Bài 1: Tập hợp

📚 I. LÝ THUYẾT BÀI HỌC

1. Khái niệm Tập hợp & Phần tử của tập hợp

Ví dụ 1: Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5.

• Ta có $A=\{0;1;2;3;4\}$.
• Các số $0,1,2,3,4$ là phần tử của $A$, nên $0\in A,3\in A$.
• Số $7$ không thuộc $A$, nên $7\notin A$.

Ví dụ 2: Gọi $B$ là tập hợp các chữ cái xuất hiện trong từ “TOÁN”.

• $B=\{\text{T},\text{O},\text{Aˊ},\text{N}\}$.
• Ta có: $\text{T}\in B,\text{N}\in B$.
• Ký hiệu $\text{H}\notin B,\text{M}\notin B$.

Ví dụ 3: Cho tập hợp $C=\{2;3;5;7\}$. Hãy kiểm tra các phát biểu sau: a) $3\in C$      b) $4\in C$      c) $7\in C$      d) $9\notin C$

• Lời giải: Phát biểu a), c), d) đúng. Phát biểu b) sai vì $4$ không nằm trong tập hợp $C$ (viết đúng là $4\notin C$).

🎨 Hình vẽ minh họa 1: Tập hợp và các phần tử trong/ngoài tập hợp

2. Các cách cho (mô tả) một tập hợp

Để cho một tập hợp, người ta thường dùng 2 cách:

Ví dụ 1: Cho tập hợp $M$ các số tự nhiên nhỏ hơn 6.

• Cách 1 (Liệt kê): $M=\{0;1;2;3;4;5\}$.
• Cách 2 (Tính chất đặc trưng): $M=\{x\in \mathbb{N}\mid x<6\}$.

Ví dụ 2: Viết tập hợp các chữ cái trong từ “HỌC SINH”.

• Các chữ cái gồm: H, Ô, C, S, I, N, H.
• Vì chữ H xuất hiện 2 lần nên ta chỉ viết 1 lần.
• Kết quả: $K=\{\text{H},\text{Oˆ},\text{C},\text{S},\text{I},\text{N}\}$.

Ví dụ 3: Viết tập hợp $P=\{x\in \mathbb{N}\mid 10<x\le 15\}$ bằng cách liệt kê các phần tử.

• Lời giải: Các số tự nhiên $x$ thỏa mãn lớn hơn 10 và nhỏ hơn hoặc bằng 15 là: 11, 12, 13, 14, 15.
• Vậy $P=\{11;12;13;14;15\}$.

🎨 Hình vẽ minh họa 2: Hai cách biểu diễn cùng một tập hợp

3. Tập hợp các số tự nhiên $\mathbb{N}$ và ${\mathbb{N}}^{\ast }$

Nhận xét:

• Số $0\in \mathbb{N}$ nhưng $0\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$.
• Mọi phần tử thuộc ${\mathbb{N}}^{\ast }$ đều thuộc $\mathbb{N}$ (ta nói ${\mathbb{N}}^{\ast }$ là tập hợp con của $\mathbb{N}$, ký hiệu ${\mathbb{N}}^{\ast }\subset \mathbb{N}$).

Ví dụ 1: Điền ký hiệu $\in$ hoặc $\notin$ vào ô trống: a) $5\mathbb{N}$      b) $0{\mathbb{N}}^{\ast }$      c) $0\mathbb{N}$

• Lời giải: a) $5\in \mathbb{N}$      b) $0\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$      c) $0\in \mathbb{N}$

Ví dụ 2: Viết tập hợp $E=\{x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid x\le 4\}$ bằng cách liệt kê.

• Lời giải: $x$ thuộc ${\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $x$ lấy các giá trị từ $1$. Các số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn hoặc bằng 4 là: 1, 2, 3, 4.
• Vậy $E=\{1;2;3;4\}$.

Ví dụ 3: Viết tập hợp $F=\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 4\}$ bằng cách liệt kê.

• Lời giải: Vì $x\in \mathbb{N}$ nên $x$ lấy từ số $0$.
• Vậy $F=\{0;1;2;3;4\}$.

🎨 Hình vẽ minh họa 3: Quan hệ giữa $\mathbb{N}$ và ${\mathbb{N}}^{\ast }$ trên tia số

4. Biểu diễn tập hợp bằng Sơ đồ Venn & Số phần tử của tập hợp

Ví dụ 1: Tính số phần tử của tập hợp $A=\{5;6;7;...;45\}$.

• Lời giải: Đây là tập hợp các số tự nhiên liên tiếp từ $5$ đến $45$ (khoảng cách $d=1$).
• Số phần tử của $A$ là: $(45-5):1+1=41$ phần tử.

