Lớp 6 · Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

🚀 Khởi động

🔄 Bội chung — Tìm điểm gặp nhau

Bội chung giúp tìm số nhỏ nhất chia hết cho nhiều số!

🔍

Bội chung

Bội của cả hai số

⬇️

BCNN

Bội chung nhỏ nhất

🎯

Ứng dụng

Quy đồng, lịch trình

🔍 Khám phá

📖 1. Bội chung

Định nghĩa: Số tự nhiên $m$ được gọi là bội chung của hai số $a$ và $b$ nếu $m$ vừa là bội của $a$ , vừa là bội của $b$ .

Ký hiệu: $B C (a, b)$ là tập hợp các bội chung của $a$ và $b$ .

Ví dụ: Tìm $B C (4, 6)$

Bội của $4$ : ${0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...}$
Bội của $6$ : ${0, 6, 12, 18, 24, 30, ...}$
$B C (4, 6) = {0, 12, 24, 36, ...}$

Ví dụ 1: Tìm bội chung

a) Tìm $B C (3, 5)$

Bội của $3$ : ${0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}$
Bội của $5$ : ${0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}$
$B C (3, 5) = {0, 15, 30, 45, ...}$

b) Tìm $B C (6, 8)$

Bội của $6$ : ${0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}$
Bội của $8$ : ${0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}$
$B C (6, 8) = {0, 24, 48, 72, ...}$

📖 2. Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Định nghĩa: Bội chung nhỏ nhất của hai số $a$ và $b$ (khác $0$ ) là số khác $0$ nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung của chúng.

Ký hiệu: BCNN $(a, b)$ hoặc $[a, b]$

Ví dụ:

$B C (4, 6) = {0, 12, 24, 36, ...}$ → BCNN $(4, 6) = 12$
$B C (3, 5) = {0, 15, 30, 45, ...}$ → BCNN $(3, 5) = 15$

Tính chất:

BCNN $(a, b) \geq max (a, b)$
Mọi bội chung của $a$ và $b$ đều là bội của BCNN $(a, b)$

Ví dụ 2: Tìm BCNN

a) Tìm BCNN $(6, 9)$

Bội của $6$ : ${0, 6, 12, 18, 24, 30, ...}$
Bội của $9$ : ${0, 9, 18, 27, 36, ...}$
$B C (6, 9) = {0, 18, 36, 54, ...}$
BCNN $(6, 9) = 18$

b) Tìm BCNN $(10, 15)$

Bội của $10$ : ${0, 10, 20, 30, 40, ...}$
Bội của $15$ : ${0, 15, 30, 45, ...}$
$B C (10, 15) = {0, 30, 60, 90, ...}$
BCNN $(10, 15) = 30$

🔍 3. Cách tìm BCNN

Phương pháp 1: Liệt kê bội

Liệt kê các bội của mỗi số
Tìm các bội chung
Chọn bội chung nhỏ nhất (khác $0$ )

Phương pháp 2: Phân tích ra thừa số nguyên tố

Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất
Nhân các thừa số đã chọn

Công thức: Nếu $a = p_{1}^{a_{1}} \times p_{2}^{a_{2}} \times \dots$ và $b = p_{1}^{b_{1}} \times p_{2}^{b_{2}} \times \dots$

Thì BCNN $(a, b) = p_{1}^{m a x (a_{1}, b_{1})} \times p_{2}^{m a x (a_{2}, b_{2})} \times \dots$

Ví dụ 3: Tìm BCNN bằng phân tích

a) Tìm BCNN $(12, 18)$

Bước 1: Phân tích

$12 = 2^{2} \times 3$
$18 = 2 \times 3^{2}$

Bước 2: Chọn thừa số với số mũ lớn nhất

Thừa số: $2, 3$
$2$ : $max (2, 1) = 2$ → $2^{2}$
$3$ : $max (1, 2) = 2$ → $3^{2}$

Bước 3: Nhân

BCNN $(12, 18) = 2^{2} \times 3^{2} = 4 \times 9 = 36$

b) Tìm BCNN $(20, 30)$

Phân tích:

$20 = 2^{2} \times 5$
$30 = 2 \times 3 \times 5$

Chọn thừa số:

$2$ : $max (2, 1) = 2$ → $2^{2}$
$3$ : $max (0, 1) = 1$ → $3^{1}$
$5$ : $max (1, 1) = 1$ → $5^{1}$

Kết quả:

BCNN $(20, 30) = 2^{2} \times 3 \times 5 = 60$

🔗 4. Mối liên hệ giữa ƯCLN và BCNN

Định lý: Với hai số tự nhiên $a$ và $b$ (khác $0$ ):

$Ư CLN (a, b) \times BCNN (a, b) = a \times b$

Hệ quả:

