Chuyên đề Phương pháp vectơ

I.  Phương pháp giải

Các bất đẳng thức vectơ :

• $\vec{a}.\vec{b}\leq \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |$

Nếu ” = ”  xảy ra <=> $\vec{a},\vec{b}$ cùng chiều

• $\left |\vec{a}+\vec{b}  \right |\leq \left | \vec{a} \right |+\left | \vec{b} \right |$

Nếu ” = ”  xảy ra  <=>  $\left\{\begin{matrix}\vec{a}=0,\vec{b}=0 & \\ \vec{a} ,\vec{b} cùng chiều & \end{matrix}\right.$

Các bước giải : 

• Bước 1 : Từ phương trình ban đầu , biến đổi để có các biểu thức dạng $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
• Bước 2 : Chọn các vectơ < thỏa mãn yêu cầu >
• Bước 3 : Áp dụng các bất đẳng thức trên . Sau đó xét ” = ” xảy ra khi nào ?

II.  Bài tập áp dụng

Câu 1 : 

Giải phương trình :  $\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x^{2}+x+1}=2$

Hướng dẫn chi tiết :

          $\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x^{2}+x+1}=2$

<=>     $\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{3}}=2$

Xét các vectơ sau :

$\vec{a}(x-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=>  \left | \vec{a} \right |=\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$

$\vec{b}(-x-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=>  \left | \vec{a} \right |=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$

=>  $\vec{a}+\vec{b}=(-1,\sqrt{3})=> \left | \vec{a} +\vec{b}\right |=2$

Ta có : $\left | \vec{a} \right |+\left | \vec{b} \right |\geq \left | \vec{a}+\vec{b} \right |$  =>  $\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{3}} \geq 2$

Dấu ” = ”  xảy ra <=> $\vec{a} ,\vec{b}$ cùng phương , cùng chiều .

<=>  $\frac{x-\frac{1}{2}}{-x-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=1$

<=>  $x-\frac{1}{2}=-x-\frac{1}{2}<=> x=0$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

Câu 2 : 

Giải phương trình : $\sqrt{4x^{2}-4x+2}+\sqrt{x^{2}-2x+5}=\sqrt{9x^{2}-12x+13}$

Hướng dẫn chi tiết :

           $\sqrt{4x^{2}-4x+2}+\sqrt{x^{2}-2x+5}=\sqrt{9x^{2}-12x+13}$

<=>   $\sqrt{(2x-1)^{2}+1}+\sqrt{(x-1)^{2}+4}=\sqrt{(3x-2)^{2}+9}$

Xét các vectơ sau :

$\vec{a}(2x-1,1)=>\left | \vec{a} \right |=\sqrt{(2x-1)^{2}+1}$

$\vec{b}(x-1,2)=>\left | \vec{a} \right |=\sqrt{(x-1)^{2}+4}$

=>  $\vec{a}+\vec{b}=(3x-2,3)=> \left | \vec{a}+\vec{b} \right |=\sqrt{(3x-2)^{2}+9}$

Ta có : $\left | \vec{a} \right |+\left | \vec{b} \right |\geq \left | \vec{a}+\vec{b} \right |$  <=>   $\sqrt{(2x-1)^{2}+1}+\sqrt{(x-1)^{2}+4}\geq \sqrt{(3x-2)^{2}+9}$

Dấu ” = ” xảy ra  <=>  $\vec{a} ,\vec{b}$ cùng phương , cùng chiều .

<=>  $\frac{2x-1}{x-1}=\frac{1}{2}<=>4x-2=x-1=> x=\frac{1}{3} $

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\frac{1}{3} $ .

Câu 3 : 

Định m để phương trình sau có nghiệm  :   $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=m$

Hướng dẫn chi tiết :

         $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=m$     (1)

<=>  $\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}-\sqrt{(\frac{1}{2}-x)^{2}+\frac{3}{4}}=m$

Xét các điểm trong cùng một hệ trục tọa độ : $A(-x; 0),B(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),C(\frac{-1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$

Ta có  :

$\vec{AB}(x+\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$  =>  $\left |\vec{AB}  \right |=AB=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$

$\vec{AC}(x-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$    =>  $\left |\vec{AC}  \right |=AC=\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$

$\vec{BC}(-1,0)$     =>  $\left |\vec{BC}  \right |=BC=1$

Với mọi điểm A ( – x ; 0 ) thì ba điểm A , B , C không thẳng hàng =>  $\left | AB-AC \right |< BC$

<=>  $\left | \sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}-\sqrt{(\frac{1}{2}-x)^{2}+\frac{3}{4}} \right |<1$

<=>  $\left | m \right |<1$

Vậy các giá trị m cần tìm là $\left | m \right |<1$ .