Giải CHI TIẾT Bài 2. Nhị thức Newton – Chuyên đề Toán 10 CD
============
Giải mục 1 trang 31, 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
- Câu 1
- Câu 2
- Câu 3
Câu 1
a) Quan sát khai triển biểu thức sau:
\({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^{5 – 1}}{b^1} + C_5^2{a^{5 – 2}}{b^2} + C_5^3{a^{5 – 3}}{b^3} + C_5^4{a^{5 – 4}}{b^4} + C_5^5{b^5}\)
Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức \({(a + b)^5}\)
b) Xét biểu thức \({(a + b)^n}\) với \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2\)
Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức \({(a + b)^n}\)
Lời giải chi tiết:
a) Dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức \({(a + b)^5}\) là: \(C_5^k{a^{5 – k}}{b^k}\) với \(0 \le k \le 5\)
b) Dự đoán: Dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức \({(a + b)^n}\) là: \(C_n^k{a^{n – k}}{b^k}\) với \(0 \le k \le n\)
Câu 2
Khai triển biểu thức \({\left( {x + 2} \right)^7}\)
Phương pháp giải:
\({(a + b)^7} = C_7^0{a^7} + C_7^1{a^6}b + C_7^2{a^5}{b^2} + C_7^3{a^4}{b^3} + C_7^4{a^3}{b^4} + C_7^5{a^2}{b^5} + C_7^6a{b^6} + C_7^7{b^7}\)
Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x + 2)^7} = C_7^0{x^7} + C_7^1{x^6}.2 + C_7^2{x^5}{2^2} + C_7^3{x^4}{2^3} + C_7^4{x^3}{2^4} + C_7^5{x^2}{2^5} + C_7^6x{.2^6} + C_7^7{2^7}\\ = {x^7} + 14{x^6} + 84{x^5} + 280{x^4} + 560{x^3} + 672{x^2} + 448x + 128\end{array}\)
Câu 3
Cho \(n \in \mathbb{N}*\). Chứng minh \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^{n – 1} + C_n^n = {2^n}\)
Phương pháp giải:
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Cho \(a = b = 1\), ta được:
\(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n = {(1 + 1)^n} = {2^n}\)
Giải mục 1 trang 31, 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải mục 2 trang 34 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
- Luyện tập
Luyện tập
Sử dụng tam giác Pascal để khai triển các biểu thức sau:
a) \({(x + y)^7}\)
b) \({(x – 2)^7}\)
Phương pháp giải:
Tam giác Pascal
Lời giải chi tiết:
Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(3x + 2)^9} = C_9^0{\left( {3x} \right)^9} + C_9^1{\left( {3x} \right)^8}2 + … + C_9^k{\left( {3x} \right)^{9 – k}}{2^k} + … + C_9^8\left( {3x} \right){2^8} + C_9^9{2^9}\)
Số hạng chứa \({x^2}\) ứng với \(9 – k = 2\) hay \(k = 7\). Do đó hệ số của \({x^2}\) là
\(C_9^7{3^2}{2^7} = 36.9.128 = 41472\)
Giải mục 2 trang 34 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
————
Giải mục 3 trang 35, 36 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
- HĐ 3
- Luyện tập 1
- Luyện tập 2
HĐ 3
Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức \({(a + b)^4}\) (Hình 7a) và nhị thức \({(a + b)^5}\) (Hình 7b) sau:
a) So sánh từng cặp hệ số \(C_4^0\) và \(C_4^4\), \(C_4^1\) và \(C_4^3\) ở Hình 7a.
So sánh từng cặp hệ số \(C_5^0\) và \(C_5^5\), \(C_5^1\) và \(C_5^4\),\(C_5^2\) và \(C_5^3\) ở Hình 7b.
