Lớp 6 · Chương III: Số nguyên

Bài 17: Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên

🚀 Khởi động

➗ Phép chia số nguyên — Mở rộng phép chia

Phép chia số nguyên có quy tắc dấu giống phép nhân!

➕ ÷ ➕

Dương ÷ Dương

Kết quả dương

➖ ÷ ➖

Âm ÷ Âm

Kết quả dương

➕ ÷ ➖

Khác dấu

Kết quả âm

🔍 Khám phá

📖 1. Phép chia hết số nguyên

Định nghĩa: Số nguyên $a$ chia hết cho số nguyên $b$ (với $b \neq = 0$ ) nếu tồn tại số nguyên $q$ sao cho:

$a = b \times q$

Khi đó: $a : b = q$

Quy tắc dấu:

Khác dấu: Kết quả âm
- $(+) : (-) = (-)$
- $(-) : (+) = (-)$
Cùng dấu: Kết quả dương
- $(+) : (+) = (+)$
- $(-) : (-) = (+)$

Lưu ý: Không chia cho $0$ !

Ví dụ 1: Phép chia số nguyên khác dấu

a) $15 : (- 3)$

Bước 1: Chia giá trị tuyệt đối: $15 : 3 = 5$

Bước 2: Đặt dấu âm (khác dấu): $15 : (- 3) = - 5$

Kiểm tra: $(- 3) \times (- 5) = 15$ ✓

b) $(- 28) : 7$

$28 : 7 = 4$

$(- 28) : 7 = - 4$

Kiểm tra: $7 \times (- 4) = - 28$ ✓

Ví dụ 2: Phép chia số nguyên cùng dấu

a) $24 : 6$

Hai số dương: $24 : 6 = 4$

b) $(- 45) : (- 9)$

Bước 1: Chia giá trị tuyệt đối: $45 : 9 = 5$

Bước 2: Kết quả dương (cùng dấu): $(- 45) : (- 9) = 5$

Kiểm tra: $(- 9) \times 5 = - 45$ ✓

📊 Bảng quy tắc dấu

Số bị chia	Số chia	Thương	Ví dụ
$+$	$+$	$+$	$20 : 5 = 4$
$+$	$-$	$-$	$20 : (- 5) = - 4$
$-$	$+$	$-$	$(- 20) : 5 = - 4$
$-$	$-$	$+$	$(- 20) : (- 5) = 4$

📖 2. Ước của số nguyên

Định nghĩa: Số nguyên $b$ được gọi là ước của số nguyên $a$ nếu $a$ chia hết cho $b$ (với $b \neq = 0$ ).

Ký hiệu: $a ⋮ b$ hoặc $b ∣ a$

Tính chất:

Nếu $b$ là ước của $a$ thì $- b$ cũng là ước của $a$
$1$ và $- 1$ là ước của mọi số nguyên
Mọi số nguyên khác $0$ đều là ước của $0$

Ví dụ:

Ước của $12$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$
Ước của $- 15$ : $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

Ví dụ 3: Tìm ước của số nguyên

a) Tìm các ước của $- 18$

Bước 1: Tìm ước dương của $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$

Bước 2: Thêm ước âm: $- 1, - 2, - 3, - 6, - 9, - 18$

Đáp án: Ước của $- 18$ là: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

b) Kiểm tra $- 4$ có phải là ước của $- 20$ không?

Chia: $(- 20) : (- 4) = 5$ (chia hết)

Vậy $- 4$ là ước của $- 20$ ✓

📖 3. Bội của số nguyên

Định nghĩa: Số nguyên $a$ được gọi là bội của số nguyên $b$ (với $b \neq = 0$ ) nếu $a$ chia hết cho $b$ .

Tính chất:

Nếu $a$ là bội của $b$ thì $- a$ cũng là bội của $b$
$0$ là bội của mọi số nguyên khác $0$
Mọi số nguyên đều là bội của $1$ và $- 1$

Ví dụ:

Bội của $3$ : $0, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 12, ...$
Bội của $- 5$ : $0, \pm 5, \pm 10, \pm 15, \pm 20, ...$

Ví dụ 4: Tìm bội của số nguyên

a) Viết 5 bội của $- 4$

Bội của $- 4$ : $(- 4) \times k$ với $k \in Z$

5 bội: $0, - 4, 4, - 8, 8$

(hoặc: $- 12, - 8, - 4, 0, 4$ )

b) Kiểm tra $- 30$ có phải là bội của $6$ không?

