Lớp 6 · Chương I: Tập hợp các số tự nhiên

Bài 3: Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên

🚀 Khởi động

📊 Khởi động: Thứ tự quanh ta

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta luôn so sánh và sắp xếp:

📏

Chiều cao

Ai cao hơn? Ai thấp hơn?

🏆

Điểm số

Ai nhất? Ai nhì? Ai ba?

🔢

Thứ tự xếp hàng

Ai đứng trước? Ai đứng sau?

📅

Ngày tháng

Ngày nào đến trước? Ngày nào đến sau?

🔍 Khám phá

📚 I. LÝ THUYẾT BÀI HỌC

1. So sánh hai số tự nhiên

Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ , ta có ba quan hệ:

$a < b$ : ” $a$ nhỏ hơn $b$ ” khi $a$ đứng bên trái $b$ trên trục số
$a > b$ : ” $a$ lớn hơn $b$ ” khi $a$ đứng bên phải $b$ trên trục số
$a = b$ : ” $a$ bằng $b$ ” khi $a$ và $b$ biểu diễn cùng một điểm trên trục số

📌 QUY TẮC SO SÁNH HAI SỐ TỰ NHIÊN:

Bước 1: So sánh số chữ số → Số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn.
Bước 2: Nếu cùng số chữ số → So sánh từ trái sang phải, chữ số nào lớn hơn ở hàng cao nhất thì số đó lớn hơn.

🎨 Hình vẽ minh họa 1: Trục số tự nhiên

Ví dụ 1: So sánh $45$ và $123$ .

$45$ có 2 chữ số, $123$ có 3 chữ số.
Số chữ số khác nhau → Số nào nhiều chữ số hơn thì lớn hơn.
Vậy $45 < 123$ .

Ví dụ 2: So sánh $567$ và $576$ .

Cùng có 3 chữ số → So sánh từ trái sang phải.
Hàng trăm: $5 = 5$ (bằng nhau → xét hàng tiếp).
Hàng chục: $6 < 7$ (hàng chục của 567 nhỏ hơn).
Vậy $567 < 576$ .

Ví dụ 3: So sánh $3.456$ và $3.465$ .

Cùng có 4 chữ số → So sánh từ trái sang phải.
Hàng nghìn: $3 = 3$ ; Hàng trăm: $4 = 4$ ; Hàng chục: $5 < 6$ .
Vậy $3.456 < 3.465$ .

2. Số liền sau và số liền trước

Định nghĩa:

Số liền sau của số tự nhiên $n$ là số $n + 1$ .
Số liền trước của số tự nhiên $n$ (với $n > 0$ ) là số $n - 1$ .

Lưu ý: Số $0$ không có số liền trước trong tập hợp số tự nhiên.

🎨 Hình vẽ minh họa 2: Số liền trước và số liền sau trên trục số

Ví dụ 1: Tìm số liền trước và số liền sau của số $45$ .

Số liền trước: $45 - 1 = 44$ .
Số liền sau: $45 + 1 = 46$ .

Ví dụ 2: Tìm số liền trước và số liền sau của số $99$ .

Số liền trước: $99 - 1 = 98$ .
Số liền sau: $99 + 1 = 100$ .

Ví dụ 3: Tìm số liền trước và số liền sau của số $0$ .

Số $0$ không có số liền trước trong tập hợp số tự nhiên.
Số liền sau: $0 + 1 = 1$ .

3. Tính chất của thứ tự

📌 CÁC TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG:

Tính bắc cầu: Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$ .
Tính cộng: Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ (với mọi $c \geq 0$ ).
Tính nhân: Nếu $a < b$ và $c > 0$ thì $a \times c < b \times c$ .
Mối quan hệ giữa ba quan hệ: Với hai số $a$ và $b$ bất kỳ, chỉ có đúng một trong ba khẳng định sau: $a < b$ , $a > b$ , hoặc $a = b$ .

Ví dụ 1: Biết $5 < 8$ và $8 < 12$ . Chứng minh $5 < 12$ .