b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(C_4^0 = 1 = C_4^4;C_4^1 = 4 = C_4^3\)
\(C_5^0 = 1 = C_5^5;C_5^1 = 5 = C_5^4;C_5^2 = 10 = C_5^3\)
b) Dãy \(C_4^0;C_4^1;C_4^2;C_4^3;C_4^4\) tăng từ \(C_4^0\) đến \(C_4^2\) rồi giảm từ \(C_4^2\) đến \(C_4^4\)
Dãy \(C_5^0;C_5^1;C_5^2;C_5^3;C_5^4;C_5^5\) tăng từ \(C_5^0\) đến \(C_5^2\) , \(C_5^2 = C_5^3\), rồi giảm từ \(C_5^3\) đến \(C_5^5\)
Luyện tập 1
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của
a) \({(a + b)^{2022}}\)
b) \({(a + b)^{2023}}\)
Phương pháp giải:
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Hệ số thứ k của biểu thức là \(C_n^{n – k}{a^k}{b^{n – k}}\)
Hệ số lớn nhất trong khai triển là hệ số lớn hơn hệ số đứng sau và đứng trước nó
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(C_{2022}^0 < C_{2022}^1 < C_{2022}^2 < … < C_{2022}^{1011}\) và \(C_{2022}^{1011} > C_{2022}^{1012} > C_{2022}^{1012} > … > C_{2022}^{2022}\)
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển \({(a + b)^{2022}}\) là \(C_{2022}^{1011}\)
a) Ta có \(C_{2023}^0 < C_{2023}^1 < C_{2023}^2 < … < C_{2023}^{1011} = C_{2023}^{1012}\) và \(C_{2023}^{1012} > C_{2023}^{1013} > C_{2023}^{1014} > … > C_{2023}^{2023}\)
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển \({(a + b)^{2023}}\) là \(C_{2023}^{1011} = C_{2023}^{1012}\)
Luyện tập 2
Xét khai triển của \({(x + 5)^{15}}\)
a) Nêu số hạng chứa \({x^7}\) từ đó nêu hệ số của \({x^7}\)
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 15\)
Phương pháp giải:
Công thức nhị thức Newton: \({(ax + b)^n} = C_n^0{(ax)^n} + C_n^1{(ax)^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}(ax){b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Hệ số của \({x^k}\) trong khai triển trên là \(C_n^{n – k}{a^k}{b^{n – k}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({(x + 5)^{15}} = {C_1}^0{x^{15}} + {C_1}^1{x^{14}}5 + … + {C_1}^{14}x{.5^{14}} + {C_1}^{15}{5^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{15 – k}}{5^k}} \)
a) Số hạng chứa \({x^7}\), tức là \(15 – k = 7\) hay \(k = 8\) là \(C_{15}^8.{x^7}{.5^8}\). Hệ số của \({x^7}\) là \(C_{15}^8{.5^8}\)
b) Số hạng chứa \({x^{15}}\) là \(C_{15}^0{x^{15}} = {x^{15}}\). Hệ số của \({x^{15}}\) là \(1\).
Số hạng tự do là: \(C_{15}^{15}{5^{15}} = {5^{15}}\)
Số hạng chứa \({x^k}(1 \le k \le 14)\) là \(C_{15}^{15 – k}{x^k}{5^{15 – k}} = C_{15}^{15 – k}{5^{15 – k}}{x^k}\). Hệ số của \({x^k}\) là \(C_{15}^{15 – k}{5^{15 – k}}\)
Giải mục 3 trang 35, 36 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
—–
Giải bài 1 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Khai triển biểu thức:
a) \({(2x + y)^6}\)
b) \({(x – 3y)^6}\)
c) \({(x – 1)^n}\)
d) \({(x + 2)^n}\)
e) \({(x + y)^{2n}}\)
f) \({(x – y)^{2n}}\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức nhị thức Newton
\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
hoặc tam giác Pascal
Lời giải chi tiết
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(2x + y)^6} = {\left( {2x} \right)^6} + 6{\left( {2x} \right)^5}.y + 15{\left( {2x} \right)^4}.{y^2} + 20{\left( {2x} \right)^3}.{y^3} + 15{\left( {2x} \right)^2}.{y^4} + 6\left( {2x} \right).{y^5} + {y^6}\\ = 64{x^6} + 192{x^5}y + 240{x^4}{y^2} + 160{x^3}{y^3} + 60{x^2}{y^4} + 12x{y^5} + {y^6}\end{array}\)
b) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x – 3y)^6} = {x^6} + 6{x^5}.\left( { – 2y} \right) + 15{x^4}.{\left( { – 3y} \right)^2} + 20{x^3}.{\left( { – 3y} \right)^3} + 15{x^2}.{\left( { – 3y} \right)^4} + 6x.{\left( { – 3y} \right)^5} + {\left( { – 3y} \right)^6}\\ = {x^6} – 12{x^5}y + 135{x^4}{y^2} – 540{x^3}{y^3} + 1215{x^2}{y^4} – 1458x{y^5} + 729{y^6}\end{array}\)c) Sử dụng công thức nhị thức Newton