Ví dụ 2: Tính số phần tử của tập hợp $B=\{2;4;6;8;...;100\}$.

• Lời giải: Đây là tập hợp các số chẵn từ $2$ đến $100$ (khoảng cách $d=2$).
• Số phần tử của $B$ là: $(100-2):2+1=50$ phần tử.

Ví dụ 3: Cho tập hợp $X=\{x\in \mathbb{N}\mid x+5=2\}$. Tìm số phần tử của tập hợp $X$.

• Lời giải: Trong tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$, không có số $x$ nào thỏa mãn $x+5=2$.
• Do đó $X$ không có phần tử nào, $X=\varnothing$. Vậy số phần tử của $X$ bằng $0$.

🎨 Hình vẽ minh họa 4: Sơ đồ Venn biểu diễn tập hợp $A=\{1;3;5;7\}$

🎯 II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

📌 Dạng 1: Nhận biết tập hợp và kiểm tra phần tử thuộc / không thuộc tập hợp

Phương pháp giải:

1. Đọc kỹ mô tả hoặc các phần tử của tập hợp $A$.
2. Kiểm tra đối tượng $x$ có nằm trong tập hợp $A$ hay không:
   • Nếu có $x$ trong $A$ $\Rightarrow x\in A$.
   • Nếu không có $x$ trong $A$ $\Rightarrow x\notin A$.

Ví dụ 1: Cho tập hợp $M=\{3;5;7;9;11\}$. Hãy điền ký hiệu thích hợp ($\in$ hoặc $\notin$) vào ô trống: a) $5M$        b) $6M$        c) $11M$        d) $0M$

Lời giải:

• a) $5\in M$ (vì $5$ có trong $M$).
• b) $6\notin M$ (vì $6$ không có trong $M$).
• c) $11\in M$ (vì $11$ có trong $M$).
• d) $0\notin M$ (vì $0$ không có trong $M$).

Ví dụ 2: Gọi $P$ là tập hợp các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10. a) Hãy viết tập hợp $P$. b) Trong các số $2,5,7,10$, số nào thuộc $P$, số nào không thuộc $P$? Sử dụng ký hiệu $\in ,\notin$.

Lời giải: a) $P=\{1;3;5;7;9\}$. b) Ta có: $5\in P,7\in P$, còn $2\notin P,10\notin P$.

Ví dụ 3: Cho tập hợp $Q=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ chia heˆˊt cho }5\text{ vaˋ }x<25\}$. Khẳng định nào sau đây là đúng? a) $15\in Q$        b) $20\notin Q$        c) $25\in Q$

Lời giải:

• Liệt kê tập hợp $Q=\{0;5;10;15;20\}$.
• a) $15\in Q$ là ĐÚNG.
• b) $20\notin Q$ là SAI (vì $20\in Q$).
• c) $25\in Q$ là SAI (vì $x<25$ nên không lấy $25$).

📌 Dạng 2: Viết tập hợp bằng hai cách (Liệt kê & Tính chất đặc trưng)

Phương pháp giải:

• Chuyển từ Tính chất đặc trưng $\to$ Liệt kê: Tìm tất cả các giá trị $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài rồi viết trong $\{\}$, ngăn cách bằng ;.
• Chuyển từ Liệt kê $\to$ Tính chất đặc trưng: Nhận xét quy luật chung của các phần tử (chẳng hạn: số tự nhiên liên tiếp, số chẵn, số lẻ, số chia hết cho $k$, nằm trong khoảng $[a,b]...$).

Ví dụ 1: Cho tập hợp $A=\{x\in \mathbb{N}\mid 7<x\le 12\}$. a) Viết tập hợp $A$ bằng cách liệt kê các phần tử. b) Tập hợp $A$ có bao nhiêu phần tử?

Lời giải: a) $x$ là các số tự nhiên lớn hơn $7$ và nhỏ hơn hoặc bằng $12$, gồm: $8,9,10,11,12$. $\Rightarrow A=\{8;9;10;11;12\}$. b) Tập hợp $A$ có $5$ phần tử.

Ví dụ 2: Viết tập hợp $B=\{10;12;14;16;18\}$ bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

Lời giải:

• Các phần tử $10,12,14,16,18$ đều là các số tự nhiên chẵn, lớn hơn $8$ và nhỏ hơn $20$ (hoặc từ $10$ đến $18$).
• Cách viết 1: $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ laˋ soˆˊ cha˘˜n, }9<x<19\}$.
• Cách viết 2: $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x\text{ chia heˆˊt cho }2,10\le x\le 18\}$.

Ví dụ 3: Viết tập hợp các chữ cái tiếng Việt trong cụm từ “NHA TRANG”.