Theo tính bắc cầu: Vì $5 < 8$ và $8 < 12$ nên $5 < 12$ .

Ví dụ 2: Biết $7 < 10$ . So sánh $7 + 3$ và $10 + 3$ .

Theo tính cộng: Vì $7 < 10$ nên $7 + 3 < 10 + 3$ , tức là $10 < 13$ .

Ví dụ 3: Biết $4 < 6$ . So sánh $4 \times 5$ và $6 \times 5$ .

Theo tính nhân: Vì $4 < 6$ và $5 > 0$ nên $4 \times 5 < 6 \times 5$ , tức là $20 < 30$ .

4. Sắp xếp các số tự nhiên

📌 PHƯƠNG PHÁP SẮP XẾP:

Tăng dần (nhỏ → lớn): Đặt số nhỏ nhất lên đầu, số lớn nhất lên cuối.
Giảm dần (lớn → nhỏ): Đặt số lớn nhất lên đầu, số nhỏ nhất lên cuối.

Bước thực hiện:

So sánh từng cặp số theo quy tắc so sánh.
Hoặc so sánh theo hàng chữ số: so hàng cao nhất trước, nếu bằng thì xét hàng tiếp.

🎨 Hình vẽ minh họa 3: Sắp xếp tăng và giảm dần

📈

Tăng dần ↑

23456789

Nhỏ nhất → Lớn nhất

📉

Giảm dần ↓

89674523

Lớn nhất → Nhỏ nhất

Ví dụ 1: Sắp xếp $345, 354, 435, 453$ theo thứ tự tăng dần.

So sánh hàng trăm: $3 < 4$ nên $345, 354$ nhỏ hơn $435, 453$ .
So sánh tiếp: $345 < 354$ (hàng chục $4 < 5$ ); $435 < 453$ (hàng chục $3 < 5$ ).
Kết quả: $345 < 354 < 435 < 453$ .

Ví dụ 2: Sắp xếp $1.234, 1.243, 1.324, 1.342$ theo thứ tự giảm dần.

Hàng nghìn: $1 = 1 = 1 = 1$ → xét hàng trăm.
Hàng trăm: $2 < 3$ → $1.234, 1.243$ nhỏ hơn $1.324, 1.342$ .
Kết quả giảm dần: $1.342 > 1.324 > 1.243 > 1.234$ .

Ví dụ 3: Sắp xếp $567, 576, 657, 675$ theo thứ tự tăng dần.

Hàng trăm: $5 < 6$ → $567, 576$ nhỏ hơn $657, 675$ .
Trong nhóm 5xx: $567 < 576$ (hàng chục $6 < 7$ ).
Trong nhóm 6xx: $657 < 675$ (hàng chục $5 < 7$ ).
Kết quả: $567 < 576 < 657 < 675$ .

5. Đếm số các số tự nhiên

📌 CÔNG THỨC ĐẾM SỐ:

Số các số tự nhiên từ $a$ đến $b$ (kể cả $a$ và $b$ , với $a \leq b$ ): $S \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} ph \overset{ˋ}{\overset{a}{ˆ}} n tử = b - a + 1$
Số các số tự nhiên nằm giữa $a$ và $b$ (không kể $a$ và $b$ ): $S \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} n \overset{ˋ}{\overset{a}{˘}} m giữa = b - a - 1$
Lưu ý: Nếu $b - a - 1 \leq 0$ thì không có số nào nằm giữa $a$ và $b$ .

🎨 Hình vẽ minh họa 4: Công thức đếm số

Từ a đến b (kể cả a, b)

b - a + 1

Ví dụ: Từ 5 đến 10 có 10 - 5 + 1 = 6 số

Nằm giữa a và b (không kể a, b)

b - a - 1

Ví dụ: Giữa 5 và 10 có 10 - 5 - 1 = 4 số

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên từ $1$ đến $20$ ?

Số phần tử: $20 - 1 + 1 = 20$ (số).
Đó là: $1, 2, 3, ..., 20$ .

