Giải bài 4 trang 46 SBT Toán 10 – CTST

Giải bài 4 trang 46 SBT Toán 10 – CTST – CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
THUỘC BÀI SỐ: Bài 1. Hàm số và đồ thị – SBT Toán 10 CTST

=======

Đề bài

Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{ – x – 5}}\)

b) \(f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} – 1} \right|\)

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số

Bước 2: Lấy \({x_1},{x_2}\) tùy ý thuộc tập xác định, thay vào f(x) tính và so sánh biết:

Với hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) thì ta có

+) Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

+) Hàm số ngịch biến trên khoảng (a; b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

Bước 3: Kết luận

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{ – x – 5}}\) xác định khi \( – x – 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne  – 5\) nên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 5} \right\}\)

Lấy \({x_1},{x_2}\) là hai số tùy ý thuộc mỗi khoảng \(\left( { – \infty ; – 5} \right),\left( { – 5; + \infty } \right)\), sao cho \({x_1} < {x_2}\), ta có:

\(f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{ – {x_1} – 5}} – \frac{1}{{ – {x_2} – 5}} = \frac{{{x_2} – {x_1}}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}\)

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} – {x_1} > 0\)     (1)

Mặt khác, khi lấy x₁ và x₂ cùng nhỏ hơn -5 hoặc cùng lớn hơn -5, ta đều có \({x_1} + 5\) và \({x_2} + 5\) luôn cùng dấu nên \(\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right) > 0\) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có \(f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right) > 0\). Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  \(\left( { – \infty ; – 5} \right) \cup \left( { – 5; + \infty } \right)\)

b) Hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} – 1} \right|\) được viết lại như sau

\(f\left( x \right) = \left| {3x – 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}3x – 1{\rm{        }}\left( {{\rm{3}}x – 1 \ge 0} \right)\\ – \left( {3x – 1} \right){\rm{   }}\left( {{\rm{3}}x – 1 < 0} \right)\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}3x – 1{\rm{    }}\left( {x \ge \frac{1}{3}} \right)\\ – 3x + 1{\rm{  }}\left( {x < \frac{1}{3}} \right)\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3x – 1\). Hàm số này xác định trên \(\mathbb{R}\)

Lấy\({x_1},{x_2}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\), ta có:

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow 3{x_1} < 3{x_2} \Rightarrow 3{x_1} – 1 < 3{x_2} – 1 \Rightarrow g\left( {{x_1}} \right) < g\left( {{x_2}} \right)\)