Giải Sách bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số – CTST

Giải Sách bài tập Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số – SÁCH GIÁO KHOA CHÂN TRỜI SÁNG TẠO 2024

================

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Giải SBT Toán 11 trang 75

Bài 1 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\text{lim}\left(2+\frac{5}{n}\right);$

b) $\text{lim}\left(\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}\right);$

c) $\text{lim}\left(3-\frac{4}{n}\right)\left(2+\frac{5}{n^2}\right);$

d) $\text{lim}\frac{3-\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n^3}}.$

Lời giải:

a) $\text{lim}\left(2+\frac{5}{n}\right)=\lim 2+\lim \frac{5}{n}=2+0=2.$

b) $\text{lim}\left(\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}\right)=\lim \frac{3}{n}-\lim \frac{2}{n^2}=0-0=0.$

c) $\text{lim}\left(3-\frac{4}{n}\right)\left(2+\frac{5}{n^2}\right)=\lim \left(6+\frac{15}{n^2}-\frac{8}{n}-\frac{20}{n}\right)$

$=\lim 6+\lim \frac{15}{n^2}-\lim \frac{8}{n}-\lim \frac{20}{n^3}$

= 6 + 0 ‒ 0 ‒ 0 = 6.

d) $\text{lim}\frac{3-\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n^3}}=\frac{\lim 3-\lim \frac{3}{n}}{\lim 1+\lim \frac{1}{n^3}}=\frac{3-0}{1+0}=3.$

Bài 2 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\text{lim}\frac{2n-3}{6n+1};$

b) $\text{lim}\frac{3n-1}{n^2+n};$

c) $\text{lim}\frac{\left(2n-1\right)\left(2n+3\right)}{2n^2+4};$

d) $\text{lim}\frac{4n+1}{\sqrt{n^2+3n}+n};$

e) $\text{lim}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right);$

g) $\text{lim}\frac{1}{\sqrt{n^2+n}-n}.$

Lời giải:

a) $\text{lim}\frac{2n-3}{6n+1}=\lim \frac{2-\frac{3}{n}}{6+\frac{1}{n}}=\frac{\lim 2-\lim \frac{3}{n}}{\lim 6+\lim \frac{1}{n}}$$=\frac{2-0}{6+0}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

b) $\text{lim}\frac{3n-1}{n^2+n}=\lim \frac{\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}}$$=\frac{\lim \frac{3}{n}-\lim \frac{1}{n^2}}{\lim 1+\lim \frac{1}{n}}=\frac{0-0}{1+0}=0.$

c) $\text{lim}\frac{\left(2n-1\right)\left(2n+3\right)}{2n^2+4}=\text{lim}\frac{\left(2-\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{3}{n}\right)}{2+\frac{4}{n^2}}=\frac{2\cdot 2}{2}=2$

d) $\text{lim}\frac{4n+1}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\text{lim}\frac{4+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}$$=\frac{4+\text{lim}\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\text{lim}\frac{3}{n}}+1}=\frac{4}{1+1}=2$

e) $\text{lim}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\text{lim}\frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$=\text{lim}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\text{lim}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$

$=\frac{1}{\sqrt{1+\text{lim}\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{2}.$

g) $\text{lim}\frac{1}{\sqrt{n^2+n}-n}=\text{lim}\frac{\sqrt{n^2+n}+n}{\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)}$

$=\text{lim}\frac{\sqrt{n^2+n}+n}{n}=\text{lim}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right)=2.$

Bài 3 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\text{lim}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^n;$

b) $\text{lim}\frac{3^n}{4^n-1};$

c) $\text{lim}\frac{3^n-2^n}{3^n+2^n};$

d) $\text{lim}\frac{4^{n+1}}{3^n+4^n}.$

Lời giải:

a) $\text{lim}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^n=0.$

b) $\text{lim}\frac{3^n}{4^n-1}=\text{lim}\frac{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n}{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}=\frac{\text{lim}{\left(\frac{3}{4}\right)}^n}{1-\text{lim}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}=\frac{0}{1-0}=0.$

c) $\text{lim}\frac{3^n-2^n}{3^n+2^n}=\text{lim}\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}=\frac{1-\text{lim}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1+\text{lim}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}=\frac{1-0}{1+0}=1.$

d) $\text{lim}\frac{4^{n+1}}{3^n+4^n}=\text{lim}\frac{4}{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n+1}=\frac{4}{\text{lim}{\left(\frac{3}{4}\right)}^n+1}=\frac{4}{0+1}=4$