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên nằm giữa $10$ và $20$ ?

Số nằm giữa: $20 - 10 - 1 = 9$ (số).
Đó là: $11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19$ .

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số?

Số có 2 chữ số nhỏ nhất: $10$ ; lớn nhất: $99$ .
Số phần tử: $99 - 10 + 1 = 90$ (số).

🎯 II. CÁC DẠN TOÁN THƯỜNG GẶP

📌 Dạng 1: So sánh hai hoặc nhiều số tự nhiên

Phương pháp giải:

So sánh số chữ số → nhiều chữ số hơn thì lớn hơn.
Cùng số chữ số → so sánh từ trái sang phải, hàng cao nhất trước.
Nếu vẫn bằng nhau → xét hàng tiếp theo cho đến khi tìm được chữ số khác.

Ví dụ 1: So sánh $4.567$ và $4.576$ .

Lời giải:

Cùng 4 chữ số → so sánh từ trái sang phải:
Hàng nghìn: $4 = 4$ → xét hàng trăm.
Hàng trăm: $5 = 5$ → xét hàng chục.
Hàng chục: $6 < 7$ .
Vậy $4.567 < 4.576$ .

Ví dụ 2: So sánh $12.345$ và $1.234.567$ .

Lời giải:

$12.345$ có 5 chữ số, $1.234.567$ có 7 chữ số.
$5 < 7$ → $12.345$ nhỏ hơn.
Vậy $12.345 < 1.234.567$ .

Ví dụ 3: So sánh $12.345.678$ và $12.345.687$ .

Lời giải:

Cùng 8 chữ số → so sánh từ trái sang phải.
7 chữ số đầu: $12.345.67$ giống nhau.
Chữ số hàng đơn vị: $8 > 7$ .
Vậy $12.345.678 > 12.345.687$ .

📌 Dạng 2: Tìm số liền trước, số liền sau

Phương pháp giải:

Số liền trước của $n$ : tính $n - 1$ (nếu $n > 0$ ).
Số liền sau của $n$ : tính $n + 1$ .
Chú ý: Khi $n$ có dạng $99...9$ (toàn 9), số liền sau sẽ có thêm 1 chữ số.

Ví dụ 1: Tìm số liền trước và số liền sau của $567$ .

Lời giải:

Số liền trước: $567 - 1 = 566$ .
Số liền sau: $567 + 1 = 568$ .

Ví dụ 2: Tìm số liền trước và số liền sau của $999$ .

Lời giải:

Số liền trước: $999 - 1 = 998$ .
Số liền sau: $999 + 1 = 1000$ .
Nhận xét: Số $999$ toàn chữ số 9, số liền sau tăng thêm 1 chữ số.

Ví dụ 3: Số liền sau của số nào là $10.000$ ?

Lời giải:

Gọi số đó là $x$ , ta có: $x + 1 = 10.000 \Rightarrow x = 10.000 - 1 = 9.999$ .
Vậy số cần tìm là $9.999$ .

📌 Dạng 3: Sắp xếp dãy số theo thứ tự

Phương pháp giải:

Liệt kê tất cả các số.
So sánh từng cặp để tìm số nhỏ nhất (hoặc lớn nhất).
Loại số đó ra, tiếp tục tìm số nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) trong dãy còn lại.
Lặp lại cho đến khi hết số.

Ví dụ 1: Sắp xếp $78, 125, 45, 230, 12, 99$ theo thứ tự tăng dần.

Lời giải:

So sánh: $12 < 45 < 78 < 99 < 125 < 230$ .
Thứ tự tăng dần: $12, 45, 78, 99, 125, 230$ .

Ví dụ 2: Sắp xếp $5.678, 5.768, 5.687, 5.786$ theo thứ tự giảm dần.

Lời giải:

Cùng 4 chữ số, hàng nghìn = 5, hàng trăm: $6 < 7$ .
Nhóm 5.6xx: $5.678 < 5.687$ (hàng chục $7 < 8$ ).
Nhóm 5.7xx: $5.768 < 5.786$ (hàng chục $6 < 8$ ).
Thứ tự giảm dần: $5.786 > 5.768 > 5.687 > 5.678$ .

