Lớp 6 · Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 9: Dấu hiệu chia hết

🚀 Khởi động

🔍 Dấu hiệu chia hết — Nhận biết nhanh

Không cần chia, chỉ cần nhìn là biết chia hết!

2️⃣

Chia hết cho 2

Chữ số cuối chẵn

5️⃣

Chia hết cho 5

Tận cùng 0 hoặc 5

3️⃣

Chia hết cho 3

Tổng chữ số ⋮ 3

🔍 Khám phá

📖 1. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

Dấu hiệu chia hết cho 2:

Một số chia hết cho $2$ khi và chỉ khi chữ số tận cùng là số chẵn ( $0, 2, 4, 6, 8$ ).

Ví dụ:

$124 ⋮ 2$ (tận cùng là 4)
$356 ⋮ 2$ (tận cùng là 6)
$1230 ⋮ 2$ (tận cùng là 0)

Dấu hiệu chia hết cho 5:

Một số chia hết cho $5$ khi và chỉ khi chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Ví dụ:

$125 ⋮ 5$ (tận cùng là 5)
$340 ⋮ 5$ (tận cùng là 0)
$2575 ⋮ 5$ (tận cùng là 5)

Ví dụ 1: Kiểm tra chia hết cho 2 và 5

a) $456$ có chia hết cho $2$ không? Cho $5$ không?

Tận cùng là $6$ (chẵn) → $456 ⋮ 2$ ✓
Tận cùng không phải $0$ hoặc $5$ → $456$ không chia hết cho $5$ ✗

b) $1230$ có chia hết cho $2$ không? Cho $5$ không?

Tận cùng là $0$ (chẵn) → $1230 ⋮ 2$ ✓
Tận cùng là $0$ → $1230 ⋮ 5$ ✓

📖 2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

Dấu hiệu chia hết cho 3:

Một số chia hết cho $3$ khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho $3$ .

Ví dụ: $123$

Tổng: $1 + 2 + 3 = 6 ⋮ 3$
Vậy $123 ⋮ 3$

Dấu hiệu chia hết cho 9:

Một số chia hết cho $9$ khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho $9$ .

Ví dụ: $234$

Tổng: $2 + 3 + 4 = 9 ⋮ 9$
Vậy $234 ⋮ 9$

Ví dụ 2: Kiểm tra chia hết cho 3 và 9

a) $456$ có chia hết cho $3$ không? Cho $9$ không?

Tổng các chữ số: $4 + 5 + 6 = 15$

$15 ⋮ 3$ → $456 ⋮ 3$ ✓
$15$ không chia hết cho $9$ → $456$ không chia hết cho $9$ ✗

b) $1827$ có chia hết cho $3$ không? Cho $9$ không?

Tổng các chữ số: $1 + 8 + 2 + 7 = 18$

$18 ⋮ 3$ → $1827 ⋮ 3$ ✓
$18 ⋮ 9$ → $1827 ⋮ 9$ ✓

📊 3. Bảng tổng hợp dấu hiệu chia hết

Chia hết cho	Dấu hiệu	Ví dụ
$2$	Chữ số tận cùng là $0, 2, 4, 6, 8$	$124, 356, 1230$
$5$	Chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$	$125, 340, 2575$
$3$	Tổng các chữ số chia hết cho $3$	$123$ ( $1 + 2 + 3 = 6$ )
$9$	Tổng các chữ số chia hết cho $9$	$234$ ( $2 + 3 + 4 = 9$ )
$10$	Chữ số tận cùng là $0$	$120, 340, 1000$

🔗 4. Kết hợp các dấu hiệu

Dấu hiệu chia hết cho 6:

Một số chia hết cho $6$ khi và chỉ khi nó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3.

Ví dụ: $126$

Tận cùng là $6$ (chẵn) → $126 ⋮ 2$ ✓
Tổng: $1 + 2 + 6 = 9 ⋮ 3$ → $126 ⋮ 3$ ✓
Vậy $126 ⋮ 6$

Dấu hiệu chia hết cho 10:

Một số chia hết cho $10$ khi và chỉ khi chữ số tận cùng là $0$ .

Ví dụ: $340, 1250, 7000$

Ví dụ 3: Kiểm tra chia hết cho 6

a) $234$ có chia hết cho $6$ không?

Tận cùng là $4$ (chẵn) → $234 ⋮ 2$ ✓
Tổng: $2 + 3 + 4 = 9 ⋮ 3$ → $234 ⋮ 3$ ✓
Vậy $234 ⋮ 6$ ✓

b) $125$ có chia hết cho $6$ không?