Giải SBT Toán 11 trang 76

Bài 4 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n) có limu_n = 3, limv_n = 4. Tìm các giới hạn sau:

a) lim(3u_n ‒ 4); b) lim(u_n + 2v_n);

c) lim(u_n ‒ v_n)²; d) $\text{lim}\frac{-2u_n}{v_n-2u_n}$

Lời giải:

a) lim(3u_n ‒ 4) = 3limu_n ‒ lim4 = 3.3 ‒ 4 = 5.

b) lim(u_n + 2v_n) = limu_n + 2limv_n = 3 + 2.4 = 11.

c) lim(u_n ‒ v_n)² = (limu_n ‒ limv_n)² = (3 ‒ 4)² = 1.

d) $\text{lim}\frac{-2u_n}{v_n-2u_n}=\frac{-2\lim u_n}{\lim v_n-2\lim u_n}=\frac{-2\cdot 3}{4-2\cdot 3}=3.$

Bài 5 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) thoả mãn limnu_n = 3. Tìm giới hạn $\text{lim}\frac{2n+3}{n^2{u}_n}$.

Lời giải:

Ta có:

$\text{lim}\frac{2n+3}{n^2{u}_n}=\text{ lim}\left(\frac{2n+3}{n}\cdot \frac{1}{n{u}_n}\right)=\text{lim}\frac{2n+3}{n}\cdot \text{lim}\frac{1}{n{u}_n}$

$=\text{lim}\left(2+\frac{3}{n}\right)\cdot \frac{1}{\text{lim}n{u}_n}=2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

Bài 6 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) lim(1 + 3n – n²);

b) $\text{lim}\frac{n^3+3n}{2n-1};$

c) $\text{lim}\left(\sqrt{n^2-n}+n\right);$

d) lim(3ⁿ⁺¹ – 5ⁿ).

Lời giải:

a) $1+3n-n^2=n^2\left(\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n}-1\right)$

Ta có limn² = +∞ và $\lim \left(\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n}-1\right)=0+0-1=-1.$

Suy ra $lim\left(1+3n–n^2\right)=\lim \left[n^2\left(\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n}-1\right)\right]=-\infty .$

b) $\frac{n^3+3n}{2n-1}=\frac{n^3\left(1+\frac{3}{n^2}\right)}{n\left(2-\frac{1}{n}\right)}=n^2\cdot \frac{1+\frac{3}{n^2}}{2-\frac{1}{n}}$

Ta có limn² = +∞ và $\lim \frac{1+\frac{3}{n^2}}{2-\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\text{lim}\frac{n^3+3n}{2n-1}=\text{lim}\left[n^2\cdot \frac{1+\frac{3}{n^2}}{2-\frac{1}{n}}\right]=+\infty .$

c) $\sqrt{n^2-n}+n=n\left(\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1\right)$

Ta có limn = +∞ và $\lim \left(\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1\right)=2.$

Suy ra $\text{lim}\left(\sqrt{n^2-n}+n\right)=\text{lim}\left[n\left(\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1\right)\right]=+\infty .$

d) $3^{n+1}-5^n=5^n\left(\frac{3^{n+1}}{5^n}-1\right)=5^n\left[3\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^n-1\right]$

Ta có lim5ⁿ = +∞ và $\lim \left[3\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^n-1\right]=-1$

Suy ra $\text{lim}\left(3^{n+1}-5^n\right)=\text{lim}\left\{5^n\cdot \left[3\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^n-1\right]\right\}=-\infty .$

Bài 7 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tuỳ theo giá trị của a > 0, tìm giới hạn $\text{lim}\frac{a^n}{a^n+1}$.

