Giải Sách bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm – CTST

Giải Sách bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm – SÁCH GIÁO KHOA CHÂN TRỜI SÁNG TẠO 2024

================

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Giải SBT Toán 11 trang 43

Bài 1 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{-3x^2}{2}+\frac{2}{x}+\frac{x^3}{3}$;

b) y = (x² − 1)(x² – 4)(x² + 9);

c) $y=\frac{x^2-2x}{x^2+x+1}$;

d) $y=\frac{1-2x}{x+1}$;

e) y = xe^{2x + 1};

g) y = (2x + 3)3^{2x + 1};

h) y = xln²x;

i) $y={\log }_2\left(x^2+1\right)$.

Lời giải:

a) $y^{‘}=\frac{\left(-3\right)\mathrm{.2.}x}{2}+\frac{2.(-1)}{x^2}+\frac{3x^2}{3}=-3x-\frac{2}{x^2}+x^2$.

b) y = (x² − 1)(x² – 4)(x² + 9)

= (x⁴ – 5x² + 4)(x² + 9)

= x⁶ – 5x⁴ + 4x² + 9x⁴ – 45x² + 36

= x⁶ + 4x⁴ – 41x² + 36.

y’ = 6x⁵ + 16x³ – 82x

c) $y^{‘}=\frac{{\left(x^2-2x\right)}^{‘}\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2-2x\right){\left(x^2+x+1\right)}^{‘}}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(2x-2\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(x^2-2x\right)\left(2x+1\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(2x^3-2\right)-\left(2x^3-3x^2-2x\right)}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}=\frac{3x^2+2x-x}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$.

d) $y^{‘}=\frac{{\left(1-2x\right)}^{‘}\left(x+1\right)-\left(1-2x\right){\left(x+1\right)}^{‘}}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(-2\right)\left(x+1\right)-\left(1-2x\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=-\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}.$

e) $y‘=x‘e^{2x+1}+x\left(e^{2x+1}\right)‘=e^{2x+1}+x.{\left(2x+1\right)}^{‘}.e^{2x+1}$

$=e^{2x+1}+x\mathrm{.2.}{e}^{2x+1}=\left(2x+1\right)e^{2x+1}$.

g) $y^{‘}=\left(2x+3\right)3^{2x+1}={\left(2x+3\right)}^{‘}{3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\left(3^{2x+1}\right)}^{‘}$

$={2.3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\left(2x+1\right)}^{‘}{3}^{2x+1}.\ln 3$

$={2.3}^{2x+1}+\left(2x+3\right){\mathrm{.2.3}}^{2x+1}.\ln 3$

h) $y^{‘}=x^{‘}l{n}^{2}x+x{\left(l{n}^{2}x\right)}^{‘}={\ln }^{2}x+x.2\ln x.\frac{1}{x}$

$={\ln }^{2}x+2\ln x$.

i) $y‘={\log }_2\left(x^2+1\right)=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{‘}}{\left(x^2+1\right)\ln 2}=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{‘}}{\left(x^2+1\right)\ln 2}=\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\ln 2}$.

Bài 2 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=3x^3-4\sqrt{x}$. Tính $f\left(4\right);f^{‘}\left(4\right);f\left(a^2\right);f^{‘}\left(a^2\right)$ (a là hằng số khác 0).

Lời giải:

Ta có $f^{‘}\left(x\right)=3.3x^2-\frac{4}{2\sqrt{x}}=9x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}$.

• $f\left(4\right)={3.4}^3-4\sqrt{4}=184$.

• $f^{‘}\left(4\right)={9.4}^2-\frac{2}{\sqrt{4}}=143$.

Vậy 

Bài 3 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (1 + x²)²⁰;

b) $y=\frac{2+x}{\sqrt{1-x}}$.

Lời giải:

a) $y‘=20{\left(1+x^2\right)}^{19}.{\left(1+x^2\right)}^{‘}=20{\left(1+x^2\right)}^{19}.2x=40x{\left(1+x^2\right)}^{19}$.

b) $y^{‘}=\frac{{\left(2+x\right)}^{‘}\sqrt{1-x}-\left(2+x\right){\left(\sqrt{1-x}\right)}^{‘}}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{1-x}-\left(2+x\right)\frac{{\left(1-x\right)}^{‘}}{2\sqrt{1-x}}}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}$

$=\frac{\sqrt{1-x}-\left(2+x\right)\left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)}{\left(1-x\right)}$

$=\frac{2\left(1-x\right)+\left(2+x\right)}{2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}=\frac{4-x}{2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}}$.