Tận cùng là $5$ (lẻ) → $125$ không chia hết cho $2$ ✗
Vậy $125$ không chia hết cho $6$ ✗

🔍 5. Tìm chữ số chưa biết

Ví dụ 4: Tìm chữ số $x$

a) Tìm $x$ để $23 x$ chia hết cho $3$

Tổng các chữ số: $2 + 3 + x = 5 + x$

Để $23 x ⋮ 3$ thì $(5 + x) ⋮ 3$

$x \in {1, 4, 7}$ (vì $0 \leq x \leq 9$ )

b) Tìm $x$ để $45 x$ chia hết cho $9$

Tổng các chữ số: $4 + 5 + x = 9 + x$

Để $45 x ⋮ 9$ thì $(9 + x) ⋮ 9$

$x \in {0, 9}$

c) Tìm $x$ để $3 x 4$ chia hết cho cả $2, 3, 5$

Chia hết cho $2$ : tận cùng $4$ (chẵn) → luôn đúng ✓
Chia hết cho $5$ : tận cùng phải là $0$ hoặc $5$ → không thỏa ✗

Vậy không tồn tại $x$ thỏa mãn.

✏️ Luyện tập

🔍 Thực hành: Dấu hiệu chia hết

Điểm: 0/0

Kiểm tra dấu hiệu chia hết:

804 có chia hết cho 2 không? (1=Có, 0=Không)

💡 Tận cùng là 4 ⇒ chia hết cho 2.

💡 Dấu hiệu chia hết:

• Chia hết 2: Tận cùng 0,2,4,6,8
• Chia hết 5: Tận cùng 0,5
• Chia hết 3: Tổng chữ số ⋮ 3
• Chia hết 9: Tổng chữ số ⋮ 9
• Chia hết 6: Cả ⋮ 2 và ⋮ 3
• Chia hết 10: Tận cùng 0

Câu 1 / 12

Dễ0 đã trả lời

Số nào chia hết cho $2$ ?

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một cửa hàng có $234$ quyển vở. Người bán muốn xếp đều vào các hộp.

a) Có thể xếp đều vào các hộp $2$ quyển không?

b) Có thể xếp đều vào các hộp $3$ quyển không?

c) Có thể xếp đều vào các hộp $5$ quyển không?

Giải:

a) $234$ tận cùng là $4$ (chẵn) → $234 ⋮ 2$ . Có thể xếp đều.

b) Tổng: $2 + 3 + 4 = 9 ⋮ 3$ → $234 ⋮ 3$ . Có thể xếp đều.

c) $234$ tận cùng là $4$ (không phải $0$ hoặc $5$ ) → $234$ không chia hết cho $5$ . Không thể xếp đều.

📝 Bài toán 2: Một số điện thoại có dạng $567 x$ (với $x$ là chữ số cuối).

a) Tìm $x$ để số điện thoại chia hết cho $3$ .

b) Tìm $x$ để số điện thoại chia hết cho $9$ .

Giải:

a) Tổng: $5 + 6 + 7 + x = 18 + x$

Để chia hết cho $3$ : $(18 + x) ⋮ 3$

Vì $18 ⋮ 3$ nên $x \in {0, 3, 6, 9}$

b) Để chia hết cho $9$ : $(18 + x) ⋮ 9$

Vì $18 ⋮ 9$ nên $x \in {0, 9}$

📝 Bài toán 3: Một đơn vị bộ đội có $1 x 8$ chiến sĩ (với $x$ là chữ số ở hàng chục). Đơn vị muốn xếp đều thành các hàng, mỗi hàng $3$ người.

a) Tìm các giá trị của $x$ để số chiến sĩ chia hết cho $3$ .

b) Nếu mỗi hàng $9$ người thì tìm các giá trị của $x$ để số chiến sĩ chia hết cho $9$ .

c) Với giá trị $x$ tìm được ở câu b, số chiến sĩ có chia hết cho $6$ không?

Giải:

a) Số $1 x 8$ có tổng các chữ số: $1 + x + 8 = 9 + x$ .

Để $1 x 8 ⋮ 3$ thì $(9 + x) ⋮ 3$ . Vì $9 ⋮ 3$ nên $x \in {0, 3, 6, 9}$ .

b) Để $1 x 8 ⋮ 9$ thì $(9 + x) ⋮ 9$ . Vì $9 ⋮ 9$ nên $x \in {0, 9}$ .

c) Với $x = 0$ : số $108$ . $108$ tận cùng $8$ (chẵn) ⇒ chia hết cho $2$ ; $108 ⋮ 3$ ⇒ $108 ⋮ 6$ . Có.