Lời giải:

⦁ Nếu 0 < a < 1 thì limaⁿ = 0 nên $\text{lim}\frac{a^n}{a^n+1}=\frac{\text{lim}{a}^n}{\text{lim}{a}^n+1}=\frac{0}{0+1}=0.$

⦁ Nếu a = 1 thì $\text{lim}\frac{a^n}{a^n+1}=\text{lim}\frac{1^n}{1^n+1}=\text{lim}\frac{1}{1+1}=\text{lim}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

⦁ Nếu a > 1, ta viết $\frac{a^n}{a^n+1}=\frac{1}{1+{\left(\frac{1}{a}\right)}^n}$(chia cả tử và mẫu cho aⁿ)

Do a > 1 nên $0<\frac{1}{a}<1$, suy ra $\text{lim}{\left(\frac{1}{a}\right)}^n=0$. Từ đó,

$\text{lim}\frac{a^n}{a^n+1}=\text{lim}\frac{1}{1+{\left(\frac{1}{a}\right)}^n}=\frac{1}{1+\text{lim}{\left(\frac{1}{a}\right)}^n}=\frac{1}{1+0}=1.$

Vậy $\text{lim}\frac{a^n}{a^n+1}$ bằng 0 nếu 0 < a < 1; bằng $\frac{1}{2}$ nếu a = 1; bằng 1 nếu a > 1.

Bài 8 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:

a) $1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{5^3}+\dots +{\left(-\frac{1}{5}\right)}^n+\dots$

b) $2+\frac{2^2}{3}+\frac{2^3}{3^2}+\dots +\frac{2^n}{3^{n-1}}+\dots$

Lời giải:

a) Cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q=\frac{-\frac{1}{5}}{1}=-\frac{1}{5}$ thỏa mãn |q| < 1.

Vậy tổng của cấp số nhân là: $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{5}\right)}=\frac{5}{6}.$

b) Cấp số nhân lùi vô hạn có công bội $q=\frac{}{}\frac{2^2}{3}2=\frac{2}{3}$ thỏa mãn |q| < 1.

Vậy tổng của cấp số nhân là: $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{2}{3}}=6.$

Bài 9 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:

a) 0,(7) = 0,777…; b) 1,(45) = 1,454545…

Lời giải:

a) 0,(7) = 0,777…

= 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + 0,00007…

$=\mathrm{0,7}+\mathrm{0,7}\cdot \frac{1}{10}+\mathrm{0,7}\cdot \frac{1}{{10}^2}+\mathrm{0,7}\cdot \frac{1}{{10}^3}\mathrm{\dots }$

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 0,7 và công bội $q=\frac{1}{10}$ thõa mãn |q| < 1.

Tổng này bằng $\frac{\mathrm{0,7}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\mathrm{0,7}}{\mathrm{0,9}}=\frac{7}{9}.$

Vậy $\mathrm{0,}\left(7\right)=\mathrm{0,777\dots }=\frac{7}{9}.$

b) 1,(45) = 1,454545… = 1 + 0,454545…

Ta có 0,454545… = 0,45 + 0,0045 + 0,000045 + …

$=\mathrm{0,45}+\mathrm{0,45}\cdot \frac{1}{100}+\mathrm{0,45}\cdot \frac{1}{{100}^2}+\mathrm{\dots }$

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 0,45 và công bội $q=\frac{1}{100}$ thõa mãn |q| < 1.

Tổng này bằng $\frac{\mathrm{0,45}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{\mathrm{0,45}}{\mathrm{0,99}}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}.$

Vậy $\mathrm{1,}\left(45\right)=\mathrm{1,454545\dots }=1+\frac{5}{11}=\frac{16}{11}.$

Bài 10 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80

Lời giải:

Lượng nước ban đầu là u₁ = 100

Lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng lần 1 là: 100.80

Lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng lần 2 là: 100.80

Lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng lần 3 là: 100.80

….

Vậy tổng lượng nước sau khi xử lý và tái sử dụng mãi mãi là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là u₁ = 100 và công bội q = 0,8 thỏa mãn |q| < 1.