Ví dụ 3: Sắp xếp $345, 354, 435, 453, 534, 543$ theo thứ tự tăng dần.

Lời giải:

Hàng trăm: $3 < 4 < 5$ .
Nhóm 3xx: $345 < 354$ (hàng chục $4 < 5$ ).
Nhóm 4xx: $435 < 453$ (hàng chục $3 < 5$ ).
Nhóm 5xx: $534 < 543$ (hàng chục $3 < 4$ ).
Thứ tự tăng dần: $345, 354, 435, 453, 534, 543$ .

📌 Dạng 4: Đếm số và áp dụng công thức

Phương pháp giải:

Xác định $a$ (số đầu) và $b$ (số cuối).
Áp dụng công thức: $b - a + 1$ (từ $a$ đến $b$ ) hoặc $b - a - 1$ (nằm giữa).

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên 3 chữ số?

Lời giải:

Số có 3 chữ số nhỏ nhất: $100$ ; lớn nhất: $999$ .
Số phần tử: $999 - 100 + 1 = 900$ (số).

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số chẵn từ $1$ đến $100$ ?

Lời giải:

Số chẵn từ 1 đến 100: $2, 4, 6, ..., 100$ .
Đây là dãy cách đều 2, số đầu = 2, số cuối = 100.
Số phần tử: $(100 - 2) : 2 + 1 = 49 + 1 = 50$ (số).

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn $50$ mà chia hết cho $3$ ?

Lời giải:

Số chia hết cho 3 nhỏ nhất ≥ 0: $0$ (hoặc $3$ nếu xét $N^{*}$ ).
Số chia hết cho 3 lớn nhất < 50: $48$ .
Số phần tử (với $0$ ): $(48 - 0) : 3 + 1 = 17$ (số).
Đó là: $0, 3, 6, 9, ..., 48$ .

💻 III. THỰC HÀNH TƯƠNG TÁC

📊

Thực hành tương tác: Thứ tự số tự nhiên

Nhập hai số để so sánh:

🌍 Vận dụng

🌍 IV. VẬN DỤNG THỰC TẾ

📝 Câu 1 (Cuộc thiathlete): Kết quả chạy 100m của 5 vận động viên: An (12s), Bình (11s), Chi (13s), Dũng (10s), Em (12s). a) Sắp xếp kết quả theo thứ tự từ nhanh đến chậm. b) Ai chạy nhanh nhất? c) Ai chạy chậm nhất? d) Có bao nhiêu bạn chạy cùng kết quả?

Lời giải: a) Thời gian nhỏ hơn = chạy nhanh hơn. Sắp xếp tăng dần: 10s, 11s, 12s, 12s, 13s → Dũng, Bình, An/Em, Chi. b) Dũng chạy nhanh nhất (10 giây). c) Chi chạy chậm nhất (13 giây). d) An và Em cùng chạy 12 giây → có 2 bạn chạy cùng kết quả.

📝 Câu 2 (Thư viện): Thư viện có các tủ sách đánh số từ 1 đến 50. a) Tủ sách cuối cùng đánh số mấy? b) Có bao nhiêu tủ sách? c) Tủ sách thứ 25 có đánh số không? d) Số tủ sách nằm giữa tủ 10 và tủ 40 là bao nhiêu?

Lời giải: a) Tủ sách cuối cùng là tủ số 50. b) Số tủ sách: 50 - 1 + 1 = 50 (tủ). c) Tủ thứ 25 đánh số 25. d) Số tủ nằm giữa tủ 10 và tủ 40: 40 - 10 - 1 = 29 (tủ).

📝 Câu 3 (Đặt vé xe): Vé xe bus có số thứ tự từ 001 đến 150. a) Vé số cuối cùng là số mấy? b) Tổng số vé là bao nhiêu? c) Vé nằm giữa vé 50 và vé 100 có bao nhiêu vé? d) Nếuulled bán hết 120 vé, vé tiếp theo sẽ có số mấy?

