Lớp 6 · Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 8: Quan hệ chia hết và tính chất

🚀 Khởi động

➗ Quan hệ chia hết — Nền tảng số học

Chia hết là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong toán học!

✓

Chia hết

Không có số dư

⚡

Tính chất

Quy tắc tính toán

🎯

Ứng dụng

Giải toán thực tế

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa quan hệ chia hết

Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ với $b \neq = 0$ . Ta nói $a$ chia hết cho $b$ nếu tồn tại số tự nhiên $q$ sao cho $a = b \times q$ .

Ký hiệu: $a ⋮ b$ (đọc là ” $a$ chia hết cho $b$ ”)

Các tên gọi:

$a$ chia hết cho $b$
$b$ là ước của $a$
$a$ là bội của $b$

Ví dụ:

$15 ⋮ 3$ vì $15 = 3 \times 5$
$20 ⋮ 4$ vì $20 = 4 \times 5$
$12 ⋮ 6$ vì $12 = 6 \times 2$

Ví dụ 1: Kiểm tra quan hệ chia hết

a) $24$ có chia hết cho $6$ không?

$24 = 6 \times 4$

Vậy $24 ⋮ 6$ (24 chia hết cho 6)

b) $17$ có chia hết cho $5$ không?

$17 = 5 \times 3 + 2$ (còn dư 2)

Vậy $17$ không chia hết cho $5$

⚡ 2. Tính chất cơ bản

Tính chất 1: Số $0$ chia hết cho mọi số tự nhiên khác $0$

$0 ⋮ a (a \neq = 0)$

Tính chất 2: Mọi số tự nhiên đều chia hết cho $1$

$a ⋮ 1$

Tính chất 3: Mọi số tự nhiên khác $0$ đều chia hết cho chính nó

$a ⋮ a (a \neq = 0)$

Tính chất 4 (Bắc cầu): Nếu $a ⋮ b$ và $b ⋮ c$ thì $a ⋮ c$

Ví dụ: $24 ⋮ 6$ và $6 ⋮ 3$ nên $24 ⋮ 3$

Ví dụ 2: Áp dụng tính chất

a) $0 ⋮ 7$ đúng hay sai?

Đúng, vì $0 = 7 \times 0$

b) Biết $36 ⋮ 12$ và $12 ⋮ 4$ . Hỏi $36$ có chia hết cho $4$ không?

Theo tính chất bắc cầu: $36 ⋮ 4$

Thật vậy: $36 = 4 \times 9$

➕ 3. Tính chất về tổng và hiệu

Tính chất 5: Nếu $a ⋮ m$ và $b ⋮ m$ thì:

$(a + b) ⋮ m$
$(a - b) ⋮ m$ (với $a \geq b$ )

Ví dụ:

$12 ⋮ 3$ và $9 ⋮ 3$ nên $(12 + 9) = 21 ⋮ 3$
$15 ⋮ 5$ và $10 ⋮ 5$ nên $(15 - 10) = 5 ⋮ 5$

Tính chất 6: Nếu $a ⋮ m$ và $b$ không chia hết cho $m$ thì:

$(a + b)$ không chia hết cho $m$
$(a - b)$ không chia hết cho $m$

Ví dụ 3: Áp dụng tính chất tổng và hiệu

a) Biết $18 ⋮ 6$ và $24 ⋮ 6$ . Tính $18 + 24$ có chia hết cho $6$ không?

Theo tính chất 5: $(18 + 24) ⋮ 6$

Thật vậy: $18 + 24 = 42 = 6 \times 7$

b) Biết $30 ⋮ 5$ và $12 ⋮ 4$ (12 không chia hết cho 5). Hỏi $30 + 12$ có chia hết cho $5$ không?

Theo tính chất 6: $(30 + 12)$ không chia hết cho $5$

Thật vậy: $30 + 12 = 42 = 5 \times 8 + 2$ (dư 2)

✖️ 4. Tính chất về tích

Tính chất 7: Nếu $a ⋮ m$ thì $(a \times k) ⋮ m$ với mọi số tự nhiên $k$

Ví dụ: $12 ⋮ 3$ nên $12 \times 5 = 60 ⋮ 3$

Tính chất 8: Nếu $a ⋮ m$ và $a ⋮ n$ với $m, n$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $a ⋮ (m \times n)$

Ví dụ: $30 ⋮ 2$ và $30 ⋮ 3$ nên $30 ⋮ 6$ (vì $6 = 2 \times 3$ )

Ví dụ 4: Áp dụng tính chất tích

a) Biết $15 ⋮ 5$ . Hỏi $15 \times 7$ có chia hết cho $5$ không?

