Giải SBT Bài 1: Đại cương về phương trình – Chương 3 – Đại số 10

Bài 1 trang 57 SBT Toán Đại số 10

Viết điều kiện của các phương trình sau

a) \(\sqrt {2x + 1}  = {1 \over x}\)

b) \({{x + 2} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }} = 3{x^2} + x + 1\)

c) \({x \over {\sqrt {x – 1} }} = {2 \over {\sqrt {x + 3} }}\)

d) \({{2x + 3} \over {{x^2} – 4}} = \sqrt {x + 1} \)

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge  – {1 \over 2}\) và \(x \ne 0\)

b) \(\forall x \in R\)

c) Biểu thức vế trái có nghĩa khi x > 1 và biểu thức vế phải có nghĩa khi . Từ đó suy ra điều kiện của phương trình là x > 1.

d) Điều kiện của phương trình là \(x \ge  – 1,x \ne 2\) và \(x \ne  – 2\) . Vì x > -1 thì \(x \ne 2\) . Vì x > -1 thì \(x \ne  – 2\) suy ra điều kiện của phương trình là \(x \ge  – 1,x \ne 2\)

Bài 2 trang 57 SBT Toán Đại số lớp 10

Xác định tham số m để các cặp phương trình sau tương đương

a) \(x + 2 = 0\) và \({{mx} \over {x + 3}} + 3m – 1 = 0\)

b) \({x^2} – 9 = 0\) và \(2{x^2} + (m – 5)x – 3(m + 1) = 0\)

Bài giải: a) Phương trình x + 2 = 0 có nghiệm x = -2.

Phương trình \({{mx} \over {x + 3}} + 3m – 1 = 0\) có nghiệm duy nhất x = -2 khi -2m + 3m – 1 = 0 suy ra m = 1.

Vậy hai phương trình tương đương khi m = 1.

b) Phương trình \({x^2} – 9 = 0\) có hai nghiệm x =3 và x =-3

Giá trị x =3 là nghiệm của phương trình

\(2{x^2} + (m – 5)x – 3(m + 1) = 0\) (1)

Khi \(18 + 3(m – 5) – 3(m + 1) = 0\)

Đẳng thức trên thỏa mãn với mọi m.

Giá trị x = -3 là nghiệm của hệ phương trình (1) khi

\(18 + 3(m – 5) – 3(m + 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow 30 – 6m = 0 \Leftrightarrow m = 5\)

Khi m = 5 phương trình (1) trở thành

\(2{x^2} – 18 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 9 = 0\)

Phương trình này có hai nghiệm x = 3 và x = -3.

Vậy với m = 5 hai phương trình đã cho tương đương.

Bài 3 trang 57

Gợi ý làm bài các phương trình

a) \(\sqrt {x + 1}  + x = \sqrt {x + 1}  + 2\)

b) \(x – \sqrt {3 – x}  = \sqrt {x – 3}  + 3\)

c) \({x^2} – \sqrt {2 – x}  = 3 + \sqrt {x – 4} \)

d) \({x^2} + \sqrt { – x – 1}  = 4 + \sqrt { – x – 1} \)

HD giải:

a) Điều kiện của phương trình là: \(x \ge  – 1\). Ta có

\(\sqrt {x + 1}  + x = \sqrt {x + 1}  + 2 =  > x = 2\)

Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

b) Điều kiện của phương trình là: \(x \le 3\) và \(x \ge 3\) hay x = 3.

Giá trị x = 3 nghiệm đúng phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.

c) Điều kiện của phương trình là: \(x \le 2\) và \(x \ge 4\) . Không có số thực nào thỏa mãn đồng thời hai điều kiện này.

d) Điều kiện của phương trình là: \(x \le  – 1\) . Ta có:

\({x^2} + \sqrt { – x – 1}  = 4 + \sqrt { – x – 1}  =  > {x^2} = 4 =  > {x_1} = 2,{x_2} =  – 2\)

Chỉ có giá trị \({x_2} =  – 2\) thỏa mãn điều kiện \(x \le  – 1\) và nghiệm đúng phương trình đã cho.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -2.