$BCNN (a, b) = \frac{a \times b}{Ư CLN ( a , b )}$

$Ư CLN (a, b) = \frac{a \times b}{BCNN ( a , b )}$

Ví dụ 4: Áp dụng mối liên hệ

a) Biết ƯCLN $(12, 18) = 6$ . Tìm BCNN $(12, 18)$

$BCNN (12, 18) = \frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$

b) Biết BCNN $(15, 20) = 60$ . Tìm ƯCLN $(15, 20)$

$Ư CLN (15, 20) = \frac{15 \times 20}{60} = \frac{300}{60} = 5$

⚡ 5. Tính chất của BCNN

Tính chất 1: BCNN $(a, 1) = a$ với mọi $a \geq 1$

Tính chất 2: Nếu $a ⋮ b$ thì BCNN $(a, b) = a$

Tính chất 3: BCNN $(a, b) =$ BCNN $(b, a)$ (tính giao hoán)

Tính chất 4: Mọi bội chung của $a$ và $b$ đều là bội của BCNN $(a, b)$

Tính chất 5: Nếu $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau thì BCNN $(a, b) = a \times b$

Ví dụ 5: Áp dụng tính chất

a) Tìm BCNN $(24, 8)$

$24 = 8 \times 3$ nên $24 ⋮ 8$

Theo tính chất 2: BCNN $(24, 8) = 24$

b) Tìm BCNN $(7, 11)$ (biết $7$ và $11$ nguyên tố cùng nhau)

Theo tính chất 5: BCNN $(7, 11) = 7 \times 11 = 77$

📊 6. So sánh ƯCLN và BCNN

Tiêu chí	ƯCLN	BCNN
Định nghĩa	Ước chung lớn nhất	Bội chung nhỏ nhất
So với $a, b$	$\leq min (a, b)$	$\geq max (a, b)$
Cách tìm	Thừa số chung, mũ nhỏ nhất	Thừa số chung + riêng, mũ lớn nhất
Ứng dụng	Chia đều, rút gọn	Quy đồng, lịch trình
Với $(a, 1)$	$= 1$	$= a$

✏️ Luyện tập

🔗 Thực hành: ƯCLN & BCNN

Điểm: 0/0

Tìm ƯCLN / BCNN / Nguyên tố cùng nhau:

15 và 26 có nguyên tố cùng nhau không? (1=Có, 0=Không)

💡 ƯCLN(15, 26) = 1 ⇒ nguyên tố cùng nhau.

💡 Ghi nhớ:

• ƯCLN: thừa số chung, mũ nhỏ nhất
• BCNN: thừa số chung + riêng, mũ lớn nhất
• ƯCLN(a,b) × BCNN(a,b) = a × b
• Nguyên tố cùng nhau: ƯCLN = 1
• ƯCLN: chia đều / BCNN: gặp lại / quy đồng

Câu 1 / 12

Trung bình0 đã trả lời

Bội chung của $4$ và $6$ là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Hai xe buýt xuất phát cùng lúc từ bến. Xe thứ nhất cứ $12$ phút lại về bến một lần, xe thứ hai cứ $18$ phút lại về bến một lần.

a) Sau bao lâu hai xe lại cùng về bến?

b) Trong $3$ giờ, hai xe cùng về bến bao nhiêu lần?

Giải:

a) Thời gian hai xe cùng về bến = BCNN $(12, 18)$

Phân tích:

$12 = 2^{2} \times 3$
$18 = 2 \times 3^{2}$

BCNN $(12, 18) = 2^{2} \times 3^{2} = 36$

Sau 36 phút hai xe lại cùng về bến.

b) $3$ giờ = $180$ phút

Số lần cùng về bến: $180 : 36 = 5$ (lần)

📝 Bài toán 2: Một người muốn cắt hai tấm vải dài $48$ cm và $72$ cm thành các mảnh bằng nhau, mỗi mảnh có độ dài lớn nhất (tính bằng cm, là số tự nhiên).

a) Mỗi mảnh vải dài bao nhiêu cm?

b) Có tất cả bao nhiêu mảnh vải?

c) Nếu muốn ghép các mảnh vải thành các tấm vuông nhỏ nhất, cạnh tấm vuông dài bao nhiêu?

Giải:

a) Độ dài mỗi mảnh = ƯCLN $(48, 72)$

Phân tích:

$48 = 2^{4} \times 3$
$72 = 2^{3} \times 3^{2}$

ƯCLN $(48, 72) = 2^{3} \times 3 = 24$

Mỗi mảnh dài 24 cm.

b) Số mảnh:

Tấm thứ nhất: $48 : 24 = 2$ (mảnh)
Tấm thứ hai: $72 : 24 = 3$ (mảnh)
Tổng: $2 + 3 = 5$ (mảnh)

c) Cạnh tấm vuông = BCNN $(48, 72)$

BCNN $(48, 72) = 2^{4} \times 3^{2} = 144$

Cạnh tấm vuông: 144 cm.