Với $x = 9$ : số $198$ . $198$ tận cùng $8$ (chẵn) ⇒ chia hết cho $2$ ; $198 ⋮ 9$ nên $⋮ 3$ ⇒ $198 ⋮ 6$ . Có.

⭐ Ghi nhớ

Chia hết cho 2: Tận cùng $0, 2, 4, 6, 8$
Chia hết cho 5: Tận cùng $0$ hoặc $5$
Chia hết cho 3: Tổng các chữ số $⋮ 3$
Chia hết cho 9: Tổng các chữ số $⋮ 9$
Chia hết cho 6: Vừa $⋮ 2$ , vừa $⋮ 3$
Chia hết cho 10: Tận cùng $0$

📝 Bài tập tự luận (10 câu từ dễ đến khó)

Bài 1 (Dễ - Nhận biết): Kiểm tra các số sau chia hết cho $2, 3, 5, 9$ (kết quả dạng “chia hết cho …”, “không chia hết cho …”):

a) $120$

b) $135$

c) $234$

d) $450$

Bài 2 (Dễ - Nhận biết): Điền Đúng (Đ) hoặc Sai (S) vào ô trống:

a) $2013 ⋮ 3$

b) $2500 ⋮ 5$

c) $9999 ⋮ 9$

d) $2222 ⋮ 2$

Bài 3 (Dễ - Nhận biết): Viết số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số:

a) chia hết cho $2$

b) chia hết cho $5$

c) chia hết cho $9$

d) chia hết cho cả $2, 3, 5$

Bài 4 (Thông hiểu): Tìm chữ số $x$ :

a) $12 x$ chia hết cho $3$

b) $34 x$ chia hết cho $5$

c) $56 x$ chia hết cho $9$

d) $78 x$ chia hết cho cả $2$ và $3$

Bài 5 (Thông hiểu): Trong các số $126, 135, 234, 345$ , số nào chia hết cho $6$ ? Giải thích vì sao.

Bài 6 (Thông hiểu): Tìm tất cả các chữ số $x$ để:

a) $2 x 3$ chia hết cho $3$

b) $4 x 5$ chia hết cho $9$

c) $6 x 8$ chia hết cho $3$

d) $7 x 0$ chia hết cho $9$

Bài 7 (Vận dụng): Dùng ba chữ số $4, 5, 0$ (mỗi chữ số đúng một lần) ghép thành các số có ba chữ số:

a) chia hết cho $2$

b) chia hết cho $5$

c) chia hết cho cả $2$ và $5$

d) chia hết cho $3$

Bài 8 (Vận dụng thực tế): Một kho có số gạo khoảng từ $80$ kg đến $100$ kg. Người ta đóng gạo vào các túi $2$ kg, $5$ kg hay $9$ kg đều vừa đủ. Hỏi số gạo chính xác là bao nhiêu kg?

Bài 9 (Vận dụng): Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số chia hết cho $3$ và $5$ nhưng không chia hết cho $2$ .

Bài 10 (Vận dụng cao): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số chia hết cho cả $2, 3, 5$ và $9$ .

📖 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT 10 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: a) $120$ : tận cùng $0$ ⇒ chia hết cho $2, 5$ ; tổng $1 + 2 + 0 = 3 ⋮ 3$ nhưng $3$ không chia hết cho $9$ . Vậy $120 ⋮ 2, 3, 5$ (không chia hết cho $9$ ).

b) $135$ : tận cùng $5$ ⇒ chia hết cho $5$ ; tổng $1 + 3 + 5 = 9 ⋮ 3, 9$ . Vậy $135 ⋮ 3, 5, 9$ (không chia hết cho $2$ ).

c) $234$ : tận cùng $4$ ⇒ chia hết cho $2$ ; tổng $2 + 3 + 4 = 9 ⋮ 3$ . Vậy $234 ⋮ 2, 3$ (không chia hết cho $5, 9$ ).

d) $450$ : tận cùng $0$ ⇒ chia hết cho $2, 5$ ; tổng $4 + 5 + 0 = 9 ⋮ 3, 9$ . Vậy $450 ⋮ 2, 3, 5, 9$ .

Bài 2: a) $2 + 0 + 1 + 3 = 6 ⋮ 3$ ⇒ Đ.

b) $2500$ tận cùng $0$ ⇒ Đ.

c) $9 + 9 + 9 + 9 = 36 ⋮ 9$ ⇒ Đ.

d) $2222$ tận cùng $2$ (chẵn) ⇒ Đ.