\({(x – 1)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n – 1}}{\left( { – 1} \right)^1} + … + C_n^{n – 1}x{\left( { – 1} \right)^{n – 1}} + C_n^n{\left( { – 1} \right)^n}\)
d) Sử dụng công thức nhị thức Newton
\({(x + 2)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n – 1}}{.2^1} + … + C_n^{n – 1}x{.2^{n – 1}} + C_n^n{.2^n}\)
e) Sử dụng công thức nhị thức Newton
\({(x + y)^{2n}} = C_{2n}^0{x^{2n}} + C_{2n}^1{x^{2n – 1}}{y^1} + … + C_{2n}^{2n – 1}x{y^{2n – 1}} + C_{2n}^{2n}{y^{2n}}\)
f) Sử dụng công thức nhị thức Newton
\({(x – y)^{2n}} = C_{2n}^0{x^{2n}} + C_{2n}^1{x^{2n – 1}}{\left( { – y} \right)^1} + … + C_{2n}^{2n – 1}x{\left( { – y} \right)^{2n – 1}} + C_{2n}^{2n}{\left( { – y} \right)^{2n}}\)
Giải bài 1 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 2 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Tính:
a) \(S = C_{2022}^0{9^{2022}} + C_{2022}^1{9^{2021}} + … + C_{2022}^k{9^{2022 – k}} + … + C_{2022}^{2021}9 + C_{2022}^{2022}\)
b) \(T = C_{2022}^0{4^{2022}} – C_{2022}^1{4^{2021}}.3 + … – C_{2022}^{2021}{4.3^{2021}} + C_{2022}^{2022}{.3^{2022}}\)
Phương pháp giải
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Lời giải chi tiết
a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có: \({\left( {9 + x} \right)^{2022}} = C_{2022}^0{9^{2022}}.{x^0} + C_{2022}^1{9^{2021}}.{x^1} + … + C_{2022}^k{9^{2022 – k}}.{x^k} + … + C_{2022}^{2021}9.{x^{2021}} + C_{2022}^{2022}.{x^{2022}}\)
Thay \(x = 1\) ta được: \({\left( {9 + 1} \right)^{2022}} = S = C_{2022}^0{9^{2022}} + C_{2022}^1{9^{2021}} + … + C_{2022}^k{9^{2022 – k}} + … + C_{2022}^{2021}9 + C_{2022}^{2022} \Rightarrow S = {10^{2022}}\)
b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({\left( {4 + x} \right)^{2022}} = C_{2022}^0{4^{2022}}.{x^0} + C_{2022}^1{4^{2021}}.{x^1} + … + C_{2022}^k{4^{2022 – k}}.{x^k} + … + C_{2022}^{2021}4.{x^{2021}} + C_{2022}^{2022}.{x^{2022}}\)
Thay \(x = – 3\) ta được
\(\begin{array}{l}{\left( {4 – 3} \right)^{2022}} = C_{2022}^0{4^{2022}}.{\left( { – 3} \right)^0} + C_{2022}^1{4^{2021}}.{\left( { – 3} \right)^1} + …… + C_{2022}^{2021}4.{\left( { – 3} \right)^{2021}} + C_{2022}^{2022}.{\left( { – 3} \right)^{2022}}\\ \Leftrightarrow {1^{2022}} = T = C_{2022}^0{4^{2022}} – C_{2022}^1{4^{2021}}.3 + … – C_{2022}^{2021}{4.3^{2021}} + C_{2022}^{2022}{.3^{2022}}\\ \Leftrightarrow T = 1\end{array}\)
Giải bài 2 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 3 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Chứng minh \(C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n – 1}} + … + C_n^k{3^{n – k}} + … + C_n^{n – 1}3 + C_n^n\)
\( = C_n^03 + C_n^13 + … + C_n^k{3^k} + … + C_n^{n – 1}{3^{n – 1}} + C_n^n{.3^n}\) với \(0 \le k \le n,n \in \mathbb{N}\)
Phương pháp giải
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Lời giải chi tiết
Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:
\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0.{a^n}.{b^0} + C_n^1{a^{n – 1}}.{b^1} + … + C_n^k{a^{n – k}}.{b^k} + … + C_n^{n – 1}a.{b^{n – 1}} + C_n^n.{a^0}.{b^n}\)
Thay \(a = 3,b = 1\) ta được
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {3 + 1} \right)^n} = C_n^0{.3^n}{.1^0} + C_n^1{3^{n – 1}}{.1^1} + … + C_n^k{3^{n – k}}{.1^k} + … + C_n^{n – 1}{3.1^{n – 1}} + C_n^n{.3^0}{.1^n}\\ \Rightarrow {4^n} = C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n – 1}} + … + C_n^k{3^{n – k}} + … + C_n^{n – 1}3 + C_n^n\end{array}\)
Thay \(a = 1,b = 3\) ta được
\(\begin{array}{l}{\left( {1 + 3} \right)^n} = C_n^0{.1^n}{.3^0} + C_n^1{1^{n – 1}}{.3^1} + … + C_n^k{1^{n – k}}{.3^k} + … + C_n^{n – 1}{1.3^{n – 1}} + C_n^n{.1^0}{.3^n}\\ \Rightarrow {4^n} = C_n^03 + C_n^13 + … + C_n^k{3^k} + … + C_n^{n – 1}{3^{n – 1}} + C_n^n{.3^n}\end{array}\)
Suy ra điều phải chứng minh
