Bài 35: Trung điểm của đoạn thẳng
🔷 Trung điểm — Điểm chia đôi đoạn thẳng
Trung điểm là điểm đặc biệt nằm giữa hai đầu mút của một đoạn thẳng, chia nó thành hai phần bằng nhau!
Điểm chia đôi
Hai phần bằng nhau
📖 1. Định nghĩa trung điểm
Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm M nằm giữa A và B sao cho AM = MB.
Ký hiệu: M là trung điểm của AB
Tính chất: Trung điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
Biểu diễn trung điểm:
📖 2. Công thức tính toán
Nếu M là trung điểm của AB, thì:
Ví dụ 1:
Cho AB = 10 cm, M là trung điểm của AB. Tính AM và MB.
Giải:
- AM = AB/2 = 10/2 = 5 cm
- MB = AB/2 = 10/2 = 5 cm
Ví dụ 2:
Cho AB = 20 cm, M là trung điểm của AB. Tính AM.
Giải: AM = AB/2 = 20/2 = 10 cm
📖 3. Cách xác định trung điểm
Cách 1: Dùng thước đo
- Đo độ dài AB
- Tính AB/2
- Từ A, đo một khoảng bằng AB/2, đánh dấu điểm M
Cách 2: Dùng compa
- Mở compa bằng độ dài AB
- Đặt compa sao cho hai chân trùng với A và B
- Vẽ hai cung tròn, một từ A, một từ B
- Hai cung tròn cắt nhau tại hai điểm, nối chúng lại được đường trung trực
- Giao điểm của đường trung trực với AB là trung điểm M
Ví dụ:
📖 4. Tính chất của trung điểm
Tính chất 1: Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một trung điểm.
Tính chất 2: Trung điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.
Tính chất 3: Nếu M là trung điểm của AB, thì AM = MB = AB/2.
📖 5. Ví dụ tính toán
Ví dụ 1: Cho AB = 14 cm, M là trung điểm của AB. Tính AM và MB.
Giải:
- AM = AB/2 = 14/2 = 7 cm
- MB = AB/2 = 14/2 = 7 cm
Ví dụ 2: Cho AB = 18 cm, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AM. Tính AN.
Giải:
- AM = AB/2 = 18/2 = 9 cm
- AN = AM/2 = 9/2 = 4,5 cm
Ví dụ 3: Cho AB = 24 cm, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của MB. Tính MN.
Giải:
- MB = AB/2 = 24/2 = 12 cm
- MN = MB/2 = 12/2 = 6 cm
Luyện tập
📍 Trung điểm — Luyện tập tương tác
Trung điểm của đoạn thẳng AB là gì?
🌍 Vận dụng thực tế
📝 Bài toán 1: Một sợi dây dài 40 cm. Người ta muốn tìm trung điểm của sợi dây để gắn một cái móc.
a) Trung điểm cách mỗi đầu dây bao nhiêu cm?
b) Nếu gắn móc tại trung điểm, móc đó chia sợi dây thành mấy phần?
c) Nếu gắn móc tại điểm cách một đầu 15 cm, điểm đó có phải trung điểm không?
Giải:
a) Trung điểm cách mỗi đầu: 40/2 = 20 cm
b) Móc chia sợi dây thành 2 phần bằng nhau
c) Không, vì 15 ≠ 20
📝 Bài toán 2: Trên một con đường thẳng, có hai thành phố A và B cách nhau 60 km. Người ta muốn xây một trạm dừng tại trung điểm của AB.
a) Trạm dừng cách mỗi thành phố bao nhiêu km?
b) Nếu xây trạm dừng tại điểm cách A 25 km, điểm đó có phải trung điểm không?
c) Nếu xây hai trạm dừng tại trung điểm của AM và MB (M là trung điểm của AB), hai trạm dừng cách nhau bao nhiêu km?
