Giải SGK Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân – CTST

GIẢI CHI TIẾT Giải SGK Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân – SÁCH GIÁO KHOA CHÂN TRỜI SÁNG TẠO

================
Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 3: Cấp số nhân
Bài tập
Bài 1 trang 60 Toán 11 Tập 1:Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
a) u_n= 3.(– 2)ⁿ;
b) u_n= (– 1)ⁿ.7ⁿ;
c)
Lời giải:
a) Ta có:
u₁= 3.(0 – 2)¹= 3.(– 2) = – 6.
u_n+1= 3.(– 2)ⁿ⁺¹= 3.(– 2)ⁿ.(– 2) = u_n.( – 2).
Vậy dãy số u_n= 3.(– 2)ⁿlà một cấp số nhân có số hạng đầu là u₁= – 6 và công sai d = – 2.
b) Ta có:
u₁= (– 1)¹.7¹= – 7;
u_{n + 1}= (– 1)ⁿ⁺¹.7ⁿ⁺¹= (– 1)ⁿ.(– 1).7ⁿ.7 = u_n.(– 7).
Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân có số hạng đầu là u₁= – 7 và công sai d = – 7.
c) Ta có: <$u_n=1$; u_n+1= 5; u_n+2= 13, …
Dãy số này không phải cấp số nhân vì$u_{n+1}\ne \sqrt{u_n.u_{n+2}}$.
Bài 2 trang 60 Toán 11 Tập 1:Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u_n), biết:
a);
b).
Lời giải:
a)
Xét

Vì u₅≠ 0 nên loại q = 0 do đó q =$\frac{3}{2}$thỏa mãn.
$\Rightarrow$u₁== 15$\iff$u₁=$\frac{48}{13}$.
Vậy dãy số có số hạng đầu là$u_1=\frac{48}{13}$và công sai q =$\frac{3}{2}$.
b)

Lấy vế với vế của (1) chia cho (3) ta được
$\frac{1-q^2+q^4}{1+q^6}=\frac{1}{5}\iff 5-5q^2+5q^4=1+q^6$.
⇔ q⁶– 5q⁴+ 5q²– 4 = 0
⇔ q⁶– 4q⁴– q⁴+ 4q²+ q²– 4 = 0
⇔ q⁴(q²– 4) – q²(q²– 4) + q²– 4 = 0
⇔ (q²– 4)(q⁴– q²+ 1) = 0
⇔
⇔ q =$\pm$2 hoặc q⁴– q²+ 1 = 0 (vô lí)
Với q = 2 thì u₁= 5.
Với q = – 2 thì u₁= 5.
Vậy cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu là u₁= 5 và công bội là q = 2 hoặc số hạng đầu là u₁= 5 và công bội là q = – 2.
Bài 3 trang 60 Toán 11 Tập 1: a) Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
b) Viết sáu số xen giữa các số – 2 và 256 để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 là bao nhiêu?
Lời giải:
a) Gọi số đo bốn góc của một tứ giác được lập thành một cấp số nhân có công bội q theo thứ tự từ bé đến lớn là: α; β; γ; φ.
Ta có: β = αq, γ = α.q², φ = α.q³_.
Ta lại có: φ = 8α nên q³= 8 ⇔ q = 2.
Do đó cấp số cộng trên trở thành: α; 2α; 4α; 8α.
Tổng bốn góc trong tứ giác bằng 360° nên α + 2α + 4α + 8α = 360°
⇔ 15α = 360°
⇔ α = 24°
Vậy số đo của các góc trong tứ giác lần lượt là 24°; 48°; 72°; 96°.
b) Cấp số nhân đã cho có u₁= – 2 và u₈= 256.
Ta có: u₈= u₁q⁷= (– 2).q⁷= 256
⇔ q = – 2
Suy ra các số hạng xen giữa hai số – 2 và 256 là: 4; – 8; 16; – 32; 64; – 128.
Số hạng thứ 15 của dãy là: u₁₅= (– 2).( – 2)¹⁴= (– 2)¹⁵= 0 – 32 768.
Bài 4 trang 60 Toán 11 Tập 1:Ba số$\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Lời giải:
Ta có:$\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$là một cấp số cộng nên ta có:
$\frac{1}{b}-\frac{2}{b-a}=\frac{2}{b-c}-\frac{1}{b}$

$\iff$(-a-b)(b-c) = (b+c)(b-a)
⇔ – ab + ac – b²+ bc = b²– ab + bc – ac
⇔ 2b²– 2ac = 0
⇔ b²= ac.
Bài 5 trang 60 Toán 11 Tập 1:Tính các tổng sau:
a)$S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{3^n}$;

Lời giải:
Dãy số$1;\frac{1}{3};\frac{1}{3^2};\mathrm{\dots };\frac{1}{3^n}$lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u₁= 1 và công bội q =$\frac{1}{3}$.
Khi đó tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân là:
$S_n=\frac{n\left(1+\frac{1}{3^n}\right)}{2}=\frac{\left(3^n+1\right)n}{{2.3}^n}$.
Bài 6 trang 60 Toán 11 Tập 1:Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi khuẩn có trong ống nghiệm sau 20 phút.

Lời giải:
Số lượng vi khuẩn sau mỗi phút lập thành một cấp số nhân (u_n), với số hạng đầu u₁= 1, công bội q = 2.
Suy ra số hạng tổng quát u_n= 2^n-1.
Vậy sau 20 phút số lượng vi khuẩn trong ống nghiệm là: u₂₀= 2¹⁹(vi khuẩn).
Bài 7 trang 61 Toán 11 Tập 1:Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75 a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.
b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?
Lời giải:
Số dân của thành phố qua các năm với tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75 a) Dự đoán dân số của thành phố vào năm 2032 là:
u₁₁= 2,1.(1,0075)¹⁰≈ 2,3 triệu người.
b) Dân số của năm thứ n (so với năm 2022) là: 2.2,1 = 4,2 (triệu người).
Ta có: u_n= 2,1.(1,0075)^n-1= 4,2
⇒ n – 1 ≈ 93
Vậy ước tính vào năm 2022 + 93 = 2115 thì dân số thành phố đó gấp đôi so với năm 2022.
Bài 8 trang 61 Toán 11 Tập 1:Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60 a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba.
b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu.

Lời giải:
Độ cao nảy ngược lên của người chơi bungee sau mỗi lần thực hiện cú nhảy lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu tiên u₁= 9 và công bội q = 0,06.
Suy ra số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n= 9.(0,06)^n-1.
a) Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần thứ 3 là:
u₃= 9.(0,06)²= 1,994.10^-3(m).
b) Tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu là tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân và bằng:$S_5=\frac{9.\left(1-0,{06}^5\right)}{1-0,06}\approx 9,6$.

==== ~~~~~~ ====

=============
THUỘC: Giải bài tập Toán 11 – CHÂN TRỜI SÁNG TẠO