Theo tính chất 7: $(15 \times 7) ⋮ 5$

Thật vậy: $15 \times 7 = 105 = 5 \times 21$

b) Biết $24 ⋮ 2$ và $24 ⋮ 3$ . Hỏi $24$ có chia hết cho $6$ không?

Vì $2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau, theo tính chất 8: $24 ⋮ 6$

Thật vậy: $24 = 6 \times 4$

📊 5. Phép chia có dư

Định lý chia có dư: Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ với $b \neq = 0$ . Luôn tồn tại duy nhất hai số tự nhiên $q$ (thương) và $r$ (số dư) sao cho:

$a = b \times q + r với 0 \leq r < b$

Chú ý:

Nếu $r = 0$ thì $a ⋮ b$
Nếu $r \neq = 0$ thì $a$ không chia hết cho $b$

Ví dụ 5: Phép chia có dư

a) $23 = 5 \times 4 + 3$

Số bị chia: $a = 23$
Số chia: $b = 5$
Thương: $q = 4$
Số dư: $r = 3$

b) $50 = 7 \times 7 + 1$

Số bị chia: $a = 50$
Số chia: $b = 7$
Thương: $q = 7$
Số dư: $r = 1$

✏️ Luyện tập

➗ Thực hành: Quan hệ chia hết

Điểm: 0/0

Kiểm tra quan hệ chia hết:

55 có chia hết cho 9 không? (1=Có, 0=Không)

💡 55 = 9 × 6 + 1 (dư 1) nên không chia hết.

💡 Ghi nhớ:

• a ⋮ b nếu a = b × q (q tự nhiên)
• Bắc cầu: a ⋮ b, b ⋮ c ⇒ a ⋮ c
• Tổng/hiệu: a ⋮ m, b ⋮ m ⇒ a ± b ⋮ m
• Tích: a ⋮ m ⇒ a × k ⋮ m
• Chia có dư: a = b × q + r (0 ≤ r < b)

Câu 1 / 12

Dễ0 đã trả lời

Số nào chia hết cho $5$ ?

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một lớp học có $36$ học sinh. Cô giáo muốn chia đều thành các nhóm.

a) Có thể chia thành $6$ nhóm được không?

b) Có thể chia thành $5$ nhóm được không?

c) Có thể chia thành bao nhiêu nhóm? (Liệt kê các cách chia)

Giải:

a) $36 = 6 \times 6$ , vậy $36 ⋮ 6$ . Có thể chia thành 6 nhóm, mỗi nhóm 6 học sinh.

b) $36 = 5 \times 7 + 1$ (dư 1), vậy $36$ không chia hết cho $5$ . Không thể chia đều thành 5 nhóm.

c) Các cách chia: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 nhóm (các ước của 36)

📝 Bài toán 2: Một cửa hàng có $48$ quyển vở và $60$ cây bút. Người bán muốn chia đều vào các túi quà, mỗi túi có số vở và số bút như nhau.

a) Có thể chia thành $6$ túi được không?

b) Có thể chia thành $8$ túi được không?

Giải:

a) Kiểm tra:

$48 = 6 \times 8$ (48 chia hết cho 6)
$60 = 6 \times 10$ (60 chia hết cho 6)

Có thể chia thành 6 túi: mỗi túi 8 vở và 10 bút.

b) Kiểm tra:

$48 = 8 \times 6$ (48 chia hết cho 8)
$60 = 8 \times 7 + 4$ (60 không chia hết cho 8)

Không thể chia đều thành 8 túi.

📝 Bài toán 3: Nhà trường mua $96$ quyển vở và $72$ cây bút để làm phần thưởng. Cô tổng phụ trách muốn chia đều thành các phần thưởng, mỗi phần có cả vở và bút như nhau.

a) Có thể chia thành $8$ phần thưởng được không?

b) Có thể chia thành $9$ phần thưởng được không?

c) Từ kết quả trên, em hãy cho biết: nếu $96 ⋮ 8$ và $72 ⋮ 8$ thì tổng $(96 + 72)$ có chia hết cho $8$ không?

Giải:

a) Kiểm tra:

$96 = 8 \times 12$ (96 chia hết cho 8)
$72 = 8 \times 9$ (72 chia hết cho 8)

Có thể chia thành 8 phần thưởng: mỗi phần 12 vở và 9 bút.

b) Kiểm tra:

$96 = 9 \times 10 + 6$ (96 không chia hết cho 9)

Vì 96 không chia hết cho 9 nên không thể chia đều thành 9 phần thưởng.

c) Vì $96 ⋮ 8$ và $72 ⋮ 8$ nên theo tính chất về tổng: $(96 + 72) ⋮ 8$ .

