Đề bài
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M là điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi. Tính S = a + b.
A. S = 4 B. S = 1
C. S = 2 D. S = 3.
Câu 2 . Điểm nào trong các điểm sau đây là điểm biểu diễn hình học của số phức z = – 5 + 4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
A. A(- 5 ; 4). B. B(5 ; – 4 ).
C. C(4 ; – 5). D. D(4 ; 5).
Câu 3. Trong C, phương trình \({z^3} + 1 = 0\) có nghiệm là :
A. \(S = \{ – 1;\,\dfrac{{2 \pm i\sqrt 3 }}{2}\} \).
B. \(S = \{ – 1\} \).
C. \(S = \{ – 1;\dfrac{{5 \pm i\sqrt 3 }}{4}\} \).
D. \(S = \{ – 1;\dfrac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\} \).
Câu 4 . Số phức z thỏa mãn \(|z| = 5\) và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
A. \(\left[ \begin{array}{l}z = 2\sqrt 5 + i\sqrt 5 \\z = – 2\sqrt 5 – i\sqrt 5 \end{array} \right.\).
B. \(\left[ \begin{array}{l}z = – 2\sqrt 5 + i\sqrt 5 \\z = 2\sqrt 5 – i\sqrt 5 \end{array} \right.\).
C. \(\left[ \begin{array}{l}z = \sqrt 5 + 2\sqrt 5 i\\z = – \sqrt 5 – 2\sqrt 5 i\end{array} \right.\).
D. \(\left[ \begin{array}{l}z = – \sqrt 5 + 2\sqrt 5 i\\z = \sqrt 5 – 2\sqrt 5 i\end{array} \right.\).
Câu 5 . Cho số phức z thỏa mãn \(|z – 2 – 2i| = 1\). Tập hợp điểm biểu diễn số phức z – i trong mặt phằng tọa độ là đường tròn có phương trình :
A. \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\).
B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\).
C. \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 1\).
D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\)
Câu 6. Điểm biểu diễn cùa các số phức z = 7 + bi với \(b \in R\), nằm trên đường thẳng có phương trình là:
A. x = 7. B. y = 7.
C. y = x. D. y = x + 7.
Câu 7 . Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = – 2 +5i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh để sau:
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
Câu 8. Biết rằng số phức liên hợp của z là \(\overline z = \left( {2 + 3i} \right) + \left( {4 – 8i} \right)\). Tìm số phức z.
A. \(z = – 6 – 5i\).
B. \(z = 6 + 5i\).
C. \(z = – 6 + 5i\).
D. \(z = 6 – 5i\).
Câu 9 . Cho \(\overline z = \left( {5 – 2i} \right)\left( { – 3 + 2i} \right)\). Giá trị của \(2|z| – 5\sqrt {377} \) bằng :
A. \( – 10\sqrt {377} \). B. \(10\sqrt {377} \).
C. \(7\sqrt {377} \). D. \( – 3\sqrt {377} \).
Câu 10 . Tìm số phức z biết \(|z| = 5\) và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị .
A. \({z_1} = 3 + 4i\,,\,\,{z_2} = – 4 – 3i\).
B. \({z_1} = 4 + 3i\,,\,\,{z_2} = – 3 – 4i\).
C. \({z_1} = – 4 – 3i\,,\,\,{z_2} = 3 + 4i\)
D. \({z_1} = \left( {2\sqrt 3 + 1} \right) + 2\sqrt 3 \) \({z_2} = \left( { – 2\sqrt 3 + 1} \right) – 2\sqrt 3 i\)
Câu 11 . Cho số phức z = a + bi và \(\overline z \) là số phức liên hợp của z. Chọn kết luận đúng.
