I. Phương pháp giải
Các bất đẳng thức vectơ :
- $\vec{a}.\vec{b}\leq \left | \vec{a} \right |.\left | \vec{b} \right |$
Nếu ” = ” xảy ra <=> $\vec{a},\vec{b}$ cùng chiều
- $\left |\vec{a}+\vec{b} \right |\leq \left | \vec{a} \right |+\left | \vec{b} \right |$
Nếu ” = ” xảy ra <=> $\left\{\begin{matrix}\vec{a}=0,\vec{b}=0 & \\ \vec{a} ,\vec{b} cùng chiều & \end{matrix}\right.$
Các bước giải :
- Bước 1 : Từ phương trình ban đầu , biến đổi để có các biểu thức dạng $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$
- Bước 2 : Chọn các vectơ < thỏa mãn yêu cầu >
- Bước 3 : Áp dụng các bất đẳng thức trên . Sau đó xét ” = ” xảy ra khi nào ?
II. Bài tập áp dụng
Câu 1 :
Giải phương trình : $\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x^{2}+x+1}=2$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{x^{2}+x+1}=2$
<=> $\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{3}}=2$
Xét các vectơ sau :
$\vec{a}(x-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=> \left | \vec{a} \right |=\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$
$\vec{b}(-x-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=> \left | \vec{a} \right |=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$
=> $\vec{a}+\vec{b}=(-1,\sqrt{3})=> \left | \vec{a} +\vec{b}\right |=2$
Ta có : $\left | \vec{a} \right |+\left | \vec{b} \right |\geq \left | \vec{a}+\vec{b} \right |$ => $\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{3}} \geq 2$
Dấu ” = ” xảy ra <=> $\vec{a} ,\vec{b}$ cùng phương , cùng chiều .
<=> $\frac{x-\frac{1}{2}}{-x-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=1$
<=> $x-\frac{1}{2}=-x-\frac{1}{2}<=> x=0$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Câu 2 :
Giải phương trình : $\sqrt{4x^{2}-4x+2}+\sqrt{x^{2}-2x+5}=\sqrt{9x^{2}-12x+13}$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt{4x^{2}-4x+2}+\sqrt{x^{2}-2x+5}=\sqrt{9x^{2}-12x+13}$
<=> $\sqrt{(2x-1)^{2}+1}+\sqrt{(x-1)^{2}+4}=\sqrt{(3x-2)^{2}+9}$
Xét các vectơ sau :
$\vec{a}(2x-1,1)=>\left | \vec{a} \right |=\sqrt{(2x-1)^{2}+1}$
$\vec{b}(x-1,2)=>\left | \vec{a} \right |=\sqrt{(x-1)^{2}+4}$
=> $\vec{a}+\vec{b}=(3x-2,3)=> \left | \vec{a}+\vec{b} \right |=\sqrt{(3x-2)^{2}+9}$
Ta có : $\left | \vec{a} \right |+\left | \vec{b} \right |\geq \left | \vec{a}+\vec{b} \right |$ <=> $\sqrt{(2x-1)^{2}+1}+\sqrt{(x-1)^{2}+4}\geq \sqrt{(3x-2)^{2}+9}$
Dấu ” = ” xảy ra <=> $\vec{a} ,\vec{b}$ cùng phương , cùng chiều .
<=> $\frac{2x-1}{x-1}=\frac{1}{2}<=>4x-2=x-1=> x=\frac{1}{3} $
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\frac{1}{3} $ .
Câu 3 :
Định m để phương trình sau có nghiệm : $\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=m$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}=m$ (1)
<=> $\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}-\sqrt{(\frac{1}{2}-x)^{2}+\frac{3}{4}}=m$
Xét các điểm trong cùng một hệ trục tọa độ : $A(-x; 0),B(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),C(\frac{-1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$
Ta có :
$\vec{AB}(x+\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ => $\left |\vec{AB} \right |=AB=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$
$\vec{AC}(x-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ => $\left |\vec{AC} \right |=AC=\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$
$\vec{BC}(-1,0)$ => $\left |\vec{BC} \right |=BC=1$
Với mọi điểm A ( – x ; 0 ) thì ba điểm A , B , C không thẳng hàng => $\left | AB-AC \right |< BC$
<=> $\left | \sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}-\sqrt{(\frac{1}{2}-x)^{2}+\frac{3}{4}} \right |<1$
<=> $\left | m \right |<1$
Vậy các giá trị m cần tìm là $\left | m \right |<1$ .
Trả lời