Lớp 6 · Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 10: Số nguyên tố

🚀 Khởi động

🔢 Số nguyên tố — Viên gạch xây số học

Số nguyên tố là những số đặc biệt, không thể phân tích thành tích của các số nhỏ hơn!

🔷

Số nguyên tố

Chỉ có 2 ước

🔶

Hợp số

Có nhiều hơn 2 ước

1️⃣

Số 1

Đặc biệt

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa số nguyên tố và hợp số

Số nguyên tố: Số tự nhiên lớn hơn $1$ chỉ có đúng hai ước là $1$ và chính nó.

Ví dụ:

$2$ có hai ước: $1, 2$ → $2$ là số nguyên tố
$3$ có hai ước: $1, 3$ → $3$ là số nguyên tố
$5$ có hai ước: $1, 5$ → $5$ là số nguyên tố
$7$ có hai ước: $1, 7$ → $7$ là số nguyên tố

Hợp số: Số tự nhiên lớn hơn $1$ có nhiều hơn hai ước.

Ví dụ:

$4$ có ba ước: $1, 2, 4$ → $4$ là hợp số
$6$ có bốn ước: $1, 2, 3, 6$ → $6$ là hợp số
$9$ có ba ước: $1, 3, 9$ → $9$ là hợp số

Lưu ý: Số $0$ và số $1$ không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số.

Ví dụ 1: Phân loại các số

Số	Các ước	Phân loại
$1$	$1$	Đặc biệt
$2$	$1, 2$	Số nguyên tố
$3$	$1, 3$	Số nguyên tố
$4$	$1, 2, 4$	Hợp số
$5$	$1, 5$	Số nguyên tố
$6$	$1, 2, 3, 6$	Hợp số

🔍 2. Cách nhận biết số nguyên tố

Phương pháp kiểm tra:

Để kiểm tra số $n$ có phải là số nguyên tố không:

Bước 1: Nếu $n \leq 1$ → không phải số nguyên tố

Bước 2: Nếu $n = 2$ → là số nguyên tố (số nguyên tố chẵn duy nhất)

Bước 3: Nếu $n$ chẵn và $n > 2$ → không phải số nguyên tố (là hợp số)

Bước 4: Thử chia $n$ cho các số nguyên tố nhỏ hơn $n$ :

Nếu chia hết → là hợp số
Nếu không chia hết cho số nào → là số nguyên tố

Ví dụ 2: Kiểm tra số nguyên tố

a) $17$ có phải là số nguyên tố không?

$17$ là số lẻ, lớn hơn $2$
$17 \approx 4.1$ , thử chia cho các số nguyên tố $\leq 4$ : là $2, 3$
$17 : 2 = 8$ dư $1$ (không chia hết)
$17 : 3 = 5$ dư $2$ (không chia hết)

Vậy $17$ là số nguyên tố ✓

b) $21$ có phải là số nguyên tố không?

$21$ là số lẻ, lớn hơn $2$
$21 \approx 4.6$ , thử chia cho $2, 3$
$21 : 3 = 7$ (chia hết)

Vậy $21$ không phải số nguyên tố (là hợp số) ✗

📊 3. Bảng số nguyên tố

Các số nguyên tố nhỏ hơn 100:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,$

$31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,$

$73, 79, 83, 89, 97$

Tổng cộng: $25$ số nguyên tố

Nhận xét:

$2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất
Các số nguyên tố khác đều là số lẻ
Có vô số số nguyên tố (định lý Euclid)
Số nguyên tố càng lớn thì càng hiếm

🔨 4. Phân tích ra thừa số nguyên tố

Định lý cơ bản của số học:

Mọi số tự nhiên lớn hơn $1$ đều có thể phân tích duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố.

Phương pháp: Chia liên tiếp cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn.

Ví dụ 3: Phân tích ra thừa số nguyên tố

a) Phân tích $12$

12 = 2 × 6
   = 2 × 2 × 3
   = 2² × 3

Cách viết dọc:

Vậy $12 = 2^{2} \times 3$

b) Phân tích $60$

Vậy $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$

c) Phân tích $90$

Vậy $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$

⚡ 5. Tính chất của số nguyên tố

Tính chất 1: Có vô số số nguyên tố.

Tính chất 2: Nếu $p$ là số nguyên tố và $p ∣ (a \times b)$ thì $p ∣ a$ hoặc $p ∣ b$ .

Tính chất 3: Hai số nguyên tố liên tiếp duy nhất là $2$ và $3$ .

Tính chất 4: Mọi số nguyên tố lớn hơn $3$ đều có dạng $6 k + 1$ hoặc $6 k - 1$ (với $k$ là số tự nhiên).

