Bài 1
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)
Gợi ý:
\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} – {x^3}y – x{y^3} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {x^3}(x – y) + {y^3}(y – x) \ge 0 \Leftrightarrow (x – y)({x^3} – {y^3}) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {(x – y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0 \Leftrightarrow {(x – y)^2}({(x + {y \over 2})^2} + {{3{y^2}} \over 4}) \ge 0\) (đúng)
Bài 2
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)
Bài giải
Từ \({1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \) và \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) suy ra
\((a + b)({1 \over a} + {1 \over b}) \ge 4\) hay \({1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)
Bài 3
trang 106 SBT SBT Đại số 10
Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:
\({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)
Đáp án
Từ \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) và \(c + d \ge 2\sqrt {cd} \)suy ra
\(a + b + c + d \ge 2(\sqrt {ab} + \sqrt {cd} )\)
\( = > 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } \)
=> \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)
=> \(a + b + c + d \ge 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } \)
=> \({{a + b + c + d} \over 4} \ge \root 4 \of {abcd} \)
Bài 4
Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện \({a^3} > 36\) và abc = 1
Xét tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} – {\rm{a}}x – 3ac + {{{a^2}} \over 3}\)
a) Chứng minh rằng \(f(x) > 0,\forall x\);
b) Từ câu a) suy ra \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.\)
Bài làm
a) f(x) có
\(\eqalign{
& \Delta = {a^2} – 4( – 3bc + {{{a^2}} \over 3}) = {{ – {a^2}} \over 3} + 12bc \cr
& = {{ – {a^2}} \over 3} + {{12abc} \over a} = {{ – {a^2}} \over 3} + {{12} \over a} \cr} \)
\( = {{36 – {a^3}} \over {3a}} < 0\) (do giả thiết \({a^3} > 36\))
=> \(f(x) > 0,\forall x\)
b) \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca\)
\( \Leftrightarrow {{{a^2}} \over 3} + {(b + c)^2} – 2bc > bc + a(b + c)\)
\( \Leftrightarrow {(b + c)^2} – a(b + c) – 3bc + {{{a^2}} \over 3} > 0\)
\( \Leftrightarrow f(b + c) > 0\) đúng vì \(f(x) > 0,\forall x.\)
Bài 5
Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m.
\((m – 1).\sqrt x \le 0\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện của bất phương trình là \(x \ge 0\)
Nếu \(m \le 1\) \(m – 1 \le 0\) , bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0\)
Nếu m > 1 thì m – 1 > 0, bất phương trình đã cho tương đương với
\(\sqrt x \le 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Trả lời: Nếu \(m \le 1\) thì tập nghiệm của bất phương trình là \({\rm{[}}0; + \infty )\)
Nếu m > 1 thì tập nghiệm của bất phương trình là {0}
Bài 6
Tìm a và b để bất phương trình
\((x – 2a + b – 1)(x + a – 2b + 1) \le 0\)
Có tập nghiệm là đoạn [0;2].
Lời giải
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là đoạn \({\rm{[}}2a – b + 1; – a + 2b – 1]\) (nếu \(2a – b + 1 \le – a + 2b – 1\)) hoặc là đoạn \({\rm{[}} – a + 2b – 1;2a – b + 1]\) (nếu \( – a + 2b – 1 \le 2a – b – 1\))
Do đó để tập nghiệm của bất phương trình đã cho là đoạn [0;2], điều kiện cần và đủ là:
\((1)\,\left\{ \matrix{
2a – b + 1 = 2 \hfill \cr
– a + 2b – 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)
hoặc
\((2)\,\left\{ \matrix{
2a – b + 1 = 0 \hfill \cr
– a + 2b – 1 = 2. \hfill \cr} \right.\)
Giải (1) ta được a = b = 1. Giải hệ (2) ta được \(a = {1 \over 3},b = {5 \over 3}\)
Đáp số: a = b = 1 hoặc \(a = {1 \over 3},b = {5 \over 3}\)
Bài 7
Tìm a và b (b > -1) để hai bất phương trình sau tương đương
\((x – a + b)(x + 2a – b – 1) \le 0\) (1)
Và \(\left| {x + a – 2} \right| \le b + 1.\) (2)
Gợi ý làm bài
(1) \( \Leftrightarrow x \in {\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}}\), trong đó
\(\left\{ \matrix{
\alpha = a – b \hfill \cr
\beta = – 2a + b + 1 \hfill \cr} \right.\)
hoặc
\(\left\{ \matrix{
\alpha = – 2a + b + 1 \hfill \cr
\beta = a – b. \hfill \cr} \right.\)
(2) \( \Leftrightarrow – (b + 1) \le x + a – 2 \le b + 1\)
\(\Leftrightarrow – b – a + 1 \le x \le – a + b + 3\)
\(\Leftrightarrow x \in {\rm{[}} – b – a + 1; – a + b + 3]\)
(1) và (2) tương đương khi và chỉ khi \({\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}} = {\rm{[}} – b – a + 1; – a + b + 3]\), tức là:
\(\left\{ \matrix{
\alpha = – b – a + 1 \hfill \cr
\beta = – a + b + 3 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow (3)\left\{ \matrix{
a – b = – b – a + 1 \hfill \cr
– 2a + b + 1 = – a + b + 3 \hfill \cr} \right.\)
hoặc
\(\left\{ \matrix{
– 2a + b + 1 = – b – a + 1 \hfill \cr
a – b = – a + b + 3 \hfill \cr} \right.\)
Hệ phương trình (3) vô nghiệm. Hệ phương trình (4) có nghiệm duy nhất \(a = 3,b = {3 \over 2}\)
Đáp số: \(a = 3,b = {3 \over 2}\).
Bài 8
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
\(y = 4{x^3} – {x^4}\) với \(0 \le x \le 4\)
Bài giải
\(y = 4{x^3} – {x^4} = {x^3}(4 – x)\)
=> \(3y = x.x.x(12 – 3x) \le {({{x + x} \over 2})^2}{({{x + 12 – 3x} \over 2})^2}\)
\( = > 48 \le {{\rm{[}}2x(12 – 2x){\rm{]}}^2} \le {({{2x + 12 – 2x} \over 2})^4} = {6^4}\)
\( = > y \le {{{6^4}} \over {48}} = 27,\forall x \in {\rm{[}}0;4]\)
\(y = 27 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = x \hfill \cr
x = 12 – 3x \hfill \cr
2x = 12 – x \hfill \cr
x \in {\rm{[}}0;4] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 3.\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 27 đạt được khi x = 3.
Bài 9
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó
\(y = \sqrt {x – 1} + \sqrt {5 – x} \)
Bài giải
Vế phải có nghĩa khi \(1 \le x \le 5\)
Ta có: \({y^2} = {(\sqrt {x – 1} + \sqrt {5 – x} )^2} = 4 + 2\sqrt {(x – 1)(5 – x)} \)
=> \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{y^2} \ge 4,\forall x \in {\rm{[}}1;5] \hfill \cr
{y^2} \le 4 + (x – 1) + (5 – x) = 8 \hfill \cr} \right. \cr
& = > \left\{ \matrix{
y \ge 2 \hfill \cr
y \le 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\forall x \in {\rm{[}}1;5] \cr} \)
Hơn nữa \(y = 2 \Leftrightarrow (x – 1)(5 – x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 1 \hfill \cr x = 5 \hfill \cr} \right.$\)
\(y = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow x – 1 = 5 – x \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(2\sqrt 2 $\) khi x = 3, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2 khi x = 1 hoặc x = 5.
Để lại phản hồi