I. Phương pháp giải
Dạng 1 : Phương trình có dạng : $x^{4}+b=a\sqrt[n]{ax\pm b} (n\in Z^{+},n\geq 2)$
- Đặt $t=\sqrt[n]{ax\pm b}$
- Đưa về hệ đối xứng và giải => Kết luận nghiệm .
Dạng 2 : $\sqrt[n]{a-f(x)}+\sqrt[m]{b+f(x)}=c (m,n\in Z^{+},m\geq 2,n\geq 2)$
- Đặt $\left\{\begin{matrix}u=\sqrt[n]{a-f(x)} & \\ v=\sqrt[m]{b+f(x)} & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}u^{n}=a-f(x) & \\ v^{m}=b+f(x) & \end{matrix}\right.$
=> $u^{n}+v^{m}=a+b$
- Kết hợp với phương trình đã cho , ta được hệ mới : $\left\{\begin{matrix}u + v=c & \\ u^{n}+v^{m}=a+b & \end{matrix}\right.$
- Giải hệ => Kết hợp điều kiện => Kết luận nghiệm .
II. Bài tập áp dụng
Câu 1 :
Giải phương trình sau :
a. $x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$
b. $x^{2}+\sqrt{x+5}=5$
Hướng dẫn chi tiết :
a. $x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$ (1)
Đặt $t=\sqrt[3]{2x-1}=> t^{3}=2x-1$
(1) => $\left\{\begin{matrix}x^{3}+1=2t & \\ t^{3}=2x-1 & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}x^{3}+1=2t (*) & \\ t^{3}+1=2x(**) & \end{matrix}\right.$
Lấy (*) – (**) , ta được : $x^{3}-t^{3}=2(t-x)$
<=> $(x-t)(x^{2}+xt+t^{2})+2(x-t)=0$
<=> $(x-t)(x^{2}+xt+t^{2}+2)=0$
<=> Hoặc x = t hoặc $x^{2}+xt+t^{2}+2=0$ (2)
Xét (2) : $x^{2}+xt+t^{2}+2=0$
Ta có : $\Delta =t^{2}-4(t^{2}+2)=-8-3t^{2}<0,\forall t$
=> (2) vô nghiệm .
+ Với x = t , thế vào pt (*) , ta được : $x^{3}-2x+1=0$
<=> $(x-1)(x^{2}+x-1)=0$
<=> Hoặc x = 1 hoặc $x^{2}+x-1=0$ (3)
Xét (3) : $x^{2}+x-1=0$
Ta có : $\Delta =1^{2}-4.(-1)=5>0$
=> (3) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1\vee x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
b. $x^{2}+\sqrt{x+5}=5$ (*)
Đk : $x\geq -5$
Đặt $t=\sqrt{x+5} (t\geq 0)$ => $t^{2}=x+5$
(*) <=> $\left\{\begin{matrix}x^{2}+t=5 (1)& \\ t^{2}-x=5 (2) & \end{matrix}\right.$
Lấy (1) – (2) , ta được : $x^{2}-t^{2}+t+x=0$
<=> $(t+x)(1+x-t)=0$
<=> Hoặc t = – x hoặc t – x = 1
+ Với t = -x , thế vào pt (1) , ta được : $x^{2}-x-5=0$
Ta có : $\Delta =(-1)^{2}-4.(-5)=21>0$
=> $x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{21}}{2}$
Vì $t\geq 0<=> -x\geq 0=>x\leq 0$ => $x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}>0$ ( loại )
+ Với t = x + 1, thế vào pt (1) , ta được : $x^{2}+x+1=5<=> x^{2}+x-4=0$
Ta có : $\Delta =1^{2}-4.(-4)=17>0$
=> $x_{3,4}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$
Vì $t\geq 0=> x\geq -1$ => $x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}<-1$ ( loại )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$ .
Câu 2 :
Giải phương trình sau :
$\frac{1}{\sqrt{3x+10}}+\frac{6}{\sqrt{(x+2)(3x+10)}}=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$
Hướng dẫn chi tiết :
$\frac{1}{\sqrt{3x+10}}+\frac{6}{\sqrt{(x+2)(3x+10)}}=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$
Đk : x > -2
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{3x+10}>0 & \\ b=\sqrt{x+2}>0 & \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix}a^{2}=3x+10 & \\ 3b^{2}=3x+6& \end{matrix}\right.$
=> $a^{2}-3b^{2}=4$
Phương trình đã cho tương đương với hệ :
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ \frac{1}{a}+\frac{6}{ab}=\frac{1}{b} & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ \frac{6}{ab}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab} & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ a-b=6 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ a=6+b & \end{matrix}\right.$
<=> $(6+b)^{2}-3b^{2}=4$ <=> $2b^{2}-12b-32=0$
<=> Hoặc b = 8 ( nhận ) hoặc b = -2 ( loại )
+ Với b = 8 => a = 14 <=> $\left\{\begin{matrix}\sqrt{3x+10}=14 & \\ \sqrt{x+2}=8 & \end{matrix}\right.$
<=> x = 62 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 62 .