📝 Bài toán 3: Cô giáo có một số quyển sách. Khi xếp số sách đó thành các chồng, mỗi chồng $10$ quyển, $12$ quyển hoặc $15$ quyển thì đều vừa đủ chồng.

a) Tìm số sách nhỏ nhất có thể.

b) Biết số sách trong khoảng từ $100$ đến $150$ quyển. Hỏi cô giáo có bao nhiêu quyển sách?

Giải:

a) Số sách phải là bội chung của $10, 12$ và $15$ . Số sách nhỏ nhất = BCNN $(10, 12, 15)$ .

Phân tích:

$10 = 2 \times 5$
$12 = 2^{2} \times 3$
$15 = 3 \times 5$

BCNN $(10, 12, 15) = 2^{2} \times 3 \times 5 = 60$

Số sách nhỏ nhất có thể là 60 quyển.

b) Bội chung của $10, 12, 15$ là các bội của $60$ : $60, 120, 180, ...$

Số trong khoảng từ $100$ đến $150$ chỉ có $120$ .

Cô giáo có 120 quyển sách.

⭐ Ghi nhớ

Bội chung: Số vừa là bội của $a$ , vừa là bội của $b$
BCNN: Bội chung nhỏ nhất (khác $0$ ) của $a$ và $b$
Cách tìm BCNN:
1. Liệt kê bội → chọn bội chung nhỏ nhất
2. Phân tích → chọn thừa số chung + riêng với số mũ lớn nhất
Mối liên hệ: ƯCLN $(a, b) \times$ BCNN $(a, b) = a \times b$
Tính chất: BCNN $(a, 1) = a$ ; Nếu $a ⋮ b$ thì BCNN $(a, b) = a$

📝 Bài tập tự luận (10 câu từ dễ đến khó)

Bài 1 (Dễ - Nhận biết): Tìm bội chung của các cặp số sau (5 số đầu tiên khác $0$ ):

a) $B C (3, 4)$

b) $B C (5, 10)$

c) $B C (4, 6)$

d) $B C (6, 9)$

Bài 2 (Dễ - Nhận biết): Tìm BCNN bằng cách liệt kê bội:

a) BCNN $(6, 8)$

b) BCNN $(8, 12)$

c) BCNN $(10, 15)$

d) BCNN $(9, 12)$

Bài 3 (Dễ - Nhận biết): Áp dụng tính chất để tìm nhanh:

a) BCNN $(9, 1)$

b) BCNN $(12, 24)$

c) BCNN $(7, 11)$

Bài 4 (Thông hiểu): Tìm BCNN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố:

a) BCNN $(12, 18)$

b) BCNN $(20, 30)$

c) BCNN $(15, 25)$

d) BCNN $(24, 36)$

Bài 5 (Thông hiểu): Tìm BCNN của ba số:

a) BCNN $(4, 6, 8)$

b) BCNN $(6, 9, 12)$

c) BCNN $(10, 15, 20)$

Bài 6 (Thông hiểu): Áp dụng mối liên hệ ƯCLN $(a, b) \times$ BCNN $(a, b) = a \times b$ :

a) Biết ƯCLN $(12, 18) = 6$ . Tìm BCNN $(12, 18)$ .

b) Biết BCNN $(15, 20) = 60$ . Tìm ƯCLN $(15, 20)$ .

c) Biết ƯCLN $(24, 36) = 12$ . Tìm BCNN $(24, 36)$ .

Bài 7 (Vận dụng): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho cả $6$ , $8$ và $9$ .

Bài 8 (Vận dụng thực tế): Ba bạn Mai, Lan, Hoa trực nhật cùng một ngày. Bạn Mai cứ $4$ ngày trực một lần, bạn Lan cứ $6$ ngày trực một lần, bạn Hoa cứ $9$ ngày trực một lần.

a) Sau ít nhất bao nhiêu ngày cả ba bạn lại cùng trực nhật?

b) Sau bao lâu (tính bằng ngày) thì ba bạn cùng trực nhật lần thứ hai?

Bài 9 (Vận dụng): Tìm hai số tự nhiên $a$ và $b$ biết $a \times b = 216$ và BCNN $(a, b) = 36$ .

Bài 10 (Vận dụng cao): Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho cả $8$ , $9$ và $12$ .

