Đề bài
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 5 ,0 điểm)
Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{2x – 3}}{3} > \dfrac{{x – 1}}{2}\) là
A. \(\left( {3; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { – 3; + \infty } \right)\)
C. \(\left( {2; + \infty } \right)\)
D. \(\left( { – 2; + \infty } \right)\)
Câu 2 : Biểu thức \(f\left( x \right) = 3x + 5\) nhận giá trị dương khi và chỉ khi:
A . \(x \ge – \dfrac{5}{3}.\) B . \(x > – \dfrac{5}{3}.\)
C. \(x < – \dfrac{5}{3}.\) D . \(x > \dfrac{5}{3}.\)
Câu 3: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y – 3 < 0\\2x + y – 2 > 0\end{array} \right.\). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?
A. \(M\left( {2;3} \right)\).
B. \(N\left( {2;2} \right)\).
C . \(P\left( {3; – 1} \right)\).
D. \(Q\left( { – 1; – 5} \right)\).
Câu 4 : Cho biểu thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) và \(\Delta = {b^2} – 4ac\). Chọn khẳng định đúng?
A . Khi \(\Delta > 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn trái dấu hệ số a với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
B. Khi \(\Delta = 0\) thì \(f\left( x \right)\) trái dấu với hệ số a với mọi \(x \ne – \dfrac{b}{{2a}}\)
C. Khi \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne – \dfrac{b}{{2a}}\).
D. Khi \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Câu 5: Tìm tập nghiệm của bất phương trình \( – {x^2} + 2016x + 2017 > 0\) .
A. \(\left( { – 1;2017} \right).\)
B. \(\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {2017; + \infty } \right).\)
C. \(\left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {2017; + \infty } \right).\)
D. \(\left[ { – 1;2017} \right].\)
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) đề bất phương trình \({x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} + 2m – 1 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\)
A. \(m < \dfrac{5}{4}\). B. \(m > \dfrac{5}{4}\)
C. \(m < – \dfrac{5}{4}\). D. \(m > – \dfrac{5}{4}\).
Câu 7: Kết quả điểm kiểm tra môn Toán của 40 học sinh lớp 10A được trình bày ở bảng sau
Tính số trung bình cộng của bảng trên.( làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân).
A. \(7,0\). B. \(6,4\).
C. \(6,8\). D . \(6,7\).
Câu 8 : Cho \(0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2}\). Hãy chọn khẳng định đúng?
A. \(\tan \alpha < 0\). B. \(\sin \alpha < 0\).
C. \(\cos \alpha < 0\). D.\(\sin \alpha > 0\)
Câu 9 : Chọn khẳng định đúng ?
A. \(1 + {\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) .
B. \({\sin ^2}x – {\cos ^2}x = 1\) .
C. \(\tan x = – \dfrac{1}{{\cot x}}\) .
D. \(\sin x + \cos x = 1\).
Câu 10: Chọn khẳng định đúng?
A. \(\cot \left( {\pi – \alpha } \right) = \cot \alpha \).
B. \(\cos \left( {\pi – \alpha } \right) = – \cos \alpha \).
C. \(\tan \left( {\pi – \alpha } \right) = \tan \alpha \).
D. \(\sin \left( {\pi – \alpha } \right) = – \sin \alpha \).
Câu 11: Tính giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{{2\sin \alpha – 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha + 5\cos \alpha }}\) biết \(\cot \alpha = – 3\)
A. \(\dfrac{9}{7}\). B. \(\dfrac{7}{9}\).
C. \( – 1\). D. \(1\).
Câu 12: Với mọi \(a,b\). Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A. \(sin(a + b) = sina.sinb + cosa.cosb\).
B. \(cos(a + b) = cosa.\sin b – sina.\cos b\).
C. \(cos(a + b) = cosa.cosb + sina.sinb\).
D. \(sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa\).
Câu 13: Với mọi \(a\). Khẳng định nào dưới đây sai ?