Thật vậy: $96 + 72 = 168 = 8 \times 21$ .

⭐ Ghi nhớ

Định nghĩa: $a ⋮ b$ nếu $a = b \times q$
Tính chất cơ bản:
- $0 ⋮ a$ (với $a \neq = 0$ )
- $a ⋮ 1$ và $a ⋮ a$
- Bắc cầu: $a ⋮ b$ và $b ⋮ c$ thì $a ⋮ c$
Tổng, hiệu: $a ⋮ m$ và $b ⋮ m$ thì $(a \pm b) ⋮ m$
Tích: $a ⋮ m$ thì $(a \times k) ⋮ m$
Chia có dư: $a = b \times q + r$ với $0 \leq r < b$

📝 Bài tập tự luận (10 câu từ dễ đến khó)

Bài 1 (Dễ - Nhận biết): Kiểm tra các số sau có chia hết cho số đã cho không:

a) $45$ cho $9$

b) $37$ cho $6$

c) $72$ cho $8$

d) $100$ cho $7$

Bài 2 (Dễ - Nhận biết): Liệt kê:

a) Các số chia hết cho $5$ từ $10$ đến $30$ .

b) Các ước của $12$ .

c) Các bội của $4$ không vượt quá $20$ .

Bài 3 (Dễ - Nhận biết): Viết số:

a) Số tự nhiên nhỏ nhất khác $0$ chia hết cho $7$ .

b) Số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số chia hết cho $9$ .

c) Số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số chia hết cho $2$ và $5$ .

Bài 4 (Thông hiểu): Áp dụng tính chất bắc cầu:

a) Biết $48 ⋮ 12$ và $12 ⋮ 4$ . Hỏi $48$ có chia hết cho $4$ không?

b) Biết $60 ⋮ 15$ và $15 ⋮ 5$ . Hỏi $60$ có chia hết cho $5$ không?

c) Biết $90 ⋮ 18$ và $18 ⋮ 6$ . Hỏi $90$ có chia hết cho $6$ không?

d) Biết $120 ⋮ 24$ và $24 ⋮ 8$ . Hỏi $120$ có chia hết cho $8$ không?

Bài 5 (Thông hiểu): Áp dụng tính chất tổng và hiệu:

a) Biết $18 ⋮ 6$ và $24 ⋮ 6$ . Hỏi $18 + 24$ có chia hết cho $6$ không?

b) Biết $30 ⋮ 5$ và $20 ⋮ 5$ . Hỏi $30 - 20$ có chia hết cho $5$ không?

c) Biết $21 ⋮ 7$ và $35 ⋮ 7$ . Hỏi $21 + 35$ có chia hết cho $7$ không?

d) Biết $40 ⋮ 8$ và $16 ⋮ 8$ . Hỏi $40 - 16$ có chia hết cho $8$ không?

Bài 6 (Thông hiểu): Thực hiện phép chia có dư, chỉ rõ thương và số dư:

a) $47 : 6$

b) $83 : 9$

c) $100 : 13$

d) $125 : 11$

Bài 7 (Vận dụng): Tìm $x$ :

a) $x ⋮ 5$ và $x < 25$ (liệt kê tất cả giá trị)

b) $x ⋮ 7$ và $10 < x < 30$

c) $x$ là ước của $18$ và $x > 4$

Bài 8 (Vận dụng thực tế): Một vườn cam có $72$ cây được trồng thành các hàng đều nhau, mỗi hàng có số cây bằng nhau.

a) Có thể trồng thành $8$ hàng được không? Nếu được, mỗi hàng có bao nhiêu cây?

b) Có thể trồng thành $9$ hàng được không?

c) Liệt kê tất cả các cách trồng có thể (số hàng là ước của $72$ ).

Bài 9 (Vận dụng thực tế): Một cửa hàng có thùng gạo thứ nhất $56$ kg và thùng gạo thứ hai $48$ kg. Người bán muốn đóng đều thành các túi, mỗi túi $8$ kg.

a) Thùng thứ nhất đóng được bao nhiêu túi?

b) Thùng thứ hai đóng được bao nhiêu túi?

c) Nếu đóng chung cả hai thùng, tổng số túi là bao nhiêu? Chứng tỏ tổng $(56 + 48)$ chia hết cho $8$ .

