GIẢI SGK Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11 KNTT

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin 2x + \cos 4x = 0\);                 b) \(\cos 3x =  – \cos 7x\)

Sử dụng công thức hạ bậc để tính \(\cos 4x\) và công thức biến đổi tổng thành tích

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:

\(\sin x = m\; \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x = \pi  – \alpha  + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

\(\cos x = m\;\; \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x =  – \alpha  + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) \(\sin 2x + 1 – 2{\sin ^2}2x = 0\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x = 1}\\{\sin 2x =  – \frac{1}{2}}\end{array}\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x = \sin \frac{\pi }{2}}\\{\sin 2x = \sin  – \frac{\pi }{6}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{2x =  – \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{2x = \pi  + \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\;\;\)

\( \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x =  – \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }\end{array}} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\cos 3x =  – \cos 7x\; \Leftrightarrow \cos 3x + \cos 7x = 0\;\; \Leftrightarrow 2\cos 5x\cos 2x = 0\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 5x = 0}\\{\cos 2x = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 5x = \cos \frac{\pi }{2}\\\cos 2x = \cos \frac{\pi }{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5x =  – \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x =  – \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x =  – \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x =  – \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.;k \in Z\)

Đề bài

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu \({v_0} = 500m/s\) hợp với phương ngang một góc \(\alpha \). Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình \(y =  – \frac{g}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \), ở đó \(g = 9,8m/{s^2}\) là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn \(\alpha \) tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn \(\alpha \) để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đạt khẩu pháo 22 000m.

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát \(\tan x = m\; \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Thay g = 9,8 và \({v_0} = 500\)vào phương trình  \(y =  – \frac{g}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \) ta được

\(\begin{array}{l}y =  – \frac{{9,8}}{{{{2.500}^2}.{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \\ =  – \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}{.1,96.10^{ – 5}}.{x^2} + x\tan \alpha \\ =  – \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){1,96.10^{ – 5}}.{x^2} + x\tan \alpha \\ = x.\left[ {\tan \alpha  – \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){{.1,96.10}^{ – 5}}.x} \right]\end{array}\)

Khi đó y = 0

Suy ra x = 0 hoặc \(x = \frac{{\tan \alpha }}{{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){{.1,96.10}^{ – 5}}}}\)

Theo góc bắn \(\alpha \)tầm xa mà quả đạn đạt tới là \(\frac{{\tan \alpha }}{{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){{.1,96.10}^{ – 5}}}}\)

b) Quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháp 22 000 m thì x = 22 000 (m)

Khi đó

\(\begin{array}{l}22\,000 = \frac{{\tan \alpha }}{{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){{.1,96.10}^{ – 5}}}}\\ \Leftrightarrow 0,4312 = \frac{{\tan \alpha }}{{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}}\\ \Rightarrow \alpha  \approx {30^ \circ }\end{array}\)

( Bấm máy tính để tìm giá trị sấp xỉ của \(\alpha \))

Đề bài

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

                                                      \(x = 2\cos \left( {5t – \frac{\pi }{6}} \right)\)

Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimet. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:

\(\cos x = m\;\; \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x =  – \alpha  + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\)

Lời giải chi tiết

Vật đi qua vị trí cân bằng thì x = 0

Khi đó

\(\begin{array}{l}2\cos \left( {5t – \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \cos \left( {5t – \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t – \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\5t – \frac{\pi }{6} =  – \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;k \in Z\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5t = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\5t =  – \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.;k \in Z\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\t =  – \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.;k \in Z\end{array}\)

Với \(t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\) và \(t \in \left( {0;6} \right)\) thì

\(\begin{array}{l}0 < \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5} < 6;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < 2\pi  + k2\pi  < 90;k \in Z\\ \Rightarrow 0 < 1 + k < 14,32;k \in Z\\ \Rightarrow  – 1 < k < 13,32;k \in Z\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13} \right\};k \in Z\end{array}\)

Với \(t =  – \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5}\) và \(t \in \left( {0;6} \right)\) thì

\(\begin{array}{l}0 <  – \frac{\pi }{{15}} + \frac{{k2\pi }}{5} < 6;k \in Z\\ \Rightarrow 0 <  – \pi  + k2\pi  < 90;k \in Z\\ \Rightarrow 0 <  – 0,5 + k < 14,32;k \in Z\\ \Rightarrow 0,5 < k < 14,82;k \in Z\\ \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14} \right\};k \in Z\end{array}\)

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 28 lần.