Câu 3 :
Giải phương trình sau : $9+\sqrt{9+\sqrt{x}}=x$
Hướng dẫn chi tiết :
$9+\sqrt{9+\sqrt{x}}=x$ (*)
Đk : x > 0
Đặt $a=9+\sqrt{x}=> a>9$
(*) <=> $\left\{\begin{matrix}9+\sqrt{a}=x (1) & \\ 9+\sqrt{x}=a & \end{matrix}\right.$
<=> $\sqrt{a}-\sqrt{x}=x-a$
<=> $\sqrt{a}-\sqrt{x}+(\sqrt{a}-\sqrt{x})(\sqrt{a}+\sqrt{x})=0$
<=> $(\sqrt{a}-\sqrt{x})(1+\sqrt{a}+\sqrt{x})=0$
<=> $\sqrt{a}=\sqrt{x}$ , thế vào (1) ta được : $9+\sqrt{x}=x<=> x-\sqrt{x}-9=0$
<=> $\sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{37}}{2}$
<=> $x=\frac{1}{4}(38+2\sqrt{37})<=> x=\frac{1}{2}(19+\sqrt{37})$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\frac{1}{2}(19+\sqrt{37})$ .
Câu 4 :
Giải phương trình sau : $\sqrt[3]{\sin ^{2}x}+\sqrt[3]{\cos ^{2}x}=\sqrt[3]{4}$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt[3]{\sin ^{2}x}+\sqrt[3]{\cos ^{2}x}=\sqrt[3]{4}$ (*)
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{\sin ^{2}x} (0\leq a\leq 1) & \\ b=\sqrt[3]{\cos ^{2}x} (0\leq b\leq 1) & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}=\sin ^{2}x & \\ b^{3}=\cos ^{2}x & \end{matrix}\right.$
=> $a^{3}+b^{3}=1$
(*) <=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=1 & \\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}(a+b) \left [(a+b)^{2}-3ab \right ]=1 &\\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}ab=\frac{1}{\sqrt[3]{4}} &\\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$
<=> a , b là nghiệm của phương trình : $X^{2}-\sqrt[3]{4}X+\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=0$
=> $X=\frac{\sqrt[3]{4}}{4}=> a=b=\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}$
<=> $\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{\sin ^{2}x}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{4} & \\ \sqrt[3]{\cos ^{2}x} =\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}& \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}\sin ^{2}x=\frac{1}{2} & \\ \cos ^{2}x =\frac{1}{2}& \end{matrix}\right.$
<=> $\cos 2x=0=> x=\frac{\Pi }{4}+\frac{m\Pi }{2}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\frac{\Pi }{4}+\frac{m\Pi }{2}$ .
Câu 5 :
Giải phương trình sau :
$\sqrt[4]{313+x}+\sqrt[4]{313-x}=6$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt[4]{313+x}+\sqrt[4]{313-x}=6$ (1)
Đk : $-313\leq x\leq 313$
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[4]{313+x} ( a\geq 0)& \\ b=\sqrt[4]{313-x} (b\geq 0) & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{4}=313+x & \\ b^{4}=313-x & \end{matrix}\right.$
=> $a^{4}+b^{4}=626$
(1) <=> $\left\{\begin{matrix}a^{4}+b^{4}=626 & \\ a+b=6 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{4}+b^{4}=626 & \\ b=6-a & \end{matrix}\right.$
<=> $a^{4}+(6-a)^{4}=626<=>a^{4}+(a-6)^{4}=626 $ (2)
Đặt t = a – 3 ( $t\geq -3$ ) , (2) <=> $(t+3)^{4}+(t-3)^{4}=626$
<=> $2t^{4}+108t^{2}-464=0$
<=> Hoặc $t^{2}=-58$ ( loại ) hoặc $t^{2}=4$ ( t/mãn )
+ Với $t^{2}=4=> t=\pm 2$ => Hoặc $\left\{\begin{matrix}a=5 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a=1 & \\ b=5 & \end{matrix}\right.$
+ Khi $\left\{\begin{matrix}a=5 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{313+x}=5&\\ \sqrt[4]{313-x}=1 & \end{matrix}\right.$
=> x = 312 .