Giải bài 3 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 4 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Xác định hệ số của:
a) \({x^{12}}\) trong khai triển của biểu thức \({(x + 4)^{30}}\)
b) \({x^{10}}\) trong khai triển của biểu thức \({(3 + 2x)^{30}}\)
c) \({x^{15}}\) và \({x^{16}}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {\frac{{2x}}{3} – \frac{1}{7}} \right)^{51}}\)
Phương pháp giải
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Lời giải chi tiết
a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(x + 4)^{30}} = C_{30}^0{x^{30}} + C_{30}^1{x^{29}}{4^1} + … + C_{30}^k{x^{30 – k}}{4^k} + … + C_{30}^{30}{4^{30}}\)
Số hạng chứa \({x^{12}}\) ứng với \(30 – k = 12 \Rightarrow k = 18\). Do đó hệ số của \({x^{12}}\) là
\(C_{30}^{18}{4^{18}}\)
b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(3 + 2x)^{30}} = C_{30}^0{3^{30}} + C_{30}^1{3^{29}}{\left( {2x} \right)^1} + … + C_{30}^k{3^{30 – k}}{\left( {2x} \right)^k} + … + C_{30}^{30}{\left( {2x} \right)^{30}}\)
Số hạng chứa \({x^{10}}\) ứng với \(k = 10\). Do đó hệ số của \({x^{10}}\) là
\(C_{30}^{10}{3^{20}}{2^{10}}\)
c) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({\left( {\frac{{2x}}{3} – \frac{1}{7}} \right)^{51}} = C_{51}^0{\left( {\frac{{2x}}{3}} \right)^{51}} + C_{51}^1{\left( {\frac{{2x}}{3}} \right)^{50}}{\left( { – \frac{1}{7}} \right)^1} + … + C_{51}^k{\left( {\frac{{2x}}{3}} \right)^{51 – k}}{\left( { – \frac{1}{7}} \right)^k} + … + C_{51}^{51}{\left( { – \frac{1}{7}} \right)^{51}}\)
Số hạng chứa \({x^{15}}\) ứng với \(51 – k = 15 \Leftrightarrow k = 36\). Do đó hệ số của \({x^{15}}\) là
\(C_{51}^{15}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{15}}{\left( { – \frac{1}{7}} \right)^{36}}\)
Số hạng chứa \({x^{16}}\) ứng với \(51 – k = 16 \Leftrightarrow k = 35\). Do đó hệ số của \({x^{16}}\) là
\(C_{51}^{16}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{16}}{\left( { – \frac{1}{7}} \right)^{35}}\)
Giải bài 4 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 5 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Xét khai triển \({\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}}\)
a) Xác định hệ số của \({x^7}\)
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 12\)
Phương pháp giải
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Lời giải chi tiết
a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}} = C_{12}^0{x^{12}} + C_{12}^1{x^{11}}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^1} + … + C_{12}^k{x^{12 – k}}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^k} + … + C_{12}^{12}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{12}}\)
Số hạng chứa \({x^7}\) ứng với \(12 – k = 7 \Rightarrow k = 5\). Do đó hệ số của \({x^7}\) là
\(C_{12}^5{\left( {\frac{5}{2}} \right)^5}\)
b) Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}}\) là \(C_{12}^{12 – k}{(x)^k}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{12 – k}}\)
Như vậy, hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 12\) là \(C_{12}^{12 – k}{\left( {\frac{5}{2}} \right)^{12 – k}}\)
Giải bài 5 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Xét khai triển \({\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}}\)
a) Xác định hệ số của \({x^{10}}\)
b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 21\)
Phương pháp giải
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Lời giải chi tiết
a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}} = C_{21}^0{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{12}} + C_{21}^1{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{20}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^1} + … + C_{21}^k{\left( {\frac{x}{2}} \right)^{21 – k}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^k} + … + C_{21}^{21}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21}}\)
