Lý thuyết Bài 1: Không gian mẫu và biến cố – Chân trời

Lý thuyết Bài 1: Không gian mẫu và biến cố – Chân trời
============

1.1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Chú ý: Trong chương này ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn phần tử

Ví dụ:  Một đồng xu có hai mặt, trên một mặt có ghi giá trị của đồng xu, thường gọi là mặt sắp, mặt kia là mặt ngửa. Hãy xác định không gian mẫu của mỗi phép thử ngẫu nhiên sau:

a) Tung đồng xu một lần

b) Tung đồng xu hai lần

Giải

a) Khi tung đồng xu một lần, ta có không gian mẫu là \(\Omega \) = {S; X}, trong đó kí hiệu S đề chỉ đồng xu xuất hiện mặt sấp và N để chỉ đồng xu xuất hiện mặt ngửa

b) Khi tung đồng xu hai lần, ta có không gian mẫu là \(\Omega \) = {SS; SN; NS; VM}

Ở đây ta quy ước SN có nghĩa là lần đầu tung được mặt sấp, lần sau tung được mặt ngửa.

Các kí hiệu SS, NS, NN được hiểu một cách tương tự.

1.2. Biến cố

Ví dụ:  Xét phép thử gieo hai con xúc xắc.

a) Hãy xác định không gian mẫu của phép thử.

b) Viết tập hợp mô tả biên cố “Tổng số châm xuât hiện trên hai con xúc xắc bằng 4”. Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố đó?

Giải

a) Kết quả của phép thử là một cấp số (i; j), trong đó i và j lần lượt là số chấm xuât hiện trên con xúc xác thứ nhất và thứ hai

Không gian mẫu của phép thứ là:

\(\Omega \) = (1;1); (1;2); 1; 3); (1; 4; (1; 5); (1; 6;

  (2; 1); (2; 2); (2; 3); 2; 4); (2; 5): (2; 6);

  (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6),

  (4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4: 6);

  (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5): (5; 6);

   (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6)}

Ta cũng có thể viết không gian mẫu dưới đạng:

\(\Omega  = \left\{ {\left( {i;j} \right)|i,j = 1,2,…6} \right\}\)

b) Gọi A là biên cô “Tổng số châm xuất hiện bằng 4”. Tập hợp mô tả biến cố A là

\(A = \left\{ {\left( {1;3} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;1} \right)} \right\}\)

Như vậy có ba kêt quả thuận lợi cho biên cố A

Đôi khi ta cần dùng các quy tắc đêm và công thức tổ hợp đề xác định số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuân lợi cho mỗi biến cố.

Ví dụ: Một nhóm có 5 bạn nam và 4 bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên cùng một lúc ra 3 bạn đi làm công tác tình nguyện.

a) Hãy xác định số phần tử của không gian mẫu.

b) Hãy xác định số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 3 bạn được chọn có đúng 2 bạn nữ”.

Giải

a) Do ta chọn ra 3 bạn khác nhau từ 9 bạn trong nhóm và không tính đến thứ tự nên số phần tử của không gian mẫu là \(C_9^3 = 84\).

b) Ta có \(C_4^2\) cách chọn ra 2 bạn nữ từ 4 bạn nữ. Ứng với mỗi cách chọn 2 bạn nữ có \(C_5^1\) cách chọn ra 1 bạn nam từ 5 bạn nam.

Theo quy tắc nhân ta có tất cả \(C_4^2C_5^1\) cách chọn ra 2 bạn nữ và 1 bạn nam từ nhóm bạn.

Do đó số các kết quả thuận lợi cho biến cố ‘“Trong 3 bạn chọn ra có đúng 2 bạn nữ” là \(C_4^2C_5^1 = 30\)

Câu 1:  Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp ở ví dụ 2, xem số, sau đó trả lại hộp, trộn đều rồi lại lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp đó. Hãy xác định không gian mẫu của phép thử hai lần lấy bóng này.

Hướng dẫn giải

Do lần đầu tiên lấy bóng sau đó trả lại hộp nên lần hai có thể lấy 1 trong 4 quả bóng và hai lần lấy lần lượt nên ta cần phải tính đến thứ tự lấy bóng. Nếu lần đầu lấy được bóng 1 và lần hai lấy được bóng 3 thì ta sẽ kí hiệu kết quả của phép thử là cặp (1; 3). Khi đó không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega  = \left\{ \begin{array}{l}(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);\\(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);(4;1);(4;2);(4;3);(4;4)\end{array} \right\}\)

Câu 2:  Trong một phép thử gieo hai con xúc xắc, gọi B là biến cố “Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm” và C là biến cố “Số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ nhất gấp hai lần số chấm xuất hiện ở con xúc xắc thứ hai”

a) Hãy xác định biến cố B và C bằng cách liệt kê các phần tử

b) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho B và bao nhiêu kết quả thuận lợi cho C?

Hướng dẫn giải

a) Kết quả của phép thử là một cặp số (a;b) trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai, suy ra:

\(B = \left\{ {(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)} \right\}\)

\(C = \left\{ {(2;1),(4;2),(6;3)} \right\}\)

b) Từ tập hợp mô tả biến cố ở câu a) ta có:

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến  cố B

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố C

===========
Chuyên mục: Chương 10: Xác suất