Ví dụ 4: Áp dụng tính chất

a) Tìm số nguyên tố có dạng $6 k + 1$ với $k = 1, 2, 3$

$k = 1$ : $6 \times 1 + 1 = 7$ (số nguyên tố) ✓
$k = 2$ : $6 \times 2 + 1 = 13$ (số nguyên tố) ✓
$k = 3$ : $6 \times 3 + 1 = 19$ (số nguyên tố) ✓

b) Tìm số nguyên tố có dạng $6 k - 1$ với $k = 1, 2, 3$

$k = 1$ : $6 \times 1 - 1 = 5$ (số nguyên tố) ✓
$k = 2$ : $6 \times 2 - 1 = 11$ (số nguyên tố) ✓
$k = 3$ : $6 \times 3 - 1 = 17$ (số nguyên tố) ✓

✏️ Luyện tập

🔢 Thực hành: Số nguyên tố

Điểm: 0/0

Phân loại & kiểm tra số nguyên tố:

Phân tích 96 = ? (trả lời số thừa số nguyên tố khác nhau)

💡 Phân tích: 96 = 2^5 × 3. Các thừa số khác nhau: 2, 3.

💡 Ghi nhớ:

• Số nguyên tố: >1, chỉ 2 ước (1 và nó)
• Số 2: nguyên tố chẵn duy nhất
• Phân tích: chia liên tiếp cho số nguyên tố từ nhỏ đến lớn
• Dạng 6k±1: số nguyên tố >3 đều có dạng này
• Số nguyên tố < 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Câu 1 / 12

Dễ0 đã trả lời

Số nào là số nguyên tố?

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một lớp học có $23$ học sinh. Cô giáo muốn chia đều thành các nhóm (mỗi nhóm có ít nhất $2$ học sinh).

a) Có thể chia được không? Tại sao?

b) Nếu lớp có $24$ học sinh thì có thể chia thành bao nhiêu cách?

Giải:

a) $23$ là số nguyên tố, chỉ có hai ước là $1$ và $23$ .

Không thể chia đều thành các nhóm (trừ trường hợp $1$ nhóm $23$ học sinh hoặc $23$ nhóm mỗi nhóm $1$ học sinh).

b) $24 = 2^{3} \times 3$

Các ước của $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$

Các cách chia (loại $1$ và $24$ ):

$2$ nhóm, mỗi nhóm $12$ học sinh
$3$ nhóm, mỗi nhóm $8$ học sinh
$4$ nhóm, mỗi nhóm $6$ học sinh
$6$ nhóm, mỗi nhóm $4$ học sinh
$8$ nhóm, mỗi nhóm $3$ học sinh
$12$ nhóm, mỗi nhóm $2$ học sinh

Có 6 cách chia.

📝 Bài toán 2: Một cửa hàng có $60$ quyển vở. Người bán muốn xếp thành các gói, mỗi gói có số vở như nhau.

a) Phân tích $60$ ra thừa số nguyên tố.

b) Có bao nhiêu cách xếp? (Mỗi gói có ít nhất $2$ quyển)

Giải:

a) $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$

b) Các ước của $60$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$

Số cách xếp (loại $1$ và $60$ ): $10$ cách

📝 Bài toán 3: Một cửa hàng bánh mới mua về $37$ chiếc bánh (37 là số nguyên tố).

a) Có thể xếp đều $37$ chiếc bánh vào $3$ khay không?

b) Cần mua thêm ít nhất bao nhiêu chiếc bánh để xếp đều được vào $4$ khay?

c) Nếu cửa hàng có $35$ chiếc bánh (35 là hợp số), hãy kể các cách xếp đều (mỗi khay có ít nhất $2$ bánh).

Giải:

a) $37 = 3 \times 12 + 1$ (dư 1) ⇒ $37$ không chia hết cho $3$ . Không thể xếp đều vào 3 khay.

b) Số chia hết cho $4$ nhỏ nhất lớn hơn $37$ là $40 = 4 \times 10$ . Vậy cần thêm $40 - 37 = 3$ (bánh).

c) Ước của $35$ : $1, 5, 7, 35$ . Các cách xếp (mỗi khay ít nhất $2$ bánh):

$5$ khay, mỗi khay $7$ bánh.
$7$ khay, mỗi khay $5$ bánh.

Vậy có $2$ cách xếp đều.

⭐ Ghi nhớ

Số nguyên tố: Số tự nhiên $> 1$ , chỉ có đúng $2$ ước ( $1$ và chính nó)
Hợp số: Số tự nhiên $> 1$ , có nhiều hơn $2$ ước
Số 1: Không phải số nguyên tố, không phải hợp số
Số 2: Số nguyên tố chẵn duy nhất
Phân tích: Mọi số $> 1$ đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố
Số nguyên tố < 20: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$

📝 Bài tập tự luận (10 câu từ dễ đến khó)

Bài 1 (Dễ - Nhận biết): Phân loại các số sau (số nguyên tố, hợp số hay số đặc biệt):

a) $1$

b) $11$

c) $15$

d) $29$

Bài 2 (Dễ - Nhận biết): Kiểm tra các số sau có phải là số nguyên tố không:

a) $13$

b) $25$

c) $31$

d) $39$

Bài 3 (Dễ - Nhận biết): Viết các số nguyên tố nhỏ hơn $30$ .