Bài 3: a) Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho $2$ là $100$ .

b) Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho $5$ là $100$ .

c) Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho $9$ : $108$ (vì $1 + 0 + 8 = 9$ ).

d) Chia hết cho cả $2, 3, 5$ ⇒ tận cùng $0$ và tổng chữ số chia hết cho $3$ . Số nhỏ nhất: $120$ .

Bài 4: a) $1 + 2 + x = 3 + x$ chia hết cho $3$ ⇒ $x \in {0, 3, 6, 9}$ .

b) $34 x$ chia hết cho $5$ ⇒ tận cùng $0$ hoặc $5$ ⇒ $x \in {0, 5}$ .

c) $5 + 6 + x = 11 + x$ chia hết cho $9$ ⇒ $x = 7$ .

d) Chia hết cho $2$ ⇒ $x \in {0, 2, 4, 6, 8}$ ; chia hết cho $3$ ⇒ $7 + 8 + x = 15 + x$ chia hết cho $3$ ⇒ $x \in {0, 3, 6, 9}$ . Giao lại: $x \in {0, 6}$ .

Bài 5: Số chia hết cho $6$ phải chia hết cho cả $2$ và $3$ .

$126$ : tận cùng $6$ (chẵn) ✓; $1 + 2 + 6 = 9 ⋮ 3$ ✓ ⇒ chia hết cho $6$ .
$135$ : tận cùng $5$ (lẻ) ⇒ không chia hết cho $2$ ⇒ không.
$234$ : tận cùng $4$ (chẵn) ✓; $2 + 3 + 4 = 9 ⋮ 3$ ✓ ⇒ chia hết cho $6$ .
$345$ : tận cùng $5$ (lẻ) ⇒ không.

Vậy $126$ và $234$ chia hết cho $6$ .

Bài 6: a) $2 x 3$ : $2 + x + 3 = 5 + x ⋮ 3$ ⇒ $x \in {1, 4, 7}$ .

b) $4 x 5$ : $4 + x + 5 = 9 + x ⋮ 9$ ⇒ $x \in {0, 9}$ .

c) $6 x 8$ : $6 + x + 8 = 14 + x ⋮ 3$ ⇒ $x \in {1, 4, 7}$ .

d) $7 x 0$ : $7 + x + 0 = 7 + x ⋮ 9$ ⇒ $x = 2$ .

Bài 7: Các số ghép được từ $4, 5, 0$ : $405, 450, 504, 540$ .

a) Chia hết cho $2$ (tận cùng chẵn): $450, 504, 540$ .

b) Chia hết cho $5$ (tận cùng $0$ hoặc $5$ ): $405, 450, 540$ .

c) Chia hết cho cả $2$ và $5$ (tận cùng $0$ ): $450, 540$ .

d) Chia hết cho $3$ (tổng $4 + 5 + 0 = 9 ⋮ 3$ ): tất cả bốn số đều chia hết cho $3$ .

Bài 8: Số gạo chia hết cho $2, 5, 9$ ⇒ chia hết cho cả $2 \times 5 \times 9 = 90$ (vì $2, 5, 9$ đôi một nguyên tố cùng nhau).

Bội của $90$ trong khoảng từ $80$ đến $100$ : chỉ có $90$ .

Đáp số: $90$ kg gạo.

Bài 9: Chia hết cho $5$ mà không chia hết cho $2$ ⇒ tận cùng phải là $5$ .

Xét các số có ba chữ số tận cùng $5$ từ lớn xuống nhỏ: $995, 985, 975, ...$

$995$ : tổng $9 + 9 + 5 = 23$ , không chia hết cho $3$ .
$985$ : tổng $9 + 8 + 5 = 22$ , không chia hết cho $3$ .
$975$ : tổng $9 + 7 + 5 = 21 ⋮ 3$ ✓.

Đáp số: $975$ .

Bài 10: Chia hết cho $2$ và $5$ ⇒ tận cùng $0$ .

Chia hết cho $9$ ⇒ tổng các chữ số chia hết cho $9$ .

Xét các số có bốn chữ số tận cùng $0$ từ nhỏ đến lớn: $1000, 1010, 1020, ...$

$1000$ : tổng $1$ .
$1010$ : tổng $2$ .
…
$1080$ : tổng $1 + 0 + 8 + 0 = 9 ⋮ 9$ ✓.

Đáp số: $1080$ (thỏa mãn: $1080 ⋮ 2, 3, 5, 9$ ).