Lời giải:

• Các chữ cái trong cụm từ “NHA TRANG” gồm: N, H, A, T, R, A, N, G.
• Loại bỏ các chữ cái lặp lại (N xuất hiện 2 lần, A xuất hiện 2 lần).
• Vậy tập hợp các chữ cái là: $C=\{\text{N},\text{H},\text{A},\text{T},\text{R},\text{G}\}$.

📌 Dạng 3: Xác định số phần tử của tập hợp - Đếm số

Phương pháp giải:

• Áp dụng công thức đếm số phần tử của dãy số cách đều $d$ đơn vị: $\text{Soˆˊ phaˆˋn tử}=\frac{\text{Soˆˊ cuoˆˊi}-\text{Soˆˊ đaˆˋu}}{\text{Khoảng caˊch}}+1$
• Nếu tập hợp cho dưới dạng điều kiện, hãy tìm số đầu và số cuối thỏa mãn điều kiện đó trước.

Ví dụ 1: Tính số phần tử của tập hợp các số tự nhiên lẻ có hai chữ số.

Lời giải:

• Số tự nhiên lẻ có 2 chữ số nhỏ nhất là $11$ (số đầu).
• Số tự nhiên lẻ có 2 chữ số lớn nhất là $99$ (số cuối).
• Khoảng cách giữa hai số lẻ liên tiếp là $d=2$.
• Vậy tập hợp đó có số phần tử là: $(99-11):2+1=88:2+1=45$ phần tử.

Ví dụ 2: Cho tập hợp $D=\{x\in \mathbb{N}\mid 15\le x\le 135\text{ vaˋ }x\text{ chia heˆˊt cho }3\}$. Tập hợp $D$ có bao nhiêu phần tử?

Lời giải:

• Số tự nhiên nhỏ nhất $\ge 15$ chia hết cho 3 là $15$ (số đầu).
• Số tự nhiên lớn nhất $\le 135$ chia hết cho 3 là $135$ (số cuối).
• Khoảng cách giữa các số chia hết cho 3 liên tiếp là $d=3$.
• Số phần tử của tập hợp $D$ là: $(135-15):3+1=120:3+1=41$ phần tử.

Ví dụ 3: Tìm số phần tử của tập hợp $E=\{x\in \mathbb{N}\mid x\cdot 0=0\}$.

Lời giải:

• Với mọi số tự nhiên $x\in \mathbb{N}$, phép nhân $x\cdot 0$ luôn bằng $0$.
• Do đó mọi số tự nhiên đều là phần tử của tập hợp $E$.
• Vậy tập hợp $E$ có vô số phần tử.

📌 Dạng 4: Biểu diễn sơ đồ Venn và các bài toán liên quan đến tập hợp con / tập rỗng

Phương pháp giải:

• Vẽ vòng kín đại diện cho tập hợp.
• Điền các phần tử thuộc tập hợp vào bên trong vòng kín.
• Tập hợp $A$ gọi là tập hợp con của tập hợp $B$ (ký hiệu $A\subset B$) nếu mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$.

Ví dụ 1: Cho hai tập hợp $A=\{1;2;3;4;5\}$ và $B=\{2;4\}$. a) Biểu diễn hai tập hợp $A$ và $B$ bằng sơ đồ Venn. b) Cho biết mối quan hệ giữa hai tập hợp $A$ và $B$.

Lời giải: a) Vẽ vòng tròn lớn biểu diễn tập $A$, bên trong chứa vòng tròn nhỏ biểu diễn tập $B=\{2;4\}$. Các phần tử $1,3,5$ nằm ngoài vòng $B$ nhưng trong vòng $A$. b) Mọi phần tử của $B$ ($2$ và $4$) đều thuộc $A$, do đó $B$ là tập hợp con của $A$, ký hiệu $B\subset A$.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp $X=\{a;b\}$.

Lời giải: Các tập hợp con của $X$ gồm:

• Tập hợp con không có phần tử nào: $\varnothing$.
• Các tập hợp con có 1 phần tử: $\{a\},\{b\}$.
• Tập hợp con có 2 phần tử (chính là $X$): $\{a;b\}$. Vậy $X$ có tất cả $4$ tập hợp con.

Ví dụ 3: Cho tập hợp $M=\{x\in \mathbb{N}\mid x<5\}$ và $N=\{x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid x\le 4\}$. So sánh hai tập hợp $M$ và $N$.

Lời giải:

• Liệt kê tập hợp $M=\{0;1;2;3;4\}$ (có 5 phần tử).
• Liệt kê tập hợp $N=\{1;2;3;4\}$ (có 4 phần tử).
• Ta thấy mọi phần tử của $N$ đều thuộc $M$, nhưng $0\in M$ mà $0\notin N$.
• Do đó $N\subset M$ và $M\ne N$.