Chuyên đề Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

I. Phương pháp giải

Dạng 1 : Phương trình có dạng :  $x^{4}+b=a\sqrt[n]{ax\pm b}  (n\in Z^{+},n\geq 2)$

• Đặt  $t=\sqrt[n]{ax\pm b}$
• Đưa về hệ đối xứng và giải  =>  Kết luận nghiệm .

Dạng 2 :  $\sqrt[n]{a-f(x)}+\sqrt[m]{b+f(x)}=c (m,n\in Z^{+},m\geq 2,n\geq 2)$

• Đặt  $\left\{\begin{matrix}u=\sqrt[n]{a-f(x)} & \\ v=\sqrt[m]{b+f(x)} & \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}u^{n}=a-f(x) & \\ v^{m}=b+f(x) & \end{matrix}\right.$

=>  $u^{n}+v^{m}=a+b$

• Kết hợp với phương trình đã cho , ta được hệ mới : $\left\{\begin{matrix}u + v=c & \\ u^{n}+v^{m}=a+b & \end{matrix}\right.$
• Giải hệ  =>  Kết hợp điều kiện =>  Kết luận nghiệm .

II.  Bài tập áp dụng

Câu 1 : 

Giải phương trình sau :

a.  $x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

b.  $x^{2}+\sqrt{x+5}=5$

Hướng dẫn chi tiết :

a.    $x^{3}+1=2\sqrt[3]{2x-1}$              (1)

Đặt  $t=\sqrt[3]{2x-1}=> t^{3}=2x-1$

(1) =>  $\left\{\begin{matrix}x^{3}+1=2t & \\ t^{3}=2x-1 & \end{matrix}\right.$   <=> $\left\{\begin{matrix}x^{3}+1=2t (*) & \\ t^{3}+1=2x(**) & \end{matrix}\right.$

Lấy (*) – (**) , ta được : $x^{3}-t^{3}=2(t-x)$

<=>  $(x-t)(x^{2}+xt+t^{2})+2(x-t)=0$

<=>  $(x-t)(x^{2}+xt+t^{2}+2)=0$

<=>  Hoặc x = t hoặc $x^{2}+xt+t^{2}+2=0$   (2)

Xét (2) :  $x^{2}+xt+t^{2}+2=0$

Ta có :  $\Delta =t^{2}-4(t^{2}+2)=-8-3t^{2}<0,\forall t$

=>  (2) vô nghiệm .

+  Với x = t , thế vào pt (*) , ta được : $x^{3}-2x+1=0$

<=>  $(x-1)(x^{2}+x-1)=0$

<=>  Hoặc x = 1 hoặc $x^{2}+x-1=0$  (3)

Xét (3) : $x^{2}+x-1=0$

Ta có : $\Delta =1^{2}-4.(-1)=5>0$

=>  (3) có 2 nghiệm phân biệt : $x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1\vee x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

b.    $x^{2}+\sqrt{x+5}=5$                 (*)

Đk : $x\geq -5$

Đặt  $t=\sqrt{x+5} (t\geq 0)$  =>  $t^{2}=x+5$

(*)  <=> $\left\{\begin{matrix}x^{2}+t=5   (1)& \\ t^{2}-x=5 (2) & \end{matrix}\right.$

Lấy (1) – (2) , ta được : $x^{2}-t^{2}+t+x=0$

<=>  $(t+x)(1+x-t)=0$

<=>  Hoặc  t = – x hoặc t – x = 1

+ Với t = -x , thế vào pt (1) , ta được : $x^{2}-x-5=0$

Ta có : $\Delta =(-1)^{2}-4.(-5)=21>0$

=>  $x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{21}}{2}$

Vì $t\geq 0<=> -x\geq 0=>x\leq 0$  => $x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}>0$  ( loại )

+ Với t = x + 1, thế vào pt (1) , ta được : $x^{2}+x+1=5<=> x^{2}+x-4=0$

Ta có : $\Delta =1^{2}-4.(-4)=17>0$

=>  $x_{3,4}=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}$

Vì $t\geq 0=> x\geq -1$  =>  $x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}<-1$   ( loại )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\vee x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$ .

Câu 2 :

Giải phương trình sau :

$\frac{1}{\sqrt{3x+10}}+\frac{6}{\sqrt{(x+2)(3x+10)}}=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$

Hướng dẫn chi tiết :

$\frac{1}{\sqrt{3x+10}}+\frac{6}{\sqrt{(x+2)(3x+10)}}=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$

Đk : x > -2

Đặt  $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{3x+10}>0 & \\ b=\sqrt{x+2}>0 & \end{matrix}\right.$ => $\left\{\begin{matrix}a^{2}=3x+10 & \\ 3b^{2}=3x+6& \end{matrix}\right.$

=>  $a^{2}-3b^{2}=4$

Phương trình đã cho tương đương với hệ :

<=>   $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ \frac{1}{a}+\frac{6}{ab}=\frac{1}{b} & \end{matrix}\right.$

<=>   $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ \frac{6}{ab}=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{a-b}{ab} & \end{matrix}\right.$

<=>   $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ a-b=6 & \end{matrix}\right.$

<=>   $\left\{\begin{matrix}a^{2}-3b^{2}=4 & \\ a=6+b & \end{matrix}\right.$

<=>   $(6+b)^{2}-3b^{2}=4$  <=>  $2b^{2}-12b-32=0$

<=>   Hoặc b = 8  ( nhận ) hoặc b = -2   ( loại )

+  Với  b = 8 => a = 14  <=>  $\left\{\begin{matrix}\sqrt{3x+10}=14 & \\ \sqrt{x+2}=8 & \end{matrix}\right.$

<=>  x = 62 .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 62 .

Câu 3 :

Giải phương trình sau :   $9+\sqrt{9+\sqrt{x}}=x$

Hướng dẫn chi tiết :

      $9+\sqrt{9+\sqrt{x}}=x$   (*)

Đk : x > 0

Đặt  $a=9+\sqrt{x}=> a>9$

(*)  <=>  $\left\{\begin{matrix}9+\sqrt{a}=x  (1) & \\ 9+\sqrt{x}=a & \end{matrix}\right.$

<=>  $\sqrt{a}-\sqrt{x}=x-a$

<=>  $\sqrt{a}-\sqrt{x}+(\sqrt{a}-\sqrt{x})(\sqrt{a}+\sqrt{x})=0$

<=>  $(\sqrt{a}-\sqrt{x})(1+\sqrt{a}+\sqrt{x})=0$

<=>  $\sqrt{a}=\sqrt{x}$ , thế vào (1) ta được : $9+\sqrt{x}=x<=> x-\sqrt{x}-9=0$

<=>  $\sqrt{x}=\frac{1+\sqrt{37}}{2}$

<=>  $x=\frac{1}{4}(38+2\sqrt{37})<=> x=\frac{1}{2}(19+\sqrt{37})$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\frac{1}{2}(19+\sqrt{37})$ .

Câu 4 :

Giải phương trình sau :    $\sqrt[3]{\sin ^{2}x}+\sqrt[3]{\cos ^{2}x}=\sqrt[3]{4}$

Hướng dẫn chi tiết :

        $\sqrt[3]{\sin ^{2}x}+\sqrt[3]{\cos ^{2}x}=\sqrt[3]{4}$        (*)

Đặt  $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{\sin ^{2}x} (0\leq a\leq 1) & \\ b=\sqrt[3]{\cos ^{2}x} (0\leq b\leq 1) & \end{matrix}\right.$

=>  $\left\{\begin{matrix}a^{3}=\sin ^{2}x & \\ b^{3}=\cos ^{2}x & \end{matrix}\right.$

=>  $a^{3}+b^{3}=1$

(*) <=>  $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=1 & \\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}(a+b) \left [(a+b)^{2}-3ab  \right ]=1 &\\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}ab=\frac{1}{\sqrt[3]{4}} &\\ a+b=\sqrt[3]{4} & \end{matrix}\right.$

<=>  a , b là nghiệm của phương trình : $X^{2}-\sqrt[3]{4}X+\frac{1}{\sqrt[3]{4}}=0$

=>  $X=\frac{\sqrt[3]{4}}{4}=> a=b=\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}$

<=>  $\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{\sin ^{2}x}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{4} & \\ \sqrt[3]{\cos ^{2}x} =\frac{1}{2}\sqrt[3]{4}& \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}\sin ^{2}x=\frac{1}{2} & \\ \cos ^{2}x =\frac{1}{2}& \end{matrix}\right.$

<=>  $\cos 2x=0=> x=\frac{\Pi }{4}+\frac{m\Pi }{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ x=\frac{\Pi }{4}+\frac{m\Pi }{2}$ .

Câu  5 :

Giải phương trình sau :

$\sqrt[4]{313+x}+\sqrt[4]{313-x}=6$

Hướng dẫn chi tiết :

$\sqrt[4]{313+x}+\sqrt[4]{313-x}=6$      (1)

Đk : $-313\leq x\leq 313$

Đặt  $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[4]{313+x} ( a\geq 0)& \\ b=\sqrt[4]{313-x} (b\geq 0) & \end{matrix}\right.$

=>  $\left\{\begin{matrix}a^{4}=313+x & \\ b^{4}=313-x & \end{matrix}\right.$

=>  $a^{4}+b^{4}=626$

(1) <=>  $\left\{\begin{matrix}a^{4}+b^{4}=626 & \\ a+b=6 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}a^{4}+b^{4}=626 & \\ b=6-a & \end{matrix}\right.$

<=>  $a^{4}+(6-a)^{4}=626<=>a^{4}+(a-6)^{4}=626 $     (2)

Đặt t = a – 3 ( $t\geq -3$ ) , (2) <=> $(t+3)^{4}+(t-3)^{4}=626$

<=> $2t^{4}+108t^{2}-464=0$

<=>   Hoặc $t^{2}=-58$  ( loại ) hoặc $t^{2}=4$  ( t/mãn )

+  Với  $t^{2}=4=> t=\pm 2$  =>  Hoặc $\left\{\begin{matrix}a=5 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$  hoặc $\left\{\begin{matrix}a=1 & \\ b=5 & \end{matrix}\right.$

+  Khi $\left\{\begin{matrix}a=5 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$  =>  $\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{313+x}=5&\\ \sqrt[4]{313-x}=1 & \end{matrix}\right.$

=>  x = 312 .

+  Khi  $\left\{\begin{matrix}a=1 & \\ b=5 & \end{matrix}\right.$   =>  $\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{313+x}=1&\\ \sqrt[4]{313-x}=5 & \end{matrix}\right.$

=>  x = – 312  .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\pm 312$ .

Câu  6 :

Giải phương trình sau :      $x+\sqrt{2-x^{2}}+x\sqrt{2-x^{2}}=3$

Hướng dẫn chi tiết :

$x+\sqrt{2-x^{2}}+x\sqrt{2-x^{2}}=3$       (1)

Đk : $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$

Đặt  $\left\{\begin{matrix}a=x,\left | a \right |\leq \sqrt{2} & \\ b=\sqrt{2-x^{2}},b\geq 0 & \end{matrix}\right.$

=>  $\left\{\begin{matrix}a^{2}=x^{2} & \\ b^{2}=2-x^{2} & \end{matrix}\right.$

=>  $a^{2}+b^{2}=2$

(1)  <=>  $\left\{\begin{matrix}a+b+ab=3 & \\ a^{2}+b^{2}=2 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}a+b+ab=3 & \\ (a+b)^{2}-2ab=2 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ Hoặc ab=1 hoặc ab=7& \end{matrix}\right.$

<=>  Hoặc $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=1 & \end{matrix}\right.$  hoặc $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=7 & \end{matrix}\right.$

+ Xét : $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=1 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}a+b=2 & \\ab=1 & \end{matrix}\right.$

=>  a , b là nghiệm pt : $t^{2}-2t+1=0<=>(t-1)^{2}=0=> t=1$

=>  a = b = 1  => x = 1 .

+ Xét :  $\left\{\begin{matrix}a+b=3-ab & \\ab=7 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}a+b=-4 & \\ab=7 & \end{matrix}\right.$   ( vô lý )

=>  phương trình vô nghiệm .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1 .

Câu 7 :

Giải phương trình sau :    $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}=1$

Hướng dẫn chi tiết :

        $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}=1$  (1)

Đk : $x\leq \frac{1}{2}$

Đặt  $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x} & \\ b=\sqrt{\frac{1}{2}-x} & \end{matrix}\right.$

=>  $\left\{\begin{matrix}a^{3}=\frac{1}{2}+x & \\ b^{2}=\frac{1}{2}-x & \end{matrix}\right.$

=>   $a^{3}+b^{2}=1$

(1)  <=>  $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{2}=1 & \\ a+b=1 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}a^{3}+b^{2}=1 & \\ b=1-a & \end{matrix}\right.$

<=>  $a^{3}+(1-a)^{2}=1$  <=>  $a^{3}+a^{2}-2a=0$

<=>  $\left\{\begin{matrix}a=0 & \\ a^{2}+a-2=0 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}a=0 &  & \\ a=1 &  & \\ a=-2 &  & \end{matrix}\right.$

+  Với a = 0 => $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}=0=> x=\frac{-1}{2}$

+  Với a = 1 => $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}=1=> x=\frac{1}{2}$

+  Với a = -2 =>  $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}=-2=> x=\frac{-17}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\pm \frac{1}{2},x=\frac{-17}{2}$ .

Câu 8 :

Giải phương trình sau :  $\sqrt{1-x^{2}}+2\sqrt[3]{1-x^{2}}=3$

Hướng dẫn chi tiết :

       $\sqrt{1-x^{2}}+2\sqrt[3]{1-x^{2}}=3$   (1)

Đk : $-1\leq x\leq 1$

Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{1-x^{2}} ,a\geq 0 & \\ b=\sqrt[3]{1-x^{2}},b\geq 0 & \end{matrix}\right.$

=>  $\left\{\begin{matrix}a^{2}=1-x^{2} & \\ b^{3}= 1-x^{2}& \end{matrix}\right.$

=>  $a^{2}=b^{3}$

(1) <=>  $\left\{\begin{matrix}a^{2}=b^{3} & \\ a+2b=3 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}a^{2}=b^{3} & \\ a=3-2b & \end{matrix}\right.$

<=>  $b^{3}-(3-2b)^{2}=0$  <=>  $b^{3}-4b^{2}+12b-9=0$

<=>  $(b-1)(b^{2}-3b+9)=0$

<=>  Hoặc b = 1  hoặc $b^{2}-3b+9=0$

+  Với b = 1 => a = 1 <=>  $\sqrt{1-x^{2}}=1=> x=0$

+ Xét : $b^{2}-3b+9=0$ , ta có :  $\Delta =(-3)^{2}-4.9=-27<0$

=>  phương trình vô nghiệm .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 .

– – – – – – – – – – – – – – – HẾT – – – – – – – – – – – – – – –