Tổng này bằng:

$100+100\cdot 0,8+100\cdot {\left(0,8\right)}^2+100\cdot {\left(0,8\right)}^3+\dots =\frac{100}{1-0,8}=\frac{100}{0,2}$

$=500\left({\text{m}}^3\right).$

Bài 11 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác OA₁A₂ vuông cân tại A₂ có cạnh huyền OA₁ bằng a. Bên ngoài tam giác OA₁A₂, vẽ tam giác OA₂A₃ vuông cân tại A₃. Tiếp theo, bên ngoài tam giác OA₂A₃, vẽ tam giác OA₃A₄ vuông cân tại A₄. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc A₁A₂A₃A₄…

Lời giải:

Ta có các góc $\widehat{A_{1}O{A}_2},\widehat{A_{2}O{A}_3},\widehat{A_{3}O{A}_4},\dots$ đều bằng 45°. Ta có:

$A_1{A}_2=O{A}_2=O{A}_1\cdot \text{cos}{45}^{\circ }=a\frac{\sqrt{2}}{2};$

$A_2{A}_3=O{A}_3=O{A}_2\cdot \text{cos}{45}^{\circ }=a\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$

$A_3{A}_4=O{A}_4=O{A}_3\cdot \text{cos}{45}^{\circ }=a{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^3$

Vậy độ dài các đoạn thẳng A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄, … tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và công bội $q=\frac{\sqrt{2}}{2}$ thỏa mãn |q| < 1.

Do đó, độ dài đường gấp khúc A₁A₂A₃A₄… là

$l=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \left(2+\sqrt{2}\right)=a\left(1+\sqrt{2}\right).$

Giải SBT Toán 11 trang 77

Bài 12 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác OMN vuông cân tại O, OM = ON = 1. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông OA₁B₁C₁ sao cho các đỉnh A₁, B₁, C₁ lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác A₁MB₁, vẽ hình vuông A₁A₂B₂C₂ sao cho các đỉnh A₂, B₂, C₂ lần lượt nằm trên các cạnh A₁M, MB₁, A₁B₁. Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.

Lời giải:

Độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là

$a_1=\frac{1}{2};a_2=\frac{1}{2}{a}_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2;a_3=\frac{1}{2}{a}_2=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^3;\dots$

Diện tích của các hình vuông lần lượt là

$S_1=a_1^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4},$

$S_2=a_2^2={\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]}^2={\left(\frac{1}{4}\right)}^2,$

$S_3=a_3^2={\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\right]}^2={\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]}^3={\left(\frac{1}{4}\right)}^3,\dots$

Các diện tích S₁, S₂, S₃,… tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $S_1=\frac{1}{4}$ và công bội bằng $\frac{1}{4}$.

Do đó, tổng diện tích các hình vuông là $S=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$.

Bài 13 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng d: x + y = 2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng $d_n:y=\frac{2n+1}{n}x$ tại điểm P_n (n ∈ ℕ*). Kí hiệu S_n là diện tích của tam giác OAP_n. Tìm limS_n.

Lời giải:

Ta có: A(2; 0) nên OA = 2.

Đường thẳng d: x + y = 2 ⇔ y = 2 – x.

Vì P_n(x₀; y₀) ∈ d nên P_n(x₀; 2 – x₀)

Hơn nữa P_n(x₀; y₀) ∈ d_n­ nên ta có:

$y_0=\frac{2n+1}{n}{x}_0\iff 2-x_0=\frac{2n+1}{n}{x}_0\iff \frac{3n+1}{n}{x}_0=2$

$\iff x_0=\frac{2n}{3n+1}\Rightarrow y_0=2-\frac{2n}{3n+1}=\frac{4n+2}{3n+1}$

$\Rightarrow P_n\left(\frac{2n}{3n+1};\frac{4n+2}{3n+1}\right)$

Gọi H là hình chiếu của P_n­ lên Ox. Khi đó P_nH = |y₀| = $\left|\frac{4n+2}{3n+1}\right|=\frac{4n+2}{3n+1}$ (do n ∈ ℕ*).

Ta có S_n = $\frac{1}{2}OA\cdot P_{n}H=\frac{1}{2}\mathrm{.2.}\frac{4n+2}{3n+1}=\frac{4n+2}{3n+1}.$

Khi đó $\text{lim}{S}_n=\text{lim}\frac{4n+2}{3n+1}=\text{lim}\frac{4+\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=\frac{4}{3}.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

=============
THUỘC: Giải SÁCH bài tập Toán 11 – CTST