Bài 4 (Thông hiểu): Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:

a) $18$

b) $36$

c) $48$

d) $72$

Bài 5 (Thông hiểu): Viết các số sau dưới dạng tích các thừa số nguyên tố:

a) $100$

b) $120$

c) $150$

d) $200$

Bài 6 (Thông hiểu): Tìm các số nguyên tố trong các khoảng sau:

a) Từ $20$ đến $30$

b) Từ $40$ đến $50$

c) Từ $60$ đến $70$

d) Từ $80$ đến $90$

Bài 7 (Vận dụng):

a) Tìm số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn $50$ .

b) Tìm hai số nguyên tố có tổng bằng $20$ .

c) Chứng tỏ hai số nguyên tố liên tiếp duy nhất là $2$ và $3$ .

Bài 8 (Vận dụng thực tế): Một lớp học có $43$ học sinh.

a) Cô giáo có thể chia đều thành các nhóm (mỗi nhóm ít nhất $2$ học sinh) được không? Vì sao?

b) Nếu nhận thêm $5$ học sinh thì có thể chia đều thành $4$ nhóm được không?

Bài 9 (Vận dụng): Biết $a = 2^{3} t im es 3^{2}$ và $b = 2^{4} t im es 5$ .

a) Hỏi $a$ có bao nhiêu ước tự nhiên?

b) Hỏi $b$ có bao nhiêu ước tự nhiên?

Bài 10 (Vận dụng cao): Tìm số nguyên tố $p$ nhỏ nhất sao cho cả ba số $p$ , $p + 2$ , $p + 4$ đều là số nguyên tố.

📖 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT 10 BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: a) $1$ chỉ có một ước là $1$ ⇒ số đặc biệt (không nguyên tố, không hợp số).

b) $11$ có hai ước $1$ và $11$ ⇒ số nguyên tố.

c) $15 = 3 \times 5$ có 4 ước ⇒ hợp số.

d) $29$ có hai ước $1$ và $29$ ⇒ số nguyên tố.

Bài 2: a) $13$ : $13 \approx 3, 6$ ; $13$ không chia hết cho $2, 3$ ⇒ là số nguyên tố.

b) $25 = 5^{2}$ ⇒ không phải số nguyên tố (là hợp số).

c) $31$ : $31 \approx 5, 6$ ; $31$ không chia hết cho $2, 3, 5$ ⇒ là số nguyên tố.

d) $39 = 3 \times 13$ ⇒ không phải số nguyên tố (là hợp số).

Bài 3: Các số nguyên tố nhỏ hơn $30$ : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ .

Bài 4: a) $18 = 2 \times 3^{2}$ .

b) $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ .

c) $48 = 2^{4} \times 3$ .

d) $72 = 2^{3} \times 3^{2}$ .

Bài 5: a) $100 = 2^{2} \times 5^{2}$ .

b) $120 = 2^{3} \times 3 \times 5$ .

c) $150 = 2 \times 3 \times 5^{2}$ .

d) $200 = 2^{3} \times 5^{2}$ .

Bài 6: a) Từ $20$ đến $30$ : $23, 29$ .

b) Từ $40$ đến $50$ : $41, 43, 47$ .

c) Từ $60$ đến $70$ : $61, 67$ .

d) Từ $80$ đến $90$ : $83, 89$ .

Bài 7: a) Các số nguyên tố nhỏ hơn $50$ : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$ . Số lớn nhất là $47$ .

b) Các cặp số nguyên tố có tổng bằng $20$ : $3 + 17 = 20$ và $7 + 13 = 20$ .

c) Hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn. Nếu cả hai đều là số nguyên tố thì số chẵn đó phải là $2$ (số nguyên tố chẵn duy nhất). Số liền sau của $2$ là $3$ , cũng là số nguyên tố. Vậy hai số nguyên tố liên tiếp duy nhất là $2$ và $3$ .

Bài 8: a) $43$ là số nguyên tố, chỉ có hai ước $1$ và $43$ . Vậy không thể chia đều thành các nhóm (mỗi nhóm ít nhất $2$ học sinh).

b) Thêm $5$ học sinh: $43 + 5 = 48 = 4 \times 12$ . Vậy có thể chia đều thành $4$ nhóm, mỗi nhóm $12$ học sinh.

Bài 9: a) $a = 2^{3} \times 3^{2}$ . Số ước: $(3 + 1) \times (2 + 1) = 4 \times 3 = 12$ (ước).

b) $b = 2^{4} \times 5$ . Số ước: $(4 + 1) \times (1 + 1) = 5 \times 2 = 10$ (ước).

Bài 10: Thử lần lượt các số nguyên tố $p$ từ nhỏ đến lớn:

$p = 2$ : $p + 2 = 4$ là hợp số (loại).
$p = 3$ : $p + 2 = 5$ , $p + 4 = 7$ đều là số nguyên tố ✓.

Đáp số: $p = 3$ .

(Nhận xét: với $p > 3$ , trong ba số $p$ , $p + 2$ , $p + 4$ luôn có một số chia hết cho $3$ , nên không thể cả ba cùng nguyên tố.)