Chia: $(- 30) : 6 = - 5$ (chia hết)

Vậy $- 30$ là bội của $6$ ✓

⚡ 4. Tính chất

Tính chất 1: $0 : a = 0$ (với $a \neq = 0$ )

Tính chất 2: $a : 1 = a$ ; $a : (- 1) = - a$

Tính chất 3: $a : a = 1$ (với $a \neq = 0$ )

Tính chất 4: $a : (- a) = - 1$ (với $a \neq = 0$ )

Tính chất 5: Nếu $a ⋮ b$ và $b ⋮ c$ thì $a ⋮ c$

Tính chất 6: Nếu $a ⋮ c$ và $b ⋮ c$ thì $(a + b) ⋮ c$ và $(a - b) ⋮ c$

Ví dụ 5: Áp dụng tính chất

a) Tính: $(- 48) : [(- 12) : 3]$

Bước 1: Tính trong ngoặc: $(- 12) : 3 = - 4$

Bước 2: Chia: $(- 48) : (- 4) = 12$

b) Biết $(- 36) ⋮ 9$ và $(- 27) ⋮ 9$ . Chứng tỏ $(- 36) + (- 27)$ chia hết cho $9$ .

Theo tính chất 6:

Nếu $a ⋮ c$ và $b ⋮ c$ thì $(a + b) ⋮ c$

Vậy $(- 36) + (- 27) = - 63$ chia hết cho $9$ ✓

Kiểm tra: $(- 63) : 9 = - 7$ ✓

✏️ Luyện tập

🧮 Thực hành: Phép chia, ước và bội số nguyên

Điểm: 0/0

Phép chia và nhận biết ước:

Số 3 có phải là ước của 30 không? (1=Có, 0=Không)

💡 3 là ước của 30 nếu 30 : 3 là số nguyên. 30 : 3 = 10.

💡 Ghi nhớ nhanh:

• a : b = c khi a = b × c (chia hết)
• Ước của a: số chia hết cho a (a : b là số nguyên)
• Bội của a: số chia hết cho a (b = a × k)
• a : 1 = a; 0 : a = 0 (a ≠ 0)
• Cùng dấu → dương; khác dấu → âm

Câu 1 / 11

Dễ0 đã trả lời

Tính: $(-20) : 5$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một người nợ ngân hàng $12000000$ đồng và trả đều trong $6$ tháng.

a) Viết biểu thức tính số tiền trả mỗi tháng.

b) Tính số tiền trả mỗi tháng.

c) Sau $4$ tháng, người đó còn nợ bao nhiêu?

Giải:

a) Biểu thức: $(- 12000000) : 6$

b) Số tiền mỗi tháng:

$(- 12000000) : 6 = - 2000000$ đồng

(Trả $2000000$ đồng mỗi tháng)

c) Sau 4 tháng đã trả:

$(- 2000000) \times 4 = - 8000000$ đồng

Còn nợ:

$(- 12000000) - (- 8000000) = - 4000000$ đồng

(Còn nợ $4000000$ đồng)

📝 Bài toán 2: Nhiệt độ giảm từ $20° C$ xuống $- 10° C$ đều trong $6$ giờ.

a) Tính độ giảm nhiệt độ.

b) Tính độ giảm trung bình mỗi giờ.

c) Sau $3$ giờ, nhiệt độ là bao nhiêu?

Giải:

a) Độ giảm:

$(- 10) - 20 = - 30° C$

b) Độ giảm mỗi giờ:

$(- 30) : 6 = - 5° C$ /giờ

c) Sau 3 giờ:

$20 + [(- 5) t im es 3] = 20 + (- 15) = 5° C$

📝 Bài toán 3: Một kho hàng có $120$ thùng hàng. Mỗi thùng nặng $25$ kg. Người ta muốn chia đều vào các xe tải, mỗi xe chở $300$ kg.

a) Mỗi xe chở được bao nhiêu thùng?

b) Cần bao nhiêu xe để chở hết?

c) Nếu mỗi thùng nặng $- 25$ kg (hàng lighter), tổng trọng lượng là bao nhiêu?

Giải:

a) Số thùng mỗi xe:

$300 : 25 = 12$ (thùng)

b) Số xe cần:

$120 : 12 = 10$ (xe)

c) Tổng trọng lượng:

$(- 25) t im es 120 = - 3000$ (kg)

Tổng trọng lượng là $- 3000$ kg (nhẹ hơn bình thường $3000$ kg)

⭐ Ghi nhớ

Quy tắc dấu: Giống phép nhân
- Cùng dấu → dương
- Khác dấu → âm
Ước của $a$ : Số $b$ sao cho $a ⋮ b$
- Nếu $b$ là ước thì $- b$ cũng là ước
Bội của $b$ : Số $a$ sao cho $a ⋮ b$
- Nếu $a$ là bội thì $- a$ cũng là bội
Tính chất: $0 : a = 0$ ; $a : 1 = a$ ; $a : (- 1) = - a$
Không chia cho 0!