Bài 4 trang 57

Gợi ý làm bài các phương trình

a) \({{3{x^2} + 1} \over {\sqrt {x – 1} }} = {4 \over {\sqrt {x – 1} }}\)

b) \({{x{}^2 + 3x + 4} \over {\sqrt {x + 4} }} = \sqrt {x + 4} \)

c) \({{3{x^2} – x – 2} \over {\sqrt {3x – 2} }} = \sqrt {3x – 2} \)

d) \(2x + 3 + {4 \over {x – 1}} = {{{x^2} + 3} \over {x – 1}}\)

Đáp án

a) Điều kiện của phương trình là x >1. Ta có

\({{3{x^2} + 1} \over {\sqrt {x – 1} }} = {4 \over {\sqrt {x – 1} }} =  > 3{x^2} + 1 = 4\)

\( = > {x^2} = 1 = > \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = – 1 \hfill \cr} \right.\)

Cả hai giá trị x = 1, x = -1 đều không thỏa mãn điều kiện x > 1.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Điều kiện của phương trình là x > -4. Ta có

\({{x{}^2 + 3x + 4} \over {\sqrt {x + 4} }} = \sqrt {x + 4}  =  > {x^2} + 3x + 4 = x + 4\)

=> \({x^2} + 2x = 0 =  > x(x + 2) = 0\)

Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = 0\) và \({x_2} =  – 2\)

Cả hai giá trị \({x_1} = 0\) và \({x_2} =  – 2\)

đều thỏa mãn điều kiện x > -4 và nghiệm đúng phương trình đã cho.

c) Điều kiện của phương trình là \(x > {2 \over 3}\) . Ta có

\({{3{x^2} – x – 2} \over {\sqrt {3x – 2} }} = \sqrt {3x – 2}  =  > 3{x^2} – x – 2 = 3x – 2\)

=> \(3{x^2} – 4x = 0\)

=> \(x(3x – 4) = 0 = > \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Chỉ có giá trị \(x = {4 \over 3}\) thỏa mãn điều kiện \(x > {2 \over 3}\) và nghiệm đúng phương trình đã cho.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {4 \over 3}\)

d) Điều kiện của phương trình là $$x \ne 1$$ . Ta có

\(2x + 3 + {4 \over {x – 1}} = {{{x^2} + 3} \over {x – 1}}\)

=> \((2x + 3)(x – 1) + 4 = {x^2} + 3\)

=> \({x^2} + x – 2 = 0\)

=> \(\left[ \matrix{x = 1 \hfill \cr x = – 2 \hfill \cr} \right.\)

Giá trị x = 1 bị loại do vi phậm điều kiện \(x \ne 1\) và giá trị x = -2 nghiệm đúng phương trình đã cho.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -2.

Bài 5 trang 58 SBT Toán Đại số lớp 10

Xác định m để mỗi cặp phương trình sau tương đương

a) \(3x – 2 = 0\) và \((m + 3)x – m + 4 = 0\)

b) \(x + 2 = 0\) và \(m({x^2} + 3x + 2) + {m^2}x + 2 = 0\)

Bài giải

a) Phương trình 3x – 2 = 0 có nghiệm \(x = {2 \over 3}\) , thay \(x = {2 \over 3}\) vào phương trình

\((m + 3)x – m + 4 = 0\) , ta có

\((m + 3){2 \over 3} – m + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow  – {1 \over 3}m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 18\)

Với m = 18 phương trình \((m + 3)x – m + 4 = 0\) trở thành 21x = 14 hay \(x = {2 \over 3}\)

Vậy hai phương trình tương đương khi m = 18.

b) Phương trình x + 2 = 0 có nghiệm x = -2. Thay x = -2 vào phương trình

\(m({x^2} + 3x + 2) + {m^2}x + 2 = 0\) , ta có

\( – 2{m^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Khi m = 1 phương trình thứ hai trở thành

\({x^2} + 4x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow x =  – 2\)

Khi m = -1 phương trình thứ hai trở thành

\( – {x^2} – 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow  – x(x + 2) = 0\)

Phương trình này có hai nghiệm x = 0 , x = -2.

Vậy hai phương trình đã cho tương đương khi m = 1.