Số hạng chứa \({x^{10}}\) ứng với \(21 – k = 10 \Rightarrow k = 11\). Do đó hệ số của \({x^{10}}\) là
\(C_{21}^{11}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{11}}\)
b) Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}}\) là \(C_{21}^{21 – k}{\left( {\frac{x}{2}} \right)^k}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21 – k}}\)
Như vậy, hệ số \({a_k}\) của \({x^k}\) với \(0 \le k \le 21\) là \(C_{21}^{21 – k}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^k}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{21 – k}}\)
Giải bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 7 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:
a) \({\left( {a + b} \right)^8}\)
b) \({\left( {a + b} \right)^9}\)
Phương pháp giải
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Hệ số thứ k của biểu thức là \(C_n^{n – k}{a^k}{b^{n – k}}\)
Hệ số lớn nhất trong khai triển là hệ số lớn hơn hệ số đứng sau và đứng trước nó
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(C_8^0 < C_8^1 < C_8^2 < … < C_8^4\) và \(C_8^4 > C_8^5 > C_8^6 > … > C_8^8\)
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển \({\left( {a + b} \right)^8}\) là \(C_8^4 = 70\)
a) Ta có \(C_9^0 < C_9^1 < C_9^2 < … < C_9^4 = C_9^5\) và \(C_9^5 > C_9^5 > C_9^7 > … > C_9^9\)
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển \({\left( {a + b} \right)^9}\) là \(C_9^4 = C_9^5 = 126\)
Giải bài 7 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 8 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:
\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải
Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
Ta chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp theo n.
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({(a + b)^1} = C_1^0a + C_1^1b\quad ( = a + b)\)
Như vậy công thức đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Giả sử công thức đúng với \(n = k\), nghĩa là có:
\({(a + b)^k} = C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k – 1}}b + … + C_k^{k – 1}a{b^{k – 1}} + C_k^k{b^k}\)
Ta sẽ chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh
\({(a + b)^{k + 1}} = C_{k + 1}^0{a^{k + 1}} + C_{k + 1}^1{a^k}b + … + C_{k + 1}^ka{b^k} + C_{k + 1}^{k + 1}{b^{k + 1}}\)
Thật vậy ta có
\(\begin{array}{l}{(a + b)^{k + 1}} = {(a + b)^k}(a + b) = \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k – 1}}b + … + C_k^{k – 1}a{b^{k – 1}} + C_k^k{b^k}} \right)(a + b)\\ = \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k – 1}}b + … + C_k^{k – 1}a{b^{k – 1}} + C_k^k{b^k}} \right)a + \left( {C_k^0{a^k} + C_k^1{a^{k – 1}}b + … + C_k^{k – 1}a{b^{k – 1}} + C_k^k{b^k}} \right)b\\ = \left( {C_k^0{a^{k + 1}} + C_k^1{a^k}b + … + C_k^{k – 1}{a^2}{b^{k – 1}} + C_k^ka{b^k}} \right) + \left( {C_k^0{a^k}b + C_k^1{a^{k – 1}}{b^2} + … + C_k^{k – 1}a{b^k} + C_k^k{b^{k + 1}}} \right)\\ = C_k^0{a^{k + 1}} + \left( {C_k^1 + C_k^0} \right){a^k}b + … + \left( {C_k^m + C_k^{m – 1}} \right){a^{k + 1 – m}}{b^m} + … + \left( {C_k^k + C_k^{k – 1}} \right)a{b^k} + C_k^k{b^{k + 1}}\end{array}\)
Mà \(C_k^m + C_k^{m – 1} = C_{k + 1}^m\;(0 \le m \le k),\;C_k^0 = C_{k + 1}^0 = 1,C_k^k = C_{k + 1}^{k + 1} = 1\)
\( \Rightarrow {(a + b)^{k + 1}} = C_{k + 1}^0{a^{k + 1}} + C_{k + 1}^1{a^k}b + … + C_{k + 1}^ka{b^k} + C_{k + 1}^{k + 1}{b^{k + 1}}\)
Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)
Giải bài 8 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 9 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:
a) \({n^5} – n\) chia hết cho 5 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)