A. \(\sin acosa = 2\sin 2a\).
B. \(2co{s^2}a = cos2a + 1\).
C. \(2si{n^2}a = 1 – cos2a\).
D. \(co{s^2}a – si{n^2}a = cos2a\).
Câu 14: Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 3 – 5t\end{array} \right.\)
A\(\overrightarrow u = (5;2)\). B. \(\overrightarrow u = (2; – 5)\).
C. \(\overrightarrow u = ( – 1;3)\). D. \(\overrightarrow u = ( – 3;1)\).
Câu 1 5 . Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho hai điểm \(A\left( {1; – 3} \right),B\left( { – 2;5} \right)\). Viết phương trình tổng quát đi qua hai điểm \(A,B\)
A. \( – 3x + 8y – 30 = 0\).
B. \(8x + 3y – 1 = 0\) .
C. \(8x + 3y + 1 = 0\).
D. \( – 3x + 8y + 30 = 0\).
Câu 16 : Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho hai điểm \(M(2;5)\) và \(N(5;1)\). Phương trình đường thẳng đi qua \(M\) và cách \(N\) một đoạn có độ dài bằng \(3\)là
A. \(y + 2 = 0\) hoặc \(24x + 7y + 134 = 0\)
B. \(y – 2 = 0\) hoặc \(24x + 7y – 134 = 0\)
C. \(x + 2 = 0\) hoặc \(7x + 24y + 134 = 0\)
D. \(x – 2 = 0\) hoặc \(7x + 24y – 134 = 0\)
Câu 1 7 : Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(\left( C \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\). Tọa độ tâm \(I\)và bán kính\(R\)của đường tròn \(\left( C \right)\)là
A. \(I\left( {3; – 2} \right),R = 3\).
B. \(I\left( {2; – 3} \right),R = 3\) .
C. \(I\left( { – 2;3} \right),R = 3\) .
D. \(I\left( { – 3;2} \right),R = 3\).
Câu 18: Bán kính của đường tròn tâm \(I( – 2; – 1)\)và tiếp xúc với đường thẳng \(4x – 3y + 10 = 0\) là
A. \(R = \dfrac{1}{5}\) B. \(R = 1\)
C. R=\(3\) D. \(R = \sqrt 5 \)
Câu 1 9 . Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(\left( C \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\), biết tiếp tuyến song song với \(d:4x – 3y + 5 = 0\).
A . \(3x + 4y – 1 = 0\) hoặc \(3x + 4y – 21 = 0\).
B. \(4x – 3y + 1 = 0\) hoặc \(4x – 3y + 21 = 0\).
C. \(4x – 3y – 1 = 0\) hoặc \(4x – 3y – 21 = 0\).
D. \(3x + 4y + 1 = 0\) hoặc \(3x + 4y + 21 = 0\).
Câu 20 . Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tọa độ hai tiêu điểm của Elip là
A. \({F_1}\left( { – 8;0} \right),{F_2}\left( {8;0} \right)\).
B. \({F_1}\left( {0; – 4} \right),{F_2}\left( {0;4} \right)\).
C. \({F_1}\left( {0; – 8} \right),{F_2}\left( {0;8} \right)\).
D. \({F_1}\left( { – 4;0} \right),{F_2}\left( {4;0} \right)\).
II. PHẦN TỰ LUẬN ( 5 ,0 điểm)
Bài 1 : ( 1,5 điểm) Giải bất phương trình sau: \(\dfrac{{\left( { – x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3x – 4} \right)}}{{ – {x^2} + 4x – 4}} > 0\)
Bài 2 : ( 2,0 điểm)
a. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{{(\sin x + \cos x)}^2} – 1}}{{\cot x – \sin x\cos x}} = 2{\tan ^2}x\)
b. Cho \(\cos \alpha = – \dfrac{1}{4}\) và \(\dfrac{\pi }{2}\langle \alpha \langle \pi \). Tính \(\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha \)
Bài 3: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng \({\rm{Ox}}y\), cho tam giác ABC biết \(A(3;7)\,\,\)và \(\,\,B(1;1),C( – 5;1)\). Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(BC\). Viết phương trình đường trung tuyến \(AM\).
