Lớp 6 · Chương I: Tập hợp các số tự nhiên

Bài 6: Lũy thừa với số mũ tự nhiên

🚀 Khởi động

🔢 Lũy thừa — Nhân nhiều lần cùng một số

Lũy thừa giúp viết gọn phép nhân lặp lại!

📐

Viết gọn

$2 \times 2 \times 2 = 2^{3}$

⚡

Tính nhanh

$1 0^{3} = 1000$

🎯

Ứng dụng

Diện tích, thể tích

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa lũy thừa

Định nghĩa: Lũy thừa bậc $n$ của số tự nhiên $a$ là tích của $n$ thừa số, mỗi thừa số bằng $a$ , ký hiệu là $a^{n}$ .

$a^{n} = n thừa s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} a \times a \times a \times \dots \times a$

Trong đó:

$a$ : cơ số
$n$ : số mũ ( $n \geq 1$ )
$a^{n}$ : lũy thừa

Quy ước:

$a^{1} = a$
$a^{0} = 1$ (với $a \neq = 0$ )

$4^{2} = 4 \times 4 = 16$ ô vuông

$3^{2} = 3 \times 3 = 9$ ô vuông

Ví dụ 1: Viết dưới dạng lũy thừa

a) $2 \times 2 \times 2 \times 2$

$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{4}$

Đọc là: “hai mũ bốn” hoặc “hai lũy thừa bốn”

b) $5 \times 5 \times 5$

$5 \times 5 \times 5 = 5^{3}$

Đọc là: “năm mũ ba” hoặc “năm lập phương”

Ví dụ 2: Tính giá trị

a) $3^{2} = 3 \times 3 = 9$ (đọc là “ba bình phương”)

b) $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

c) $1 0^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$

d) $1^{100} = 1$ (vì $1$ nhân với chính nó bao nhiêu lần cũng bằng $1$ )

⚡ 2. Tính chất của lũy thừa

Các quy tắc tính toán với lũy thừa:

1. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số:

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

2. Chia hai lũy thừa cùng cơ số:

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n} (a \neq = 0, m \geq n)$

3. Lũy thừa của lũy thừa:

$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$

4. Lũy thừa của một tích:

$(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$

5. Lũy thừa của một thương:

$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}} (b \neq = 0)$

Ví dụ 3: Áp dụng tính chất

a) $2^{3} \times 2^{4}$

$2^{3} \times 2^{4} = 2^{3 + 4} = 2^{7} = 128$

b) $5^{6} : 5^{2}$

$5^{6} : 5^{2} = 5^{6 - 2} = 5^{4} = 625$

c) $(3^{2})^{3}$

$(3^{2})^{3} = 3^{2 \times 3} = 3^{6} = 729$

d) $(2 \times 5)^{3}$

$(2 \times 5)^{3} = 2^{3} \times 5^{3} = 8 \times 125 = 1000$

🔟 3. Lũy thừa của 10

Lũy thừa của 10:

$1 0^{n} = n chữ s \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} 0 100...0$

Ví dụ:

$1 0^{1} = 10$
$1 0^{2} = 100$
$1 0^{3} = 1000$
$1 0^{4} = 10000$
$1 0^{6} = 1000000$ (một triệu)

Ứng dụng: Viết số dưới dạng tổng các lũy thừa của 10

Ví dụ 4:

$3456 = 3 \times 1000 + 4 \times 100 + 5 \times 10 + 6$

$= 3 \times 1 0^{3} + 4 \times 1 0^{2} + 5 \times 1 0^{1} + 6 \times 1 0^{0}$

📊 4. So sánh các lũy thừa

Quy tắc so sánh:

1. Cùng cơ số: Nếu $a > 1$ thì $a^{m} < a^{n}$ khi $m < n$

Ví dụ: $2^{3} < 2^{5}$ vì $3 < 5$

2. Cùng số mũ: Nếu $n > 1$ thì $a^{n} < b^{n}$ khi $a < b$

Ví dụ: $3^{4} < 5^{4}$ vì $3 < 5$

3. Khác cơ số và số mũ: Tính giá trị rồi so sánh

Ví dụ: So sánh $2^{5}$ và $3^{3}$

$2^{5} = 32$
$3^{3} = 27$
Vậy $2^{5} > 3^{3}$

Ví dụ 5: So sánh

a) $2^{10}$ và $2^{15}$

Cùng cơ số $2 > 1$ , mà $10 < 15$

Vậy $2^{10} < 2^{15}$

b) $3^{5}$ và $5^{3}$

Tính giá trị:

$3^{5} = 243$
$5^{3} = 125$

Vậy $3^{5} > 5^{3}$

✏️ Luyện tập

🧮 Thực hành: Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Điểm: 0/0

Tính giá trị của lũy thừa:

5^3 = ?

💡 Ghi nhớ:

• aⁿ = a × a × ... × a (n thừa số); a¹ = a; a⁰ = 1
• Nhân: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; Chia: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
• Lũy thừa của lũy thừa: (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ ; 10ⁿ có n chữ số 0

Câu 1 / 12

Dễ0 đã trả lời

Trong $2^5$ , số $5$ được gọi là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một hình vuông có cạnh $5$ cm.

a) Viết công thức tính diện tích hình vuông dưới dạng lũy thừa.

b) Tính diện tích hình vuông.