A. \(z + \overline z = 2a\). B. \(z.\overline z = 1\).
C. \(z – \overline z = 2b\). D. \(z.\overline z = {z^2}\).
Câu 12 . Cho các số phức \({z_1} = – 1 + i\,,\,\,{z_2} = 1 – 2i\,,\,\,{z_3} = 1 + 2i\). Giá trị biểu thức \(T = |{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}|\) là:
A. 1 B. \(\sqrt {13} \)
C. 5 D. 13
Câu 13 . Cho hai số phức \({z_1} = 3 – 2i\) \({z_2} = \left( {{a^2} + a + 1} \right) + \left( {2{a^2} + 3a – 4} \right)i\). Tìm \(a \in R\) để \({z_1} = {z_2}\).
A. a = -3. B. a = 1.
C. a = – 1 . D. a = – 2 .
Câu 14 . Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 – 2\sqrt 2 i\). Tìm a , b.
A. a = 3 , b = 2.
B. a = 3 , b = \(2\sqrt 2 \).
C. a = 3 , b = \(\sqrt 2 \).
D. a = 3 , b = \( – 2\sqrt 2 \).
Câu 15. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z – 2i| = 4\) là:
A. Đường tròn tâm I(1 ; – 2), bán kính R = 4.
B. Đường tròn tâm I(1 ; 2), bán kính R = 4.
C. Đường tròn tâm I(0 ; 2), bán kính R = 4.
D. Đường tròn tâm I(0 ; -2), bán kính R = 4.
Câu 16. Xác định số phức z thỏa mãn \(|z – 2 – 2i| = \sqrt 2 \) mà \(|z|\) đạt giá trị lớn nhất.
A. z = 1 + i.
B. z = 3 + i.
C. z = 3 + 3i.
D. z = 1+ 3i.
Câu 17 . Cho số phức \(z = r\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)\). Chọn 1 acgumn của z:
A. \( – \dfrac{\pi }{4}\) B. \(\dfrac{{5\pi }}{4}\)
C. \(\dfrac{{9\pi }}{4}\) D. \( – \dfrac{{5\pi }}{4}\).
Câu 18 . Cho số phức \(z = \dfrac{{1 + i}}{{2 – i}}\). Mô đun của z là:
A. \(\sqrt {\dfrac{2}{5}} \). B. \(\sqrt {\dfrac{5}{2}} \)
C. \(\dfrac{2}{5}\) D. \(\dfrac{5}{2}\).
Câu 19. Số phức z có mô đun r = 2 và acgumen \(\varphi = – \dfrac{\pi }{2}\) thì có dạng lượng giác là:
A. \(z = 2\left( {\cos \left( { – \dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( { – \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\).
B. \(z = 2\left( {\cos \left( { – \dfrac{\pi }{2}} \right) – i\sin \left( { – \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\).
C. \(z = 2\left( {\cos \left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\).
D. \(z = 2\left( { – \cos \left( { – \dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( { – \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\).
Câu 20. Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) nhận z = 1 – 2i làm nghiệm Khi đó a + b bằng:
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6.
Câu 21 . Gọi số phức z có dạng đại số và dạng lượng giác lần lượt là z = a + bi và \(z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\). Chọn mệnh đề đúng .
A. \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
B. \(r = {a^2} + {b^2}\).
C. \({r^2} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
D. \(r = |a + b|\).
Câu 22 . Cho số phức z có dạng lượng giác \(z = 2\left( {\cos \dfrac{\pi }{2} + i\sin \dfrac{\pi }{2}} \right)\). Dạng lượng giác của z là:
A. z = 2.
B. z = 2i.
C. z = -2 .
D. z = – 2i.
Câu 23 . Trong mặt phẳng phức, A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = 1 + 2i\,,\,\,{z_2} = 2 + 3i\,,\,\,{z_3} = 3 + 4i\). Trọng tâm tam giác ABC là điểm :
A. G ( 2 ; -3 ).
B. G (2 ; 3).
C. G ( 3 ; 2).
D. G (-3 ;2).
Câu 24 . Cho số phức z = 4 + 3i. Tìm phần thực và phần ảo của z.
