Giải SGK Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác – KNTT

Đề bài

Một đường tròn có bán kinh 20 cm. Tính độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) \(\frac{\pi }{{12}}\);

b) \(1,5\);

c) \({35^0}\);

d) \({315^0}\).

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo \(\alpha \) rad thì có độ dài \(l = R\alpha \)

Chú ý đổi từ độ sang radian

Lời giải chi tiết

a) \(l = R\alpha = 20.\frac{\pi }{{12}} = \frac{{5\pi }}{3}\)

b) \(l = R\alpha = 20.1,5\pi = 30\pi \)

c) Đổi \({35^0} = 35.\frac{\pi }{{180}} = \frac{7\pi }{36}\)

\(l = R\alpha = 20.\frac{7\pi }{36} = \frac{35\pi }{9}\)

d) Đổi \({315^0} = 315.\frac{\pi }{{180}} = \frac{{7\pi }}{4}\)

\(l = R\alpha = 20.\left( {\frac{{7\pi }}{4}} \right) = 35\pi \)

Đề bài

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) \(\frac{{2\pi }}{3}\); b) \( – \frac{{11\pi }}{4}\); c) \({150^0}\); d) \( – {225^0}\).

Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau

– Góc \(\alpha \) và góc \(\alpha + k2\pi ,k\; \in \;\mathbb{Z}\) có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

– Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng \(\alpha + \frac{{k2\pi }}{m}\) (với k là số nguyên và m là số nguyên dương). Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho k từ 0 tới (m – 1) rồi biểu diễn các góc đó.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\frac{{\frac{{2\pi }}{3}}}{{2\pi }} = \frac{1}{3}\). Ta chia đường tròn thành 3 phần bằng nhau. Khi đó điểm \({M_2}\) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo \(\frac{{2\pi }}{3}\).

b) Ta có \( – \frac{{11\pi }}{4} = – \frac{{3\pi }}{4} + \left( { – 1} \right).2\pi \). Do đó điểm biểu diễn bởi góc \( – \frac{{11\pi }}{4}\) trùng với góc \( – \frac{{3\pi }}{4}\) và là điểm \({M_3}\).

c) Ta có \(\frac{{150}}{{180}} = \frac{5}{6}\). Ta chia nửa đường tròn thành 6 phần bằng nhau. Khi đó P là điểm biểu diễn bời góc \({150^0}\)

d) Ta có \( – {225^0} = – {180^0} – {45^0}\). Do đó điểm biểu diễn N là điểm biểu diễn bởi góc \( – {225^0}\)

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), biết:

a) \(\cos \alpha = \frac{1}{5}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\);

b) \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < 2\pi \).

c) \(\tan \alpha = \sqrt 5 \) và \(\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\);

d) \(\cot \alpha = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) và \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \).

– Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác.

– Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\). Mặt khác, từ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) suy ra

\(\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}a} = \sqrt {1 – \frac{1}{{25}}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\)

Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{1}{5}}} = 2\sqrt 6 \) và \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\)

b) Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\sin \alpha > 0\). Mặt khác, từ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) suy ra

\(\cos \alpha = \sqrt {1 – {{\sin }^2}a} = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) và \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{\frac{2}{3}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

c) Ta có: \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Ta có: \({\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0\;\) và \( \tan \alpha = 3 > 0\,\,\) nên \(\,\,\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = \sqrt 5 .\frac{1}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {\frac{5}{6}} \)

d) Vì \(\cot \alpha = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\;\,\) nên \(n\,\,\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = – \sqrt 2 \)

Ta có: \({\cot ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha + 1}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt {\frac{2}{3}} \)

Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = – \sqrt {\frac{2}{3}} \)

Ta có: \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha = \left( { – \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).\left( { – \sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức:

a) \({\cos ^4}\alpha – {\sin ^4}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha – 1\);

b) \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha – 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha \).

Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng giá trị lượng giác để biến đổi.

Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\({\cos ^4}\alpha {\sin ^4}\alpha = \left( {{{\cos }^2}\alpha – {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right) = {\cos ^2}\alpha – {\sin ^2}\alpha \)

b) Ta có:

\(\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha – 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha \; + {{\tan }^2}\alpha – {{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha – {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} – {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} – 1 = {\tan ^2}\alpha \) (đpcm)

Đề bài

Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.

a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680 mm.

– Tính số vòng quay được trong 1 giây, suy ra góc mà bánh xe quay được

Sử dụng công thức \(l = R\alpha \) để tính độ dài quãng đường

Lời giải chi tiết

a) Trong 1 giây bánh xe quay được \(\frac{{11}}{5}\) vòng.

Vì 1 vòng bằng \({360^0}\) nên góc mà bánh xe quay được trong 1 giây là:

\(\frac{{11}}{5}{.360^0} = {792^0}\)

Vì 1 vòng bằng \(2\pi \) nên góc mà bánh xe quay được trong 1 giây là:

\(\frac{{11}}{5}.2\pi = \frac{{22\pi }}{5}\;\left( {rad} \right)\)

b) Ta có: 1 phút = 60 giây

Trong 60 giây, bánh xe quay được số vòng: \(\frac{{11}}{5}.60 = 132\) vòng.

Chu vi bánh xe là \(C = 680\pi\) mm

Độ dài quãng đường người đó đi trong 1 phút là: \(680\pi. 132 =89760\pi\) mm
======================