Bài 4 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x}{\sin x-\cos x}$;

b) $y=\frac{\sin x}{x}$;

c) $y=\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x$;

d) y = cos (2sinx).

Lời giải:

a) $y^{‘}=\frac{x^{‘}\left(\sin x-\cos x\right)-x{\left(\sin x-\cos x\right)}^{‘}}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$

$=\frac{\left(\sin x-\cos x\right)-x\left(\cos x+\sin x\right)}{{\left(\sin x-\cos x\right)}^2}$.

b) $y^{‘}=\frac{{\left(\sin x\right)}^{‘}x-\sin x.x^{‘}}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$

c) $y^{‘}=\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x=\cos x-\frac{1}{3}\mathrm{.3.}{\sin }^{2}x.{\left(\sin x\right)}^{‘}$

$=\cos x-{\sin }^{2}x.\cos x=\cos x\left(1-{\sin }^{2}x\right)$

$=\cos x.{\cos }^{2}x={\cos }^{3}x$.

d) $y^{‘}=-\sin \left(2sinx\right).{\left(2\sin x\right)}^{‘}=-\sin \left(2\sin x\right).2\cos x$

$=-2\sin \left(2\sin x\right)\cos x$

Bài 5 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

a) y = xsin 2x;

b) y = cos²x;

c) y = x⁴ – 3x³ + x² − 1.

Lời giải:

a) $y^{‘}=x^{‘}\sin 2x+x{\left(\sin 2x\right)}^{‘}=\sin 2x+x\cos 2x.2$

$=\sin 2x+2x\cos 2x$.

$y^{”}=\cos 2x+{\left(2x\right)}^{‘}\cos 2x+2x{\left(\cos 2x\right)}^{‘}$

$=2\cos 2x+2\cos 2x+2x\left(-\sin 2x\right).2$

$=4\cos 2x-4x\sin 2x$

b) $y^{‘}=2\cos x.\left(-\sin x\right)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

$y^{”}=-\cos 2x.2=-2\cos 2x$.

c) $y^{‘}=4x^3–3.3x^2+2x=4x^3–9x^2+2x$.

$y^{”}=4.3x^2-9.2x+2=12x^2-18x+2$.

Bài 6 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s = 100 + 2t – t² trong đó thời gian được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3s.

Lời giải:

Ta có $s^{‘}\left(t\right)=-2t+2$, suy ra ${}^{}{s}^{‘}‘\left(t\right)=-2$.

a) Vận tốc chất điểm bằng 0 khi $s^{‘}\left(t\right)=-2t+2=0$ hay t = 1

Vậy vận tốc chất điểm bằng 0 khi t = 1 s.

b) Khi t = 3s, ta có:

• $s^{‘}\left(3\right)=\left(-2\right).3+2=-4$ (m/s);

• $s^{”}\left(t\right)=-2$ (m/s²).

Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của chất điểm là −4 m/s; gia tốc của chất điểm là −2 m/s².

Giải SBT Toán 11 trang 44

Bài 7 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = −2t³ + 75t + 3, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t =3

Lời giải:

Ta có $s^{‘}\left(t\right)=-6t^2+75$, suy ra ${}^{}{s}^{‘}‘\left(t\right)=-12t$.

• $s^{‘}\left(3\right)=\left(-6\right){.3}^2+75=21$ (m/s).

• $s^{”}\left(3\right)=\left(-12\right).3=-36$ (m/s²).

Vậy tại thời điểm t = 3 vận tốc của chuyển động là 21 (m/s) và gia tốc của chuyển động là −36 (m/s²).

Bài 8 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Nếu số lượng sản phẩm sản xuất được của một nhà máy là x (đơn vị: trăm sản phẩm) thì lợi nhuận sinh ra là P(x) = 200(x – 2)(17 – x) (nghìn đồng). Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm

Lời giải:

$P^{‘}\left(30\right)=\left(-400\right).30+3800=-8200$

Vậy tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy đó khi sản xuất 3000 sản phẩm là –8200 nghìn đồng.

=============
THUỘC: Giải SÁCH bài tập Toán 11 – CTST