A. Phần thực của z là 4, phần ảo của z là 3.
B. Phần thực của z là 4, phần ảo của z là 3i.
C. Phần thực của z là 3, phần ảo của z là 4.
D. Phần thực của z là 3, phần ảo của z là 4i.
Câu 25 . Tổng của hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\,,\,\,{z_2} = 5 – 6i\)là:
A. 7 – 3i.
B. 7 + 3i.
C. – 3 +9i.
D. 3 + 9i.
Lời giải chi tiết
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
A | A | D | A | A |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
A | D | B | D | B |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
A | B | D | D | C |
16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
C | C | A | A | A |
21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
A | B | B | A | A |
Lời giải chi tiết
Câu 1: A
Câu 2: A
Câu 3: D
\(\)\(\begin{array}{l}{z^3} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow (z + 1)({z^2} – z + 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 1 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{z^2} – z + 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
(1)\( \Leftrightarrow z = – 1\)
Giải (2):
\(\Delta = {b^2} – 4ac = 1 – 4 = – 3 = 3{i^2}\)
\( \Rightarrow \Delta \)có hai căn bậc hai là \(i\sqrt 3 \)và \( – i\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow \)Phương trình có hai nghiệm: \({z_1} = \dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{2},{z_2} = \dfrac{{1 – \sqrt 3 }}{2}\)
Câu 4: A
Đặt z= x+ yi x,y\( \in \mathbb{Z}\)
Theo yêu cầu bài toán ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = 5\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + yi} \right| = 5\\x = 2y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 5{\rm{ }}\left( 1 \right)\\x = 2y{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Thay (2) vào (1), ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt {4{y^2} + {y^2}} = 5 \Leftrightarrow 5{y^2} = 25\\ \Leftrightarrow {y^2} = 5\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \sqrt 5 \Rightarrow x = 2\sqrt 5 \\y = – \sqrt 5 \Rightarrow x = – 2\sqrt 5 \end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow z = 2\sqrt 5 + i\sqrt 5 \)
\(\Rightarrow z = – 2\sqrt 5 – i\sqrt 5\)
Câu 5: A
Đặt \(z – i = {\rm{ }}x + yi\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow z = x + \left( {y + 1} \right)i\\\left| {z – 2 – 2i} \right| = 1\\ \Rightarrow \left| {x + (y + 1)i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {(x – 2) + (y – 1)i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x – 2)}^2} + {{(y – 1)}^2}} = 1\\ \Leftrightarrow {(x – 2)^2} + {(y – 1)^2} = 1\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ là đường tròn có phương trình:\({(x – 2)^2} + {(y – 1)^2} = 1\)
Câu 6: A
Câu 7: D
Câu 8: B
Câu 9: D
Ta có: \(\overline z \)= \(\left( {5 – {\rm{ }}2i} \right)\left( { – 3 + {\rm{ }}2i} \right)\)= \( – 15 – {\rm{ }}4{i^2} + {\rm{ }}6i + {\rm{ }}10i = {\rm{ }} – 11 + 16i\)
Câu 10: B
Đặt \(z = x + yi\)\(x,y \in \mathbb{Z}\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = 5\\x = y + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + yi} \right| = 5\\x = y + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 5\,\,(1)\\x = y + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)\(\begin{array}{l}(1)\\(2)\end{array}\)
Thay( 2) vào (1) ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{{(y + 1)}^2} + {y^2}} = 5\\ \Leftrightarrow 2{y^2} + 2y – 24 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow z = 4 + 3i\\y = – 4 \Rightarrow x = – 3 \Rightarrow z = – 3 – 4i\end{array} \right.\end{array}\)
Câu 11: A
Câu 12: B
\({z_1} = – 1 + i\) , \({z_2} = 1 – 2i\) , \({z_3} = 1 + 2i\)