Giải:

a) Diện tích hình vuông: $S = a^{2}$ (với $a$ là độ dài cạnh)

Với $a = 5$ cm: $S = 5^{2}$ cm²

b) $S = 5^{2} = 25$ cm²

Đáp số: a) $S = 5^{2}$ cm²; b) $25$ cm²

📝 Bài toán 2: Một vi khuẩn phân chia thành $2$ con sau mỗi giờ.

a) Sau $1$ giờ có bao nhiêu vi khuẩn? (Viết dưới dạng lũy thừa)

b) Sau $5$ giờ có bao nhiêu vi khuẩn?

c) Sau $10$ giờ có bao nhiêu vi khuẩn?

Giải:

a) Sau 1 giờ: $2^{1} = 2$ (con)

b) Sau 5 giờ: $2^{5} = 32$ (con)

c) Sau 10 giờ: $2^{10} = 1024$ (con)

Đáp số: a) $2$ con; b) $32$ con; c) $1024$ con

📝 Bài toán 3: Theo truyền thuyết, trên bàn cờ vua có $64$ ô. Người ta đặt $1$ hạt thóc vào ô thứ nhất, $2$ hạt vào ô thứ hai, $4$ hạt vào ô thứ ba, … cứ mỗi ô sau gấp đôi ô trước.

a) Viết số hạt thóc ở ô thứ nhất, ô thứ hai, ô thứ ba dưới dạng lũy thừa của $2$ .

b) Tính số hạt thóc ở ô thứ $6$ .

c) Tính số hạt thóc ở ô thứ $10$ .

Giải:

a) Ô 1: $2^{0} = 1$ (hạt); Ô 2: $2^{1} = 2$ (hạt); Ô 3: $2^{2} = 4$ (hạt)

b) Ô thứ 6: $2^{5} = 32$ (hạt)

c) Ô thứ 10: $2^{9} = 512$ (hạt)

Đáp số: a) $2^{0}$ , $2^{1}$ , $2^{2}$ ; b) $32$ hạt; c) $512$ hạt

⭐ Ghi nhớ

Lũy thừa: $a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ thừa số)
- $a$ : cơ số, $n$ : số mũ
- $a^{1} = a$ , $a^{0} = 1$ (với $a \neq = 0$ )
Tính chất:
- $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$
- $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ ( $m \geq n$ )
- $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$
- $(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$
Lũy thừa của 10: $1 0^{n}$ có $n$ chữ số $0$

📝 Bài tập tự luận (10 câu từ dễ đến khó)

Bài 1 (Dễ - Nhận biết): Viết dưới dạng lũy thừa:

a) $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$

b) $7 \times 7 \times 7$

c) $10 \times 10 \times 10 \times 10$

d) $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

e) $a \times a \times a$ (với $a$ là số tự nhiên)

Bài 2 (Dễ - Nhận biết): Tính giá trị:

a) $4^{3}$

b) $2^{6}$

c) $1 0^{5}$

d) $3^{4}$

e) $1^{100}$

Bài 3 (Thông hiểu): Áp dụng tính chất nhân, chia lũy thừa cùng cơ số:

a) $2^{4} \times 2^{3}$

b) $5^{7} : 5^{3}$

c) $3^{2} \times 3^{5}$

d) $2^{9} : 2^{4}$

Bài 4 (Thông hiểu): Lũy thừa của lũy thừa và lũy thừa của một tích:

a) $(2^{3})^{2}$

b) $(3^{2})^{3}$

c) $(2 \times 5)^{3}$

d) $(4 \times 25)^{2}$

Bài 5 (Thông hiểu): Viết số sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10:

a) $5678$

b) $2024$

c) $10000$

d) $9876$

Bài 6 (Thông hiểu): So sánh:

a) $2^{8}$ và $2^{10}$

b) $3^{5}$ và $4^{4}$

c) $5^{3}$ và $3^{5}$

d) $1 0^{3}$ và $2^{10}$

Bài 7 (Vận dụng): Tìm $x$ biết:

a) $2^{x} = 32$

b) $x^{2} = 81$

c) $3^{x} \times 3^{2} = 3^{7}$

d) $5^{x} : 5^{2} = 5^{4}$

Bài 8 (Vận dụng thực tế): Một hình lập phương có cạnh $4$ cm.

a) Viết công thức tính thể tích hình lập phương dưới dạng lũy thừa.

b) Tính thể tích hình lập phương.

c) Nếu tăng cạnh lên gấp đôi, thể tích tăng lên bao nhiêu lần?

d) Giải thích vì sao thể tích tăng như vậy.