Bài 10 (Vận dụng cao): Tìm số tự nhiên $x$ lớn nhất có hai chữ số sao cho $x \times 5$ chia hết cho $8$ .

📖 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT 10 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: a) $45 = 9 \times 5$ ⇒ $45 ⋮ 9$ . Có.

b) $37 = 6 \times 6 + 1$ (dư 1) ⇒ $37$ không chia hết cho $6$ . Không.

c) $72 = 8 \times 9$ ⇒ $72 ⋮ 8$ . Có.

d) $100 = 7 \times 14 + 2$ (dư 2) ⇒ $100$ không chia hết cho $7$ . Không.

Bài 2: a) Các số từ $10$ đến $30$ chia hết cho $5$ : $10, 15, 20, 25, 30$ .

b) Ước của $12$ : $1, 2, 3, 4, 6, 12$ (các số chia hết cho $12$ ).

c) Bội của $4$ không vượt quá $20$ : $0, 4, 8, 12, 16, 20$ .

Bài 3: a) Số nhỏ nhất khác $0$ chia hết cho $7$ là $7$ .

b) Các bội của $9$ có hai chữ số: $18, 27, ..., 99$ . Lớn nhất là $99$ .

c) Số chia hết cho $2$ và $5$ phải tận cùng bằng $0$ . Số lớn nhất có ba chữ số tận cùng $0$ là $990$ .

Bài 4: a) Theo bắc cầu: $48 ⋮ 12$ và $12 ⋮ 4$ ⇒ $48 ⋮ 4$ . Có ( $48 = 4 \times 12$ ).

b) Có ( $60 = 5 \times 12$ ).

c) Có ( $90 = 6 \times 15$ ).

d) Có ( $120 = 8 \times 15$ ).

Bài 5: a) $18 ⋮ 6$ , $24 ⋮ 6$ ⇒ $(18 + 24) ⋮ 6$ . Có. Thật vậy $18 + 24 = 42 = 6 \times 7$ .

b) $30 ⋮ 5$ , $20 ⋮ 5$ ⇒ $(30 - 20) ⋮ 5$ . Có. Thật vậy $30 - 20 = 10 = 5 \times 2$ .

c) Có. $21 + 35 = 56 = 7 \times 8$ .

d) Có. $40 - 16 = 24 = 8 \times 3$ .

Bài 6: a) $47 = 6 \times 7 + 5$ ⇒ thương $7$ , dư $5$ .

b) $83 = 9 \times 9 + 2$ ⇒ thương $9$ , dư $2$ .

c) $100 = 13 \times 7 + 9$ ⇒ thương $7$ , dư $9$ .

d) $125 = 11 \times 11 + 4$ ⇒ thương $11$ , dư $4$ .

Bài 7: a) $x ⋮ 5$ , $x < 25$ ⇒ $x \in {0, 5, 10, 15, 20}$ .

b) $x ⋮ 7$ , $10 < x < 30$ ⇒ $x \in {14, 21, 28}$ .

c) Ước của $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Điều kiện $x > 4$ ⇒ $x \in {6, 9, 18}$ .

Bài 8: a) $72 = 8 \times 9$ ⇒ trồng được $8$ hàng, mỗi hàng $9$ cây.

b) $72 = 9 \times 8$ ⇒ trồng được $9$ hàng, mỗi hàng $8$ cây.

c) Ước của $72$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72$ . Vậy có thể trồng thành $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36$ hoặc $72$ hàng.

Bài 9: a) Thùng thứ nhất: $56 : 8 = 7$ (túi).

b) Thùng thứ hai: $48 : 8 = 6$ (túi).

c) Tổng số túi: $7 + 6 = 13$ (túi).

Chứng tỏ: $56 = 8 \times 7$ , $48 = 8 \times 6$ nên $56 + 48 = 8 \times (7 + 6) = 8 \times 13 = 104$ . Vậy $(56 + 48) ⋮ 8$ .

Bài 10: Ta cần $8 ⋮ (x \times 5)$ , tức $x \times 5$ chia hết cho $8$ .

Vì $5$ không chia hết cho $8$ và $8$ là tích của các thừa số $2 \times 2 \times 2$ (không chứa thừa số $5$ ), nên để $x \times 5 ⋮ 8$ thì $x ⋮ 8$ .

Các số chia hết cho $8$ có hai chữ số: $16, 24, 32, ..., 96$ . Số lớn nhất là $96$ .

Thử lại: $96 \times 5 = 480 = 8 \times 60$ ✓.

Đáp số: $x = 96$ .