia hết cho $3$ khi $3 + * + 4 = 7 + * ⋮ 3$ , suy ra $* \in {2, 5, 8}$ .

b) $\overline{5 * 2}$ chia hết cho $9$ khi $5 + * + 2 = 7 + * ⋮ 9$ , suy ra $* = 2$ .

c) $\overline{48 *}$ chia hết cho cả $2$ và $5$ khi tận cùng là $0$ , suy ra $* = 0$ .

Bài 8: a) Số nhóm nhiều nhất = ƯCLN $(30, 24)$ .

$30 = 2 \times 3 \times 5$ ; $24 = 2^{3} \times 3$ . ƯCLN = $2 \times 3 = 6$ .

Có thể chia được nhiều nhất 6 nhóm.

b) Mỗi nhóm có: $30 : 6 = 5$ học sinh nam và $24 : 6 = 4$ học sinh nữ.

Bài 9: Số cần tìm là BCNN $(8, 12, 15)$ .

$8 = 2^{3}$ ; $12 = 2^{2} \times 3$ ; $15 = 3 \times 5$ .

BCNN $(8, 12, 15) = 2^{3} \times 3 \times 5 = 120$ .

Số tự nhiên $x$ cần tìm là 120.

Bài 10: Đặt $a = 6 m$ , $b = 6 n$ với ƯCLN $(m, n) = 1$ .

$a \times b = 180 \Rightarrow 6 m \times 6 n = 180 \Rightarrow 36 mn = 180 \Rightarrow mn = 5$ .

Các cặp $(m, n)$ với ƯCLN $(m, n) = 1$ và $mn = 5$ : $(1, 5), (5, 1)$ .

Vậy các cặp $(a, b)$ : $(6, 30)$ hoặc $(30, 6)$ .