Bài 4 : (0,5 điểm) Trong mặt phẳng \({\rm{Ox}}y\), cho \(M( – 1;1),N(1; – 3)\). Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm \(M,N\) và có tâm nằm trên đường thẳng \(d:2x – y + 1 = 0\).
Lời giải chi tiết
I. Trắc nghiệm
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| A | B | C | D | A |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | C | D | A | B |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| C | D | A | B | C |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | A | B | C | D |
II. Tự luận
Bài 1: Giải bất phương trình sau: \(\dfrac{{\left( { – x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3x – 4} \right)}}{{ – {x^2} + 4x – 4}} > 0\)
\(\begin{array}{l} – x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\\,{x^2} + 3x – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 4\\x = 1\end{array} \right.\\ – {x^2} + 4x – 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)
Bảng xét dấu:
Vậy tập nghiệm của bpt là: \(S = \left( { – 4;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Bài 2:
a. Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{{(\sin x + \cos x)}^2} – 1}}{{\cot x – \sin x\cos x}} = 2{\tan ^2}x\)
\(VT = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x – 1}}{{\cos x\left( {\dfrac{1}{{\sin x}} – \sin x} \right)}}\)
\( = \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{\cos x\left( {\dfrac{{1 – {{\sin }^2}x}}{{\sin x}}} \right)}}\)
\( = \dfrac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 2{\tan ^2}x = VP\)
b. Cho \(\cos \alpha = – \dfrac{1}{4};\,\,\,\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính \(\sin 2\alpha ,\cos 2\alpha \).
Ta có: \({\sin ^2}\alpha = 1 – {\cos ^2}\alpha = 1 – \dfrac{1}{{16}} = \dfrac{{15}}{{16}}\)
\(\Rightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt {\dfrac{{15}}{{16}}} = \pm \dfrac{{\sqrt {15} }}{4}\)
Vì \(\dfrac{\pi }{2}<\alpha < \pi \) nên \(\sin \alpha >0\) nên \(\sin \alpha = \dfrac{{\sqrt {15} }}{4}\).
Ta có: \(\sin 2x = 2\sin x\cos x \)\(\,= 2\dfrac{{\sqrt {15} }}{4}.\left( { – \dfrac{1}{4}} \right) = – \dfrac{{\sqrt {15} }}{8}\)
Ta có: \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x – 1 \)\(\,= 2{\left( { – \dfrac{1}{4}} \right)^2} – 1 = – \dfrac{7}{8}\)
Bài 3: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{1 + ( – 5)}}{2} = – 2\\{y_I} = \dfrac{{1 + 1}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M( – 2;1)\)
Ta có \(\overrightarrow {AM} = ( – 5; – 6)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng BM
Suy ra một vectơ pháp tuyến của AM là \(\overrightarrow n = (6; – 5)\)
Đường thẳng AM qua \(A(3;7)\)và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (6; – 5)\) có phương trình tổng quát là: \(6(x – 3) – 5(y – 7) = 0 \) \(\Leftrightarrow 6x – 5y + 17 = 0\)
Bài 4:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I(a;b) \in d\\IA = IB\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a – b + 1 = 0\\{\left( { – 1 – a} \right)^2} + {\left( {1 – b} \right)^2} = {\left( {1 – a} \right)^2} + {\left( { – 3 – b} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a – b + 1 = 0\\a – 2b – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \dfrac{4}{3}\\b = – \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\) \(\)
Và bán kính \(R = IA = \dfrac{{\sqrt {65} }}{3}\)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x + \dfrac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{5}{3}} \right)^2} = \dfrac{{65}}{9}\)
Để lại một bình luận