\(\begin{array}{l}{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}\\ = ( – 1 + i)(1 – 2i) + (1 – 2i)(1 + 2i) + (1 + 2i)( – 1 + i)\\ = ( – 1 + i)\left[ {(1 – 2i) + (1 – 2i)} \right] + (1 – 2i)(1 + 2i)\\ = ( – 1 + i)2 + 1 – 4{i^2}\\ = – 2 + 2i + 5\\ = 3 + 2i\end{array}\)
Câu 13: D
\(\begin{array}{l}{z_1} = {z_2}\\ \Leftrightarrow 3 – 2i = ({a^2} + a + 1) + (2{a^2} + 3a – 4)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a + 1 = 3\\2{a^2} + 3a – 4 = – 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a – 2 = 0\\2{a^2} + 3a – 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a = 2{\rm{ (1)}}\\2{a^2} + 3a – 2 = 0{\rm{ (2)}}\end{array} \right.\end{array}\)
Thay (1) vào (2) được:
\(4 + a – 2 = 0 \Leftrightarrow a = – 2\)
Câu 14: D
Câu 15: C
Đặt \(z = x + yi\)
\(\begin{array}{l}\left| {z – 2i} \right| = 4 \Rightarrow \left| {x + yi – 2i} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| {x + (y – 2)i} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{(y – 2)}^2}} = \sqrt 2 \end{array}\)
\( \Rightarrow \)Tập hợp điểm biểu diễn \(M(x,y)\) biểu diễn số phức là đường tròn tâm \(I(2,2)\) , bán kính \( = \sqrt 2 \)
Có \(\left| z \right| = \left| {x + yi} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Lấy \(O(0,0)\); \(M(x,y)\)
\( \Rightarrow OM = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Do \(M\) chạy trên đường tròn, \(O\)cố định nên\(MO\) lớn nhất khi \(M\)là giao điểm của \(OI\)với đường tròn
Có \(O(0,0)\), \(I(2,2)\) nên \(\overrightarrow {OI} = (2,2)\)
Phương trình đường thẳng \(OI\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 2t\end{array} \right.\) (1)
Mặt khác: \(OI\) là giao với đường tròn tại \(M\) nên thay (1) vào phương trình đường tròn ta được:
\(\begin{array}{l}{(2t – 2)^2} + {(2t – 2)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {(2t – 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t – 2 = 1\\2t – 2 = – 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {M_1}(3,3) \Rightarrow O{M_1} = 3\sqrt 2 \\z = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {M_2}(1,1) \Rightarrow O{M_2} = \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow {z_{\max }} = O{M_1} = 3\sqrt 2 \) với \(M(3,3)\)
\( \Rightarrow z = 3 + 3i\)
Câu 17: C
Câu 18: A
\(\begin{array}{l}z = \dfrac{{1 + i}}{{2 – i}} = \dfrac{{(1 + i)(2 – i)}}{{4 – {i^2}}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{2 – {i^2} + 2i – i}}{5}\\\,\,\,\, = \dfrac{{3 + i}}{5} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}i\end{array}\)
\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {\dfrac{9}{{25}} + \dfrac{1}{{25}}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} = \sqrt {\dfrac{2}{5}} \)
Câu 19: A
Câu 20: A
Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) nhận \({z_1} = 1 – 2i\)\( \to \) nghiệm còn lại là \({z_2} = 1 + 2i\)
Theo Vi- et ta có:
\(\begin{array}{l}y’ = 0 \Leftrightarrow 4(m + 1){x^3} – 2mx = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{{2m}}{{4m + 4}}{\rm{ (1)}}\end{array} \right.\\y = (m + 1){x^4} – m{x^2} + 3\\\dfrac{{2m}}{{4m + 4}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < – 1\end{array} \right. \\ \Rightarrow m \in \left( { – \infty , – 1} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow a + b = 3\)
Câu 21: A
Câu 22: B
Câu 23: B
\(\begin{array}{l}{z_1} = 1 + 2i \to A(1,2)\\{z_2} = 2 + 3i \to B(2,3)\\{z_3} = 3 + 4i \to C(3,4)\\\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Trọng tâm tam giác \(ABC\): \(G(2,3)\)
Câu 24:A
Câu 25: A
\({z_1} + {z_2} = 2 + 3i + 5 – 6i = 7 – 3i\)
Trả lời