📖 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT 10 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: a) Bội của $3$ : ${0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...}$ ; bội của $4$ : ${0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}$ . $B C (3, 4) = {12, 24, 36, 48, 60}$ .

b) Bội của $5$ : ${0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}$ ; bội của $10$ : ${0, 10, 20, 30, 40, 50, ...}$ . $B C (5, 10) = {10, 20, 30, 40, 50}$ .

c) $B C (4, 6) = {12, 24, 36, 48, 60}$ .

d) $B C (6, 9) = {18, 36, 54, 72, 90}$ .

Bài 2: a) Bội của $6$ : ${0, 6, 12, 18, 24, ...}$ ; bội của $8$ : ${0, 8, 16, 24, 32, ...}$ . BCNN = $24$ .

b) Bội của $8$ : ${0, 8, 16, 24, 36, ...}$ ; bội của $12$ : ${0, 12, 24, 36, ...}$ . BCNN = $24$ .

c) Bội của $10$ : ${0, 10, 20, 30, ...}$ ; bội của $15$ : ${0, 15, 30, 45, ...}$ . BCNN = $30$ .

d) Bội của $9$ : ${0, 9, 18, 27, 36, ...}$ ; bội của $12$ : ${0, 12, 24, 36, ...}$ . BCNN = $36$ .

Bài 3: a) BCNN $(9, 1) = 9$ (tính chất 1).

b) Vì $24 ⋮ 12$ nên BCNN $(12, 24) = 24$ .

c) $7$ và $11$ nguyên tố cùng nhau nên BCNN $(7, 11) = 7 \times 11 = 77$ .

Bài 4: a) $12 = 2^{2} \times 3$ ; $18 = 2 \times 3^{2}$ . BCNN = $2^{2} \times 3^{2} = 36$ .

b) $20 = 2^{2} \times 5$ ; $30 = 2 \times 3 \times 5$ . BCNN = $2^{2} \times 3 \times 5 = 60$ .

c) $15 = 3 \times 5$ ; $25 = 5^{2}$ . BCNN = $3 \times 5^{2} = 75$ .

d) $24 = 2^{3} \times 3$ ; $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ . BCNN = $2^{3} \times 3^{2} = 72$ .

Bài 5: a) $4 = 2^{2}$ ; $6 = 2 \times 3$ ; $8 = 2^{3}$ . BCNN = $2^{3} \times 3 = 24$ .

b) $6 = 2 \times 3$ ; $9 = 3^{2}$ ; $12 = 2^{2} \times 3$ . BCNN = $2^{2} \times 3^{2} = 36$ .

c) $10 = 2 \times 5$ ; $15 = 3 \times 5$ ; $20 = 2^{2} \times 5$ . BCNN = $2^{2} \times 3 \times 5 = 60$ .

Bài 6: a) BCNN $(12, 18) = \frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$ .

b) ƯCLN $(15, 20) = \frac{15 \times 20}{60} = \frac{300}{60} = 5$ .

c) BCNN $(24, 36) = \frac{24 \times 36}{12} = \frac{864}{12} = 72$ .

Bài 7: Số cần tìm là BCNN $(6, 8, 9)$ .

$6 = 2 \times 3$ ; $8 = 2^{3}$ ; $9 = 3^{2}$ .

BCNN $(6, 8, 9) = 2^{3} \times 3^{2} = 8 \times 9 = 72$ .

Số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 72.

Bài 8: a) Số ngày cả ba cùng trực = BCNN $(4, 6, 9)$ .

$4 = 2^{2}$ ; $6 = 2 \times 3$ ; $9 = 3^{2}$ .

BCNN $(4, 6, 9) = 2^{2} \times 3^{2} = 36$ .

Sau ít nhất 36 ngày cả ba bạn lại cùng trực nhật.

b) Lần thứ hai cùng trực nhật sau lần đầu là $36$ ngày.

Ba bạn cùng trực nhật lần thứ hai sau 36 ngày.

Bài 9: Ta có: ƯCLN $(a, b) = \frac{a \times b}{BCNN ( a , b )} = \frac{216}{36} = 6$ .

Đặt $a = 6 m$ , $b = 6 n$ với ƯCLN $(m, n) = 1$ .

$a \times b = 216 \Rightarrow 36 mn = 216 \Rightarrow mn = 6$ .

Các cặp $(m, n)$ với ƯCLN $(m, n) = 1$ và $mn = 6$ : $(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)$ .

Vậy các cặp $(a, b)$ : $(6, 36), (36, 6), (12, 18), (18, 12)$ .

Bài 10: Số cần tìm là bội chung của $8$ , $9$ và $12$ .

$8 = 2^{3}$ ; $9 = 3^{2}$ ; $12 = 2^{2} \times 3$ .

BCNN $(8, 9, 12) = 2^{3} \times 3^{2} = 72$ .

Các bội chung của $8, 9, 12$ là các bội của $72$ : $72, 144, 216, ...$

Số nhỏ nhất có ba chữ số là $144$ .

Số cần tìm là 144.