b) \({n^7} – n\) chia hết cho 7 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)
Phương pháp giải
Chứng minh mệnh đề đúng \(\forall n \in \mathbb{N}*\) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge 1\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
Lời giải chi tiết
a) \({n^5} – n\) chia hết cho 5 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = 1\)
+ \(VT = {1^5} – 1 = 0 \vdots 5\)
=> Mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge 1\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
+ Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), tức là: \({k^5} – k \vdots 5\)
+ Chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là \({\left( {k + 1} \right)^5} – \left( {k + 1} \right) \vdots 5\)
Thật vậy, xét:
\(\begin{array}{l}{\left( {k + 1} \right)^5} – \left( {k + 1} \right) = \left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^4} – 1} \right] = \left( {k + 1} \right)\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2} + 1} \right)\left( {k + 1 – 1} \right)\left( {k + 1 + 1} \right)\\ = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2} – 4 + 5} \right) = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {\left( {k + 1 – 2} \right)\left( {k + 1 + 2} \right) + 5} \right]\\ = \left( {k – 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) + 5k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\end{array}\)
+ Ta thấy \(\left( {k – 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\)là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp à \(\left( {k – 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\) chia hết cho 5
+ \(5k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\) chia hết cho 5
\( \Rightarrow {\left( {k + 1} \right)^5} – \left( {k + 1} \right) \vdots 5\) Suy ra điều phải chứng minh
b) \({n^7} – n\) chia hết cho 7 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = 1\)
+ \(VT = {1^7} – 1 = 0 \vdots 7\)
=> Mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge 1\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.
+ Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), tức là: \({k^7} – k \vdots 7\)
+ Chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là \({\left( {k + 1} \right)^7} – \left( {k + 1} \right) \vdots 7\)
Thật vậy, xét:
\(\begin{array}{l}{\left( {k + 1} \right)^7} – \left( {k + 1} \right) = {k^7} + C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k – k\\ = \left( {{k^7} – k} \right) + \left( {C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k} \right)\end{array}\)
+ Ta có \({k^7} – k \vdots 7\)
+ \(\left( {C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k} \right)\) chia hết cho 7 vì \(C_7^k\) với k chạy từ 1 đến 6 là bội của 7 nên luôn chia hết cho 7
\( \Rightarrow {\left( {k + 1} \right)^7} – \left( {k + 1} \right) \vdots 7\) Suy ra điều phải chứng minh
Giải bài 9 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 10 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Cho tập hợp \(A = \left\{ {{x_1};{x_2};{x_3};…;{x_n}} \right\}\) có n phần tử. Tính số tập hợp con của A
Phương pháp giải
Số tập hợp con của tập hợp của tập hợp của n phần tử là \({2^n}\)
Lời giải chi tiết
Số tập hợp con của tập hợp của tập hợp của n phần tử là \({2^n}\)
Thật vậy,
+ Số tập hợp con có 0 phần tử của tập hợp A là: \(C_n^0\)
+ Số tập hợp con có 1 phần tử của tập hợp A là: \(C_n^1\)
+ Số tập hợp con có 2 phần tử của tập hợp A là: \(C_n^2\)
…
+ Số tập hợp con có n phần tử của tập hợp A là: \(C_n^n\)
=> Số tập hợp con của tập hợp của tập hợp của n phần tử là \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n = {2^n}\)
Giải bài 10 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 11 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế?