📝 Bài tập tự luận (10 câu từ dễ đến khó)

Bài 1 (Dễ): Tính: a) $35 : (- 7)$ 　　b) $(- 48) : 6$ 　　c) $(- 56) : (- 8)$ 　　d) $72 : (- 9)$

Bài 2 (Dễ): Tính: a) $0 : (- 15)$ 　　b) $(- 25) : 1$ 　　c) $40 : (- 1)$ 　　d) $(- 30) : (- 30)$

Bài 3 (Dễ): Liệt kê tất cả ước của: a) $- 16$ 　　b) $- 24$

Bài 4 (Thông hiểu): Viết 6 bội của: a) $- 3$ 　　b) $7$

Bài 5 (Thông hiểu): Tính: a) $(- 72) : [(- 18) : 3]$ 　　b) $[(- 60) : 5] : (- 3)$

Bài 6 (Vận dụng): Thang máy từ tầng $30$ xuống tầng $- 6$ đều trong $12$ giây. Tầng xuống mỗi giây?

Bài 7 (Vận dụng): Một người nợ $12000000$ đồng, trả đều trong $6$ tháng. Sau $4$ tháng còn nợ bao nhiêu?

Bài 8 (Vận dụng): Cho $a = - 24, b = 6$ . Tính: a) $a : b$ 　　b) $a : (- b)$ 　　c) $(- a) : b$ 　　d) $(- a) : (- b)$

Bài 9 (Vận dụng): Cho $(- 36) v d o t s 9$ và $(- 27) v d o t s 9$ . Chứng tỏ $(- 36) + (- 27)$ chia hết cho $9$ .

Bài 10 (Vận dụng cao): Cho $a v d o t s b$ và $b v d o t sc$ . Chứng tỏ $a v d o t sc$ . Áp dụng với $a = - 120, b = - 12, c = 4$ .

📖 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT 10 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: a) $35 : (- 7) = - 5$ b) $(- 48) : 6 = - 8$ c) $(- 56) : (- 8) = 7$ d) $72 : (- 9) = - 8$

Bài 2: a) $0 : (- 15) = 0$ b) $(- 25) : 1 = - 25$ c) $40 : (- 1) = - 40$ d) $(- 30) : (- 30) = 1$

Bài 3: a) Ước của $- 16$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$ b) Ước của $- 24$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Bài 4: a) 6 bội của $- 3$ : $0, \pm 3, \pm 6, \pm 9$ (hoặc: $- 12, - 9, - 6, - 3, 3, 6$ ) b) 6 bội của $7$ : $0, \pm 7, \pm 14, \pm 21$ (hoặc: $- 21, - 14, - 7, 7, 14, 21$ )

Bài 5: a) $(- 18) : 3 = - 6$ ; $(- 72) : (- 6) = 12$ b) $(- 60) : 5 = - 12$ ; $(- 12) : (- 3) = 4$

Bài 6: Tổng tầng xuống: $30 - (- 6) = 36$ tầng. Mỗi giây: $36 : 12 = 3$ tầng/giây.

Bài 7: Mỗi tháng trả: $(- 12000000) : 6 = - 2000000$ đồng. Sau 4 tháng đã trả: $(- 2000000) t im es 4 = - 8000000$ đồng. Còn nợ: $(- 12000000) - (- 8000000) = - 4000000$ đồng.

Bài 8: a) $a : b = (- 24) : 6 = - 4$ b) $a : (- b) = (- 24) : (- 6) = 4$ c) $(- a) : b = 24 : 6 = 4$ d) $(- a) : (- b) = 24 : (- 6) = - 4$

Bài 9: $(- 36) v d o t s 9$ và $(- 27) v d o t s 9$ . Theo tính chất 6: Nếu $a v d o t sc$ và $b v d o t sc$ thì $(a + b) v d o t sc$ . Vậy $(- 36) + (- 27) = - 63$ chia hết cho $9$ . Kiểm tra: $(- 63) : 9 = - 7$ .

Bài 10: Giả sử $a v d o t s b$ và $b v d o t sc$ . $a v d o t s b \Rightarrow a = b t im es m$ với $m \in Z$ . $b v d o t sc \Rightarrow b = c t im es n$ với $n \in Z$ . Thay: $a = (c t im es n) t im es m = c t im es (mn)$ . Vậy $a v d o t sc$ .

Áp dụng: $- 120 v d o t s (- 12)$ vì $- 120 = (- 12) t im es 10$ . $(- 12) v d o t s 4$ vì $- 12 = 4 t im es (- 3)$ . Vậy $- 120 v d o t s 4$ . Kiểm tra: $- 120 : 4 = - 30$ .