Bài 9 (Vận dụng thực tế): Trên bàn cờ vua có $64$ ô. Người ta đặt $1$ hạt thóc ở ô thứ nhất, $2$ hạt ở ô thứ hai, $4$ hạt ở ô thứ ba, … cứ mỗi ô sau gấp đôi ô trước.

a) Viết số hạt thóc ở ô thứ nhất, ô thứ hai, ô thứ ba dưới dạng lũy thừa của $2$ .

b) Tính số hạt thóc ở ô thứ $6$ .

c) Tính số hạt thóc ở ô thứ $10$ .

Bài 10 (Vận dụng cao): So sánh $2^{30}$ và $3^{20}$ .

📖 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT 10 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: a) $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^{5}$

b) $7 \times 7 \times 7 = 7^{3}$

c) $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 1 0^{4}$

d) $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{6}$

e) $a \times a \times a = a^{3}$

Bài 2: a) $4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64$

b) $2^{6} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$

c) $1 0^{5} = 100000$

d) $3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

e) $1^{100} = 1$ (vì $1$ nhân với chính nó bao nhiêu lần cũng bằng $1$ )

Bài 3: a) $2^{4} \times 2^{3} = 2^{4 + 3} = 2^{7} = 128$

b) $5^{7} : 5^{3} = 5^{7 - 3} = 5^{4} = 625$

c) $3^{2} \times 3^{5} = 3^{2 + 5} = 3^{7} = 2187$

d) $2^{9} : 2^{4} = 2^{9 - 4} = 2^{5} = 32$

Bài 4: a) $(2^{3})^{2} = 2^{3 \times 2} = 2^{6} = 64$

b) $(3^{2})^{3} = 3^{2 \times 3} = 3^{6} = 729$

c) $(2 \times 5)^{3} = 2^{3} \times 5^{3} = 8 \times 125 = 1000$

d) $(4 \times 25)^{2} = 4^{2} \times 2 5^{2} = 16 \times 625 = 10000$

Bài 5: a) $5678 = 5 \times 1 0^{3} + 6 \times 1 0^{2} + 7 \times 1 0^{1} + 8$

b) $2024 = 2 \times 1 0^{3} + 0 \times 1 0^{2} + 2 \times 1 0^{1} + 4 = 2 \times 1 0^{3} + 2 \times 10 + 4$

c) $10000 = 1 \times 1 0^{4} = 1 0^{4}$

d) $9876 = 9 \times 1 0^{3} + 8 \times 1 0^{2} + 7 \times 1 0^{1} + 6$

Bài 6: a) Cùng cơ số $2 > 1$ , mà $8 < 10$ nên $2^{8} < 2^{10}$

b) $3^{5} = 243$ ; $4^{4} = 256$ ; vì $243 < 256$ nên $3^{5} < 4^{4}$

c) $5^{3} = 125$ ; $3^{5} = 243$ ; vì $125 < 243$ nên $5^{3} < 3^{5}$

d) $1 0^{3} = 1000$ ; $2^{10} = 1024$ ; vì $1000 < 1024$ nên $1 0^{3} < 2^{10}$

Bài 7: a) $2^{x} = 32 = 2^{5}$ nên $x = 5$ (thử lại: $2^{5} = 32$ ✓)

b) $x^{2} = 81 = 9^{2}$ nên $x = 9$ (vì $x$ là số tự nhiên)

c) $3^{x} \times 3^{2} = 3^{x + 2} = 3^{7}$ nên $x + 2 = 7 \Rightarrow x = 5$ (thử lại: $3^{5} \times 3^{2} = 3^{7}$ ✓)

d) $5^{x} : 5^{2} = 5^{x - 2} = 5^{4}$ nên $x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6$ (thử lại: $5^{6} : 5^{2} = 5^{4}$ ✓)

Bài 8: a) Thể tích hình lập phương cạnh $a$ : $V = a^{3}$ . Với $a = 4$ cm: $V = 4^{3}$ cm³

b) $V = 4^{3} = 64$ cm³

c) Khi cạnh tăng gấp đôi, cạnh mới là $2 a = 8$ cm. Thể tích mới: $V^{'} = 8^{3} = 512$ cm³. Ta có $512 : 64 = 8$ , vậy thể tích tăng gấp $8$ lần.

d) Giải thích: $(2 a)^{3} = 2^{3} \times a^{3} = 8 a^{3} = 8 V$ . Vì thể tích tỉ lệ với lập phương của cạnh nên khi cạnh gấp đôi thì thể tích gấp $2^{3} = 8$ lần.

Bài 9: a) Ô 1: $2^{0} = 1$ (hạt); Ô 2: $2^{1} = 2$ (hạt); Ô 3: $2^{2} = 4$ (hạt)

b) Ô thứ 6 có: $2^{5} = 32$ (hạt)

c) Ô thứ 10 có: $2^{9} = 512$ (hạt)

Bài 10: Ta viết hai lũy thừa về cùng số mũ $10$ :

$2^{30} = 2^{3 \times 10} = (2^{3})^{10} = 8^{10}$

$3^{20} = 3^{2 \times 10} = (3^{2})^{10} = 9^{10}$

Vì $8 < 9$ và $10 > 1$ nên $8^{10} < 9^{10}$ .

Vậy $2^{30} < 3^{20}$ .