Phương pháp giải
Viết công thức tổng quát và sử dụng Nhị thức Newton để rút gọn biểu thức
Lời giải chi tiết
+ Số cách chọn 2 học sinh trong 10 học sinh: \(C_{10}^2\)
+ Số cách chọn 3 học sinh trong 10 học sinh: \(C_{10}^3\)
…
+ Số cách chọn 10 học sinh trong 10 học sinh: \(C_{10}^{10}\)
=> Số cách chọn là:
\(\begin{array}{l}C_{10}^2 + C_{10}^3 + C_{10}^4 + … + C_{10}^{10} = \left( {C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2 + … + C_{10}^{10}} \right) – \left( {C_{10}^0 + C_{10}^1} \right)\\ = {2^{10}} – 1 – 10 = {2^{10}} – 11\end{array}\)
Giải bài 11 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 12 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách chọn bánh cho vào hộp trung bày đó?
Phương pháp giải
Đếm các số nguyên dương chẵn nhỏ hơn 12
Lời giải chi tiết
Có cách số nguyên dương chẵn nhỏ hơn 12 là: 2; 4; 6; 8; 10; 12
=> Có 6 cách chọn bánh cho vào hộp trung bày đó
Giải bài 12 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 13 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn 1 trong 5 loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách mua quà sinh nhật cho con?
Lời giải chi tiết
+ Trường hợp 1: Nếu Bác Thành mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, Bác sẽ chỉ mua bộ trực thăng điều khiển từ xa => Có 1 cách chọn
+ Trường hợp 2: Nếu Bác Thành mua bộ đồ chơi lego, Bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau => Chọn 3 sản phẩm trong 10 sản phẩm khác cùng loại => Có \(C_{10}^3\) cách chọn
+ Trường hợp 3: Nếu Bác Thành mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, Bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau => Chọn 5 sản phẩm trong 10 sản phẩm khác cùng loại => Có \(C_{10}^5\) cách chọn
+ Trường hợp 4: Nếu Bác Thành mua rubik, Bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau => Chọn 7 sản phẩm trong 10 sản phẩm khác cùng loại => Có \(C_{10}^7\) cách chọn
+ Trường hợp 5: Nếu Bác Thành mua mô hình khủng long, Bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau => Chọn 9 sản phẩm trong 10 sản phẩm khác cùng loại => Có \(C_{10}^9\) cách chọn
=> Số cách chọn là: \(1 + C_{10}^3 + C_{10}^5 + C_{10}^7 + C_{10}^9\)
Giải bài 13 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giải bài 14 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều>
Đề bài
Giả sử tình trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen phân li độc lập \({A_1}{a_1},A{ & _2}{a_2},…,{A_n}{a_n}\). Cho cây \({F_1}\) dị hợp về n cặp alen giao phối với nhau. Tỉ lệ phân li kiểu hình của \({F_2}\) là hệ số của khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^{2n}}\), nghĩa là tỉ lệ phân li kiểu hình của \({F_2}\) là: \(C_{2n}^0:C_{2n}^1:C_{2n}^2:…:C_{2n}^{2n – 2}:C_{2n}^{2n – 1}:C_{2n}^{2n}\)
Cho biết một loài cây có tình trạng được quy định bởi tác động cộng gộp của 4 cặp alen phân li độc lập. Tìm tỉ lệ phân li kiểu hình của \({F_2}\) nếu cây \({F_1}\) dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau
Lời giải chi tiết
Thay \(n = 4\) vào công thức trong đề bài, ta được tỉ lệ phân li kiểu hình của \({F_2}\) nếu cây \({F_1}\) dị hợp về 4 cặp alen giao phối với nhau là: \(C_{2.4}^0:C_{2.4}^1:C_{2.4}^2:…:C_{2.4}^{2.4 – 2}:C_{2.4}^{2.4 – 1}:C_{2.4}^{2.4}\)
Hay \(C_8^0:C_8^1:C_8^2:C_8^3:C_8^4:C_8^5:C_8^6:C_8^7:C_8^8\)
Giải bài 14 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Trả lời