Giải bài tập Bài 3: Tích của một số với một vectơ (Chân trời)

Giải bài tập Bài 3: Tích của một số với một vectơ (Chân trời)

===========

Giải bài 1 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MO} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AC} \)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1

Phương pháp giải

a) Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} \) và tính chất trung điểm \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \)

b) Sử dụng tính chất của bình bình hành \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = 4\overrightarrow {MO} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  = 4\overrightarrow {MO} \) (luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Suy ra \(\)\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AC} \) (đpcm)

---

Giải bài 2 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng

a)  \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {MN} \)

b)  \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2

Phương pháp giải

Chèn điểm M: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} \),

Tính chất trung điểm \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND}  \\=  \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right) \\=  \overrightarrow 0  + 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN} \) (đpcm)

b) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

\(\)\(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND} \)

\(\left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} \)

Mặt khác ta có: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {MN} \)

Suy ra \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

Cách 2: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} (đpcm)
\end{array}\)

---

Giải bài 3 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA}  + 4\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định hướng của hai vectơ

Bước 2: Xác định tỉ số độ dài \(\frac{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết

Cách 1:

\(\overrightarrow {MA}  + 4\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  =  – 4\overrightarrow {MB}  \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} = \frac{{\left| { – 4\overrightarrow {MB} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}} = 4\) và hai vectơ \(\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} \) ngược hướng

Suy ra M nằm giữa AB sao cho \(\frac{{MA}}{{MB}} = 4\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow 5\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB}
\end{array}\)

Vậy A, M, B thẳng hàng, M nằm giữa A và B sao cho \(MB = \frac{1}{5}AB\)

---

Giải bài 4 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MG} \)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} \) và tính chất trung điểm \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0 \)

(với O là trung điểm của AB)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GE}  + \overrightarrow {EA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GE}  + \overrightarrow {EB} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GF}  + \overrightarrow {FC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GF}  + \overrightarrow {FD} } \right)\end{array}\)

\( = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG} \overrightarrow { + MG} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {GE}  + \overrightarrow {GF} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB} } \right) + \left( {\overrightarrow {FC}  + \overrightarrow {FD} } \right)\)

\( = 4\overrightarrow {MG}  + 2.\overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = 4\overrightarrow {MG} \)  (đpcm)

---

Giải bài 5 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1

Máy bay A  đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc \(\overrightarrow b \)của máy bay B theo vectơ vận tốc \(\overrightarrow a \) của máy bay A

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 5

Phương pháp giải

Vecto \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) là vecto vận tốc của máy bay A và máy bay b.

Do đó \(\left| {\overrightarrow a } \right|,\;\left| {\overrightarrow b } \right|\) lần lượt là độ lớn của vecto vận tốc tương ứng.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 600,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 800\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{800}}{{600}} = \frac{4}{3}\)

Hai hướng Đông Bắc và Tây Nam là ngược nhau, do đó \(\overrightarrow b  =  – \frac{4}{3}\overrightarrow a \)

---

Giải bài 6 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho 2 điểm phân biệt A và B

a) Xác định điểm O sao cho \(\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0 \)

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có \(\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  = 4\overrightarrow {MO} \)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6

Phương pháp giải

a) Chèn điểm: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {BA} \)

Từ đó tìm \( \overrightarrow {OB}\) theo \(\overrightarrow {AB} \) đã biết

b) Chèn điểm O, làm xuất hiện \({\overrightarrow {MO} }\) ở vế trái.

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {OB} = \vec 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + 3\overrightarrow {OB} = – \overrightarrow {BA} \\
\Leftrightarrow 4\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}
\end{array}\)

Vậy O thuộc đoạn AB sao cho \(OB = \frac{1}{4}AB\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\\
= \left( {\overrightarrow {MO} + 3\overrightarrow {MO} } \right) + \left( {\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} } \right)\\
= 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MO} . (đpcm)
\end{array}\)

---

Giải bài 7 trang 97 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: \(\overrightarrow {MB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN}  = 3\overrightarrow {NB} ,\overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {PA} \)

b) Biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} \)

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 7

Phương pháp giải

a)  Xác định hướng và tỉ số độ dài

\(\overrightarrow {MB}  = k.\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng; tỉ số độ dài \(\frac{{BC}}{{MB}} = k\)

b)  Phân tích  \(\overrightarrow {MN}\) theo hai vecto \(\overrightarrow {MB}, \overrightarrow {NB}\)

c)  \(M,N,P\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = k.\overrightarrow {MP} \) \(\left( k \in {\mathbb Z}^* \right)\)

Lời giải chi tiết

a)      Ta có:

+) \(\overrightarrow {MB}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng; tỉ số độ dài \(\dfrac{{BC}}{{MB}} = 2\)

\( \Rightarrow M\) nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho \(MB = \dfrac{1}{2}BC\)

+) \({\overrightarrow {AN}  = 3\overrightarrow {NB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  = 3\overrightarrow {NB}  \Rightarrow 4\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {NB}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} }\)

\( \Rightarrow N\) thuộc đoạn thẳng AB và \(NB=\dfrac{{1}}{{4}} AB\)

+) \(\overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {PA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PA}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow P\) là trung điểm của CA

b) \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {MC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA}  \\= \frac{3}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA}  – \overrightarrow {BC} } \right)\\ = \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \end{array}\)

c) Ta có:

\(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} ;\) \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MP}  = 2\overrightarrow {MN} \)

Vậy \(M,N,P\) thẳng hàng.