+ Khi $\left\{\begin{matrix}a=1 & \\ b=5 & \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{313+x}=1&\\ \sqrt[4]{313-x}=5 & \end{matrix}\right.$
=> x = – 312 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\pm 312$ .
Câu 6 :
Giải phương trình sau : $x+\sqrt{2-x^{2}}+x\sqrt{2-x^{2}}=3$
Hướng dẫn chi tiết :
$x+\sqrt{2-x^{2}}+x\sqrt{2-x^{2}}=3$ (1)
Đk : $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=x,\left | a \right |\leq \sqrt{2} & \\ b=\sqrt{2-x^{2}},b\geq 0 & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}=x^{2} & \\ b^{2}=2-x^{2} & \end{matrix}\right.$
=> $a^{2}+b^{2}=2$
(1) <=> $\left\{\begin{matrix}a+b+ab=3 & \\ a^{2}+b^{2}=2 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a+b+ab=3 & \\ (a+b)^{2}-2ab=2 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ Hoặc ab=1 hoặc ab=7& \end{matrix}\right.$
<=> Hoặc $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=1 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=7 & \end{matrix}\right.$
+ Xét : $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a+b=2 & \\ab=1 & \end{matrix}\right.$
=> a , b là nghiệm pt : $t^{2}-2t+1=0<=>(t-1)^{2}=0=> t=1$
=> a = b = 1 => x = 1 .
+ Xét : $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=7 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a+b=-4 & \\ab=7 & \end{matrix}\right.$ ( vô lý )
=> phương trình vô nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 .
Câu 7 :
Giải phương trình sau : $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}=1$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}=1$ (1)
Đk : $x\leq \frac{1}{2}$
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x} & \\ b=\sqrt{\frac{1}{2}-x} & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}=\frac{1}{2}+x & \\ b^{2}=\frac{1}{2}-x & \end{matrix}\right.$
=> $a^{3}+b^{2}=1$
(1) <=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{2}=1 & \\ a+b=1 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{2}=1 & \\ b=1-a & \end{matrix}\right.$
<=> $a^{3}+(1-a)^{2}=1$ <=> $a^{3}+a^{2}-2a=0$
<=> $\left\{\begin{matrix}a=0 & \\ a^{2}+a-2=0 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a=0 & & \\ a=1 & & \\ a=-2 & & \end{matrix}\right.$
+ Với a = 0 => $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}=0=> x=\frac{-1}{2}$
+ Với a = 1 => $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}=1=> x=\frac{1}{2}$
+ Với a = -2 => $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}=-2=> x=\frac{-17}{2}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\pm \frac{1}{2},x=\frac{-17}{2}$ .
Câu 8 :
Giải phương trình sau : $\sqrt{1-x^{2}}+2\sqrt[3]{1-x^{2}}=3$
Hướng dẫn chi tiết :
$\sqrt{1-x^{2}}+2\sqrt[3]{1-x^{2}}=3$ (1)
Đk : $-1\leq x\leq 1$
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{1-x^{2}} ,a\geq 0 & \\ b=\sqrt[3]{1-x^{2}},b\geq 0 & \end{matrix}\right.$
=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}=1-x^{2} & \\ b^{3}= 1-x^{2}& \end{matrix}\right.$
=> $a^{2}=b^{3}$
(1) <=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}=b^{3} & \\ a+2b=3 & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}a^{2}=b^{3} & \\ a=3-2b & \end{matrix}\right.$
<=> $b^{3}-(3-2b)^{2}=0$ <=> $b^{3}-4b^{2}+12b-9=0$
<=> $(b-1)(b^{2}-3b+9)=0$
<=> Hoặc b = 1 hoặc $b^{2}-3b+9=0$
+ Với b = 1 => a = 1 <=> $\sqrt{1-x^{2}}=1=> x=0$
+ Xét : $b^{2}-3b+9=0$ , ta có : $\Delta =(-3)^{2}-4.9=-27<0$
=> phương trình vô nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 .
– – – – – – – – – – – – – – – HẾT – – – – – – – – – – – – – – –
huong viết
cho em xin cái file tài liệu này với được không ạ?
admin viết
phần này đọc online bạn ạ, nếu cần file bạn copy vào word ạ. nếu khó khăn cmt lại tôi làm ạ.
Đào Xuân Hùng viết
t^2-4(t^2+2) là sao ạ, làm thế nào để biến đổi ra dc như vậy ạ
admin viết
Bạn hỏi bài 1 phải không?
đó là công thức delta trong giải PT bậc 2: $ax^2+bx+c=0$
$\Delta =b^{2}-4ac$