Giải:
a) Trạm dừng cách mỗi thành phố: 60/2 = 30 km
b) Không, vì 25 ≠ 30
c) Hai trạm dừng cách nhau: 30/2 + 30/2 = 15 + 15 = 30 km
📝 Bài toán 3: Một học sinh đo đoạn thẳng AB và tìm trung điểm M. Học sinh đó muốn tìm thêm trung điểm N của đoạn AM.
a) Nếu AB = 24 cm, tính AM và AN.
b) So sánh AN và AB.
c) Nếu tiếp tục lấy trung điểm của AN, ta được đoạn thẳng nào?
Giải:
a) AM = AB/2 = 24/2 = 12 cm. AN = AM/2 = 12/2 = 6 cm.
b) AN = 6 cm, AB = 24 cm, nên AN = AB/4 (AN bằng 1/4 AB).
c) Nếu lấy trung điểm của AN, ta được đoạn thẳng có độ dài 6/2 = 3 cm.
- Trung điểm của AB là điểm M nằm giữa A và B sao cho AM = MB
- Công thức: AM = MB = AB/2
- Tính chất: Trung điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau
- Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một trung điểm
- Cách xác định: Dùng thước đo hoặc compa
📝 Bài tập tự luận
Câu 1 (Easy): Cho AB = 12 cm, M là trung điểm của AB. Tính AM.
Câu 2 (Easy): Cho đoạn thẳng CD = 18 cm. Điểm N là trung điểm của CD. Tính CN.
Câu 3 (Easy): Nếu AM = MB = 7 cm, tính AB.
Câu 4 (Easy): Cho EF = 26 cm. Điểm P là trung điểm của EF. Tính EP + PF.
Câu 5 (Medium): Cho AB = 20 cm, M là trung điểm của AB. Lấy điểm N sao cho AN = 6 cm. Tính MN.
Câu 6 (Medium): Cho đoạn thẳng XY = 32 cm. Điểm M là trung điểm của XY. Điểm N là trung điểm của MY. Tính MN.
Câu 7 (Medium): Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự A, B, C. Biết AB = 10 cm, BC = 8 cm. Lấy M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC. Tính MN.
Câu 8 (Hard): Cho đoạn thẳng PQ = 40 cm. Điểm M là trung điểm của PQ. Điểm N là trung điểm của PM. Tính QN.
Câu 9 (Hard): Cho đoạn thẳng AB = 36 cm. Điểm M là trung điểm của AB. Điểm N là trung điểm của AM. Điểm P là trung điểm của AN. Tính AP.
Câu 10 (Hard): Trên đường thẳng có hai điểm A và B cách nhau 50 cm. Điểm M là trung điểm của AB. Điểm N nằm giữa M và B sao cho MN = 5 cm. Tính AN.
📖 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT 10 BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1: AM = AB/2 = 12/2 = 6 cm
Câu 2: CN = CD/2 = 18/2 = 9 cm
Câu 3: AB = AM + MB = 7 + 7 = 14 cm
Câu 4: EP = PF = EF/2 = 26/2 = 13 cm. EP + PF = 13 + 13 = 26 cm
Câu 5: AM = AB/2 = 20/2 = 10 cm. MN = AM - AN = 10 - 6 = 4 cm
Câu 6: MY = XY/2 = 32/2 = 16 cm. MN = MY/2 = 16/2 = 8 cm
Câu 7: MB = AB/2 = 10/2 = 5 cm. BN = BC/2 = 8/2 = 4 cm. MN = MB + BN = 5 + 4 = 9 cm
Câu 8: PM = PQ/2 = 40/2 = 20 cm. PN = PM/2 = 20/2 = 10 cm. QN = PQ - PN = 40 - 10 = 30 cm
Câu 9: AM = AB/2 = 36/2 = 18 cm. AN = AM/2 = 18/2 = 9 cm. AP = AN/2 = 9/2 = 4,5 cm
Câu 10: AM = AB/2 = 50/2 = 25 cm. AN = AM + MN = 25 + 5 = 30 cm