Giải bài tập Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚ (Chân trời)

Giải bài tập Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚ (Chân trời)

==================

Giải bài 1 trang 65 SGK Toán 10 CTST

Cho biết \(\sin {30^o} = \frac{1}{2};\sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\tan {45^o} = 1.\) Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của \(E = 2\cos {30^o} + \sin {150^o} + \tan {135^o}.\)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1

Phương pháp giải

\(\begin{array}{l}\cos {30^o} = \sin \left( {{{90}^o} – {{30}^o}} \right) = \sin {60^o}\\\sin {150^o} = \sin \left( {{{180}^o} – {{150}^o}} \right) = \sin {30^o}\\\tan {135^o} =  – \tan \left( {{{180}^o} – {{135}^o}} \right) =  – \tan {45^o}\end{array}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos {30^o} = \sin \left( {{{90}^o} – {{30}^o}} \right) = \sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\\\sin {150^o} = \sin \left( {{{180}^o} – {{150}^o}} \right) = \sin {30^o} = \frac{1}{2};\\\tan {135^o} =  – \tan \left( {{{180}^o} – {{135}^o}} \right) =  – \tan {45^o} =  – 1\end{array}\)

\( \Rightarrow E = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2} – 1 = \sqrt 3  – \frac{1}{2}.\)

==========

Giải bài 2 trang 65 SGK Toán 10 CTST

Chứng minh các hệ thức sau:

a) \(\sin {20^o} = \sin {160^o}\)

b) \(\cos {50^o} =  – \cos {130^o}\)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2

Phương pháp giải

\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} – \alpha } \right) =  – \cos \alpha \end{array}\)\(({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\)

Lời giải chi tiết

a)

\(\sin {20^o} = \sin \left( {{{180}^o} – {{160}^o}} \right) = \sin {160^o}\)

b)

\(\cos {50^o} = \cos \;({180^o} – {130^o}) =  – \cos {130^o}\)

=============

Giải bài 3 trang 65 SGK Toán 10 CTST

Tìm góc \(\alpha \;\;({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\cos \alpha  =  – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

b) \(\sin \alpha  = 0\)

c) \(\tan \alpha  = 1\)

d) \(\cot \alpha \) không xác định.

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3

Phương pháp giải

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt để tìm góc.

Lời giải chi tiết

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\cos \alpha \) ta có:

\(\cos \alpha  = \frac{{ – \sqrt 2 }}{2}\) với \(\alpha  = {135^o}\)

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\sin \alpha \) ta có:

\(\sin \alpha  = 0\) với \(\alpha  = {0^o}\) và \(\alpha  = {180^o}\)

c) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\tan \alpha \) ta có:

\(\tan \alpha  = 1\) với \(\alpha  = {45^o}\)

d) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng \(\cot \alpha \) ta có:

\(\cot \alpha \) không xác định với \(\alpha  = {0^o}\)

============

Giải bài 4 trang 65 SGK Toán 10 CTST

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) \(\sin A = \sin \;(B + C)\)

b) \(\cos A =  – \cos \;(B + C)\)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4

Phương pháp giải

\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} – A} \right) = \sin A\\\cos \left( {{{180}^o} – A} \right) =  – \cos A\end{array}\)\(({0^o} \le \widehat A \le {180^o})\)

Lời giải chi tiết

a)

\(\sin (B + C) = \sin \left( {{{180}^o} – A} \right) = \sin A\)

Vậy \(\sin A = \sin \;(B + C)\)

b)

\(\cos (B + C) = \cos \left( {{{180}^o} – A} \right) =  – \cos A\)

Vậy \(\cos A =  – \cos \;(B + C)\)

==============

Giải bài 5 trang 65 SGK Toán 10 CTST

Chứng minh rằng với mọi góc \(\alpha \;\;({0^o} \le \alpha  \le {180^o})\), ta đều có:

a) \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\)

b) \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\;({0^o} < \alpha  < {180^o},\alpha  \ne {90^o})\)

c) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;(\alpha  \ne {90^o})\)

d) \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;({0^o} < \alpha  < {180^o})\)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 5

Phương pháp giải

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\alpha  = \widehat {xOM}\)

\(\sin \alpha  = \frac{{MH}}{{OM}};\;\cos \alpha  = \frac{{OH}}{{OM}};\;\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)

Lời giải chi tiết

a)

Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm M sao cho \(\widehat {xOM} = \alpha \)

Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và \(\alpha  = \widehat {xOM}\)

Do đó: \(\sin \alpha  = \frac{{MH}}{{OM}} = MH;\;\cos \alpha  = \frac{{OH}}{{OM}} = OH.\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = O{H^2} + M{H^2} = O{M^2} = 1\)

b)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\\ \Rightarrow \;\tan \alpha .\cot \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1\end{array}\)

c)

Với \(\alpha  \ne {90^o}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\;\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\;\end{array}\)

d)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\;\\ \Rightarrow \;1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\;\end{array}\)

=============

Giải bài 6 trang 65 SGK Toán 10 CTST

Cho góc \(\alpha \) với \(\cos \alpha  =  – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Tính giá trị của biểu thức \(A = 2{\sin ^2}\alpha  + 5{\cos ^2}\alpha .\)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6

Phương pháp giải

Sử dụng đẳng thức \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(A = 2{\sin ^2}\alpha  + 5{\cos ^2}\alpha  = 2({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha ) + 3{\cos ^2}\alpha \)

Mà \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1;\cos \alpha  =  – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

\( \Rightarrow A = 2 + 3.{\left( { – \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2 + 3.\frac{1}{2} = \frac{7}{2}.\)

============

Giải bài 7 trang 65 SGK Toán 10 CTST

Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yên cầu dưới đây:

a) Tính \(\sin {168^o}45’33”;\cos {17^o}22’35”;\tan {156^o}26’39”;\cot {56^o}36’42”.\)

b) Tìm \(\alpha \;({0^o} \le \alpha  \le {180^o}),\)trong các trường hợp sau:

i) \(\sin \alpha  = 0,862.\)

ii) \(\cos \alpha  =  – 0,567.\)

iii) \(\tan \alpha  = 0,334.\)

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 7

Phương pháp giải

a) Để tính \(\sin {168^o}45’33”\), bấm liên tiếp các phím:

Để tính \(\cot {56^o}36’42”\) ta tính \(1:\tan {56^o}36’42”\).

b) Để tìm \(\alpha \) biết \(\sin \alpha  = 0,862\), bấm liên tiếp các phím:

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}\sin {168^o}45’33” = 0,195;\\\cos {17^o}22’35” = 0,954;\\\tan {156^o}26’39” =  – 0,436;\\\cot {56^o}36’42” = 0,659\end{array}\)

b)

i) \(\alpha  = {59^o}32’30,8”.\)

ii) \(\alpha  = {124^o}32’28,65”.\)

iii) \(\alpha  = {18^o}28’9,55”.\)