Lời giải: a) Vé cuối cùng là số 150. b) Tổng số vé: 150 - 1 + 1 = 150 (vé). c) Số vé nằm giữa vé 50 và vé 100: 100 - 50 - 1 = 49 (vé). d) Vé tiếp theo sau vé 120 là: 120 + 1 = 121.

✏️ Luyện tập

❓ V. TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN (10 CÂU)

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Trong các số sau, số nào lớn nhất?

⭐ Ghi nhớ

📌 VI. GHI NHỚ TRỌNG TÂM

So sánh: Nhiều chữ số hơn → lớn hơn. Cùng số chữ số → so từ trái sang phải.
Số liền trước của $n$ : $n - 1$ ( $n > 0$ ). Số liền sau của $n$ : $n + 1$ .
Tính bắc cầu: $a < b, b < c \Rightarrow a < c$ .
Tính cộng: $a < b \Rightarrow a + c < b + c$ .
Tính nhân: $a < b, c > 0 \Rightarrow a \times c < b \times c$ .
Đếm số từ $a$ đến $b$ : $b - a + 1$ .
Đếm số nằm giữa $a$ và $b$ : $b - a - 1$ .

📝 VII. BÀI TẬP TỰ LUẬN (10 CÂU TỪ DỄ ĐẾN KHÓ)

Bài 1 (Dễ - Nhận biết): So sánh các cặp số sau: a) $234$ và $243$ b) $567$ và $5670$ c) $1000$ và $999$ d) $4567$ và $4576$

Bài 2 (Dễ - Nhận biết): Tìm số liền trước và số liền sau: a) $15$ b) $99$ c) $1000$ d) $10.000$

Bài 3 (Thông hiểu): Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: a) $45, 54, 34, 43$ b) $123, 132, 213, 231$ c) $567, 576, 657, 675$ d) $1234, 1243, 1324, 1342$

Bài 4 (Thông hiểu): Tính số các số tự nhiên: a) Từ $1$ đến $20$ b) Từ $10$ đến $30$ c) Nằm giữa $5$ và $15$ d) Nằm giữa $20$ và $40$

Bài 5 (Thông hiểu): Điền dấu $<, >, =$ thích hợp: a) $15 + 3$ … $20 - 2$ b) $7 \times 2$ … $10 + 4$ c) $25 - 5$ … $4 \times 5$ d) $30 : 3$ … $5 + 5$

Bài 6 (Vận dụng): Trong cuộc thi chạy, 5 bạn về đích: An (45s), Bình (42s), Chi (48s), Dũng (40s), Em (43s). a) Sắp xếp thời gian theo thứ tự tăng dần. b) Bạn nào về đích nhanh nhất? c) Bạn nào về đích chậm nhất?

Bài 7 (Vận dụng): Sách Toán lớp 6 có 172 trang. a) Trang sách đầu tiên đánh số mấy? b) Trang cuối cùng? c) Có bao nhiêu trang sách? d) Có bao nhiêu trang nằm giữa trang 50 và trang 100?

Bài 8 (Vận dụng cao): Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng: Tổng các chữ số = 18; Chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng nghìn; Chữ số hàng chục bằng 0; Chữ số hàng đơn vị lớn hơn hàng nghìn 1 đơn vị.

Bài 9 (Vận dụng cao): a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà chia hết cho 5? b) Có bao nhiêu số tự nhiên 2 chữ số mà tổng hai chữ số bằng 10?

Bài 10 (Vận dụng cao): Cho 5 số: $A = 1.234, B = 1.243, C = 1.324, D = 1.342, E = 1.423$ . a) Sắp xếp 5 số theo thứ tự tăng dần. b) Có bao nhiêu số trong danh sách trên lớn hơn $1.300$ ? c) Thay số $C$ bằng số $F$ sao cho $A < B < F < D < E$ . Tìm số $F$ thỏa mãn.

📖 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT 10 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: a) $234 < 243$ (cùng 3 chữ số, hàng chục $3 < 4$ ) b) $567 < 5670$ ( $567$ có 3 chữ số, $5670$ có 4 chữ số) c) $1000 > 999$ ( $1000$ có 4 chữ số, $999$ có 3 chữ số) d) $4567 < 4576$ (cùng 4 chữ số, hàng chục $6 < 7$ )

Bài 2: a) Liền trước: $14$ , liền sau: $16$ b) Liền trước: $98$ , liền sau: $100$ c) Liền trước: $999$ , liền sau: $1.001$ d) Liền trước: $9.999$ , liền sau: $10.001$

Bài 3: a) $34, 43, 45, 54$ (tăng dần) b) $123, 132, 213, 231$ (tăng dần) c) $567, 576, 657, 675$ (tăng dần) d) $1234, 1243, 1324, 1342$ (tăng dần)

Bài 4: a) $20 - 1 + 1 = 20$ (số) b) $30 - 10 + 1 = 21$ (số) c) $15 - 5 - 1 = 9$ (số) d) $40 - 20 - 1 = 19$ (số)

Bài 5: a) $15 + 3 = 18$ ; $20 - 2 = 18$ → $=$ b) $7 \times 2 = 14$ ; $10 + 4 = 14$ → $=$ c) $25 - 5 = 20$ ; $4 \times 5 = 20$ → $=$ d) $30 : 3 = 10$ ; $5 + 5 = 10$ → $=$

Bài 6: a) Sắp xếp tăng dần: $40, 42, 43, 45, 48$ (giây). b) Dũng về đích nhanh nhất ( $40$ giây). c) Chi về đích chậm nhất ( $48$ giây).

Bài 7: a) Trang đầu tiên đánh số $1$ . b) Trang cuối cùng đánh số $172$ . c) Số trang: $172 - 1 + 1 = 172$ (trang). d) Số trang nằm giữa trang 50 và trang 100: $100 - 50 - 1 = 49$ (trang).

Bài 8: Gọi số cần tìm có 4 chữ số: $a$ (nghìn), $b$ (trăm), $c$ (chục), $d$ (đơn vị).

Đề bài cho:

$a + b + c + d = 18$
$b = 2 a$
$c = 0$
$d = a + 1$

Thay vào tổng: $a + 2 a + 0 + (a + 1) = 18 \Rightarrow 4 a + 1 = 18 \Rightarrow 4 a = 17 \Rightarrow a = 4.25$

Vì $a$ phải là số tự nhiên nguyên, bài toán này không có nghiệm trong $N$ .

Bài 9: a) Số có 3 chữ số chia hết cho 5:

Số nhỏ nhất: $100$ ; lớn nhất: $995$ (chữ số đơn vị = 0 hoặc 5).
Số chia hết cho 5 có dạng: $100, 105, 110, ..., 995$ .
Khoảng cách $d = 5$ .
Số phần tử: $(995 - 100) : 5 + 1 = 895 : 5 + 1 = 179 + 1 = 180$ (số).

b) Số có 2 chữ số mà tổng hai chữ số = 10:

Liệt kê: $19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91$ .
Có 9 số thỏa mãn.

Bài 10: a) Sắp xếp tăng dần: $A = 1.234 < B = 1.243 < C = 1.324 < D = 1.342 < E = 1.423$ .

b) Số lớn hơn $1.300$ : $C = 1.324, D = 1.342, E = 1.423$ . → Có 3 số lớn hơn $1.300$ .

c) Cần tìm $F$ sao cho $A < B < F < D < E$ :

$B = 1.243 < F < D = 1.342$ .
$F$ phải là số tự nhiên có 4 chữ số, nằm giữa $1.243$ và $1.342$ .
Ví dụ: $F = 1.300$ hoặc $F = 1.320$ hoặc $F = 1.250$ .
Có nhiều số $F$ thỏa mãn, ví dụ: $F = 1.300$ .