📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Một rạp hát có $25$ hàng ghế được bố trí theo hình cánh quạt hướng về sân khấu. Hàng đầu tiên có $15$ ghế, và kể từ hàng thứ hai trở đi, mỗi hàng tiếp theo đều có nhiều hơn hàng liền trước nó $4$ ghế. Hỏi toàn bộ rạp hát đó có tất cả bao nhiêu chiếc ghế?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Bài toán thực tế trên quy về việc xác định các yếu tố của một cấp số cộng $(u_n)$:
- Gọi $u_n$ là số lượng ghế ở hàng thứ $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$). Do mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước một lượng không đổi là $d = 4$ ghế, dãy $(u_n)$ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.
- Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $$u_n = u_1 + (n – 1)d$$
- Công thức tính tổng của $n$ số hạng đầu tiên: $$S_n = \frac{n}{2}\left(2u_1 + (n – 1)d\right) = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}$$
- Tương tự như bài toán tìm tổng số hạng của cấp số cộng, ta chỉ cần thay các số liệu đã biết vào công thức $S_n$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Mô hình hóa bài toán bằng cấp số cộng
Kí hiệu $u_n$ là số ghế ở hàng thứ $n$, với $n \in \{1; 2; 3; \dots; 25\}$.
Theo giả thiết, số lượng ghế ở các hàng liên tiếp tăng đều $4$ chiếc, do đó dãy số $(u_n)$ là một cấp số cộng với:
- Số hạng đầu: $u_1 = 15$ (số ghế ở hàng thứ nhất).
- Công sai: $d = 4$.
- Số hàng ghế: $n = 25$.
Bước 2: Tính tổng số ghế trong rạp hát
Tổng số ghế trong rạp hát chính là tổng $S_{25}$ của $25$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_n)$: $$S_{25} = u_1 + u_2 + \dots + u_{25}$$
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng: $$S_n = \frac{n}{2} \left[ 2u_1 + (n – 1)d \right]$$ Thay các giá trị $n = 25$, $u_1 = 15$, $d = 4$ vào ta được: $$S_{25} = \frac{25}{2} \left[ 2 \times 15 + (25 – 1) \times 4 \right]$$ $$S_{25} = \frac{25}{2} \left[ 30 + 24 \times 4 \right] = \frac{25}{2} \left[ 30 + 96 \right] = \frac{25}{2} \times 126 = 25 \times 63 = 1575$$
Cách khác: Tính số ghế ở hàng thứ $25$ trước bằng công thức số hạng tổng quát (như dạng bài tính số hạng thứ n): $$u_{25} = u_1 + 24d = 15 + 24 \times 4 = 111\text{ (ghế)}$$ Khi đó tổng số ghế là: $$S_{25} = \frac{25(u_1 + u_{25})}{2} = \frac{25(15 + 111)}{2} = 25 \times 63 = 1575$$
👉 Đáp số (kết quả điền số): 1575
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Một công ty thỏa thuận tiền công đào một giếng nước sâu $20\text{ m}$ như sau: Giá mét đào thứ nhất là $100$ nghìn đồng, và kể từ mét thứ hai trở đi, giá mỗi mét đào tăng thêm $25$ nghìn đồng so với mét trước đó. Hỏi sau khi đào xong toàn bộ cái giếng đó, chủ nhà phải trả tổng số tiền công là bao nhiêu nghìn đồng?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Tiền công đào từng mét lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 100$, công sai $d = 25$ và số số hạng $n = 20$.
Tổng tiền công đào $20\text{ m}$ giếng là: $$S_{20} = \frac{20}{2}\left[2u_1 + 19d\right] = 10\left[2 \times 100 + 19 \times 25\right] = 10(200 + 475) = 10 \times 675 = 6750\text{ (nghìn đồng)}$$
👉 Đáp số: 6750
Bài tập 2: Người ta xếp các khúc gỗ tròn thành một đống dạng hình thang cân: hàng dưới cùng có $30$ khúc gỗ, mỗi hàng tiếp theo bên trên có ít hơn hàng ngay phía dưới nó $1$ khúc gỗ, và hàng trên cùng có đúng $12$ khúc gỗ. Hỏi đống gỗ đó có tất cả bao nhiêu khúc gỗ?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Xem số khúc gỗ từ hàng trên cùng xuống hàng dưới cùng là cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 12$, công sai $d = 1$, và số hạng cuối $u_n = 30$.
Ta có $u_n = u_1 + (n – 1)d \Rightarrow 30 = 12 + (n – 1) \times 1 \Rightarrow n = 19$ (hàng).
Tổng số khúc gỗ trong đống là: $$S_{19} = \frac{19(u_1 + u_n)}{2} = \frac{19(12 + 30)}{2} = \frac{19 \times 42}{2} = 19 \times 21 = 399$$
👉 Đáp số: 399
Bài tập 3: Một vận động viên điền kinh rèn luyện thể lực trong đợt tập huấn kéo dài $20$ ngày liên tục. Ngày đầu tiên vận động viên chạy quãng đường $6\text{ km}$, mỗi ngày tiếp theo quãng đường chạy tăng thêm $0{,}5\text{ km}$ so với ngày liền trước. Tính tổng quãng đường (tính bằng kilômét) mà vận động viên đó đã hoàn thành trong toàn bộ $20$ ngày.
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Quãng đường chạy mỗi ngày lập thành cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 6$, $d = 0{,}5$, và $n = 20$.
Tổng quãng đường vận động viên đã chạy là: $$S_{20} = \frac{20}{2}\left[2u_1 + 19d\right] = 10\left[2 \times 6 + 19 \times 0{,}5\right] = 10(12 + 9{,}5) = 10 \times 21{,}5 = 215\text{ (km)}$$
👉 Đáp số: 215
Bài tập 4: Một chiếc đồng hồ quả lắc đánh chuông theo quy tắc: vào đúng $1$ giờ đánh $1$ tiếng, $2$ giờ đánh $2$ tiếng, …, $12$ giờ đánh $12$ tiếng. Ngoài ra, tại mỗi thời điểm nửa giờ (phút thứ $30$ của mỗi giờ), chuông chỉ gõ đúng $1$ tiếng. Hỏi trong tròn một ngày đêm ($24$ giờ), đồng hồ quả lắc đó đánh tất cả bao nhiêu tiếng chuông?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Trong 12 giờ, số tiếng chuông báo giờ tròn lập thành cấp số cộng $1, 2, \dots, 12$ có tổng là: $$S = \frac{12 \times 13}{2} = 78\text{ (tiếng)}$$ Trong $24$ giờ (gồm $2$ chu kỳ $12$ giờ), số tiếng gõ tròn giờ là $78 \times 2 = 156$ tiếng.
Trong $24$ giờ có đúng $24$ mốc nửa giờ, mỗi mốc gõ $1$ tiếng nên có $24 \times 1 = 24$ tiếng.
Tổng số tiếng chuông gõ trong cả ngày đêm là: $$156 + 24 = 180\text{ (tiếng)}$$
👉